Cinemática

¿Qué es el movimiento?  

Estamos rodeados de cosas que se mueven. A veces nos resulta fácil observar el movimiento. Por ejemplo, observamos que un coche se mueve por una calle y que sus ruedas avanzan y también giran. Otras veces no resulta tan sencillo. Por ejemplo, si observamos un vaso de agua encima de una mesa seguramente diremos que el agua no se mueve y sin embargo sus moléculas están moviéndose constantemente, pero no sólo eso, sino que el vaso se encuentra en la Tierra y ésta se mueve girando sobre sí misma y trasladándose alrededor del Sol que también se mueve... Entonces, ¿en qué quedamos? Se trata precisamente de eso, de establecer un acuerdo para poder entendernos. Por ejemplo, si no nos interesa estudiar el movimiento de las moléculas del agua sino el agua del vaso en su conjunto podemos representarla como un punto. También podemos acordar que el agua no se mueve con respecto a la Tierra y sí se mueve con respecto al Sol, por ejemplo. Esto significa que sólo tiene sentido hablar de movimiento si previamente hemos establecido un sistema de referencia. Para la mayor parte de nuestras observaciones el sistema de referencia suele ser la propia Tierra y no nos resulta necesario mencionarlo contínuamente. Así cuando decimos que un coche estacionado se encuentra en reposo, todos entendemos que se trata de reposo con respecto a la Tierra. Decimos que un cuerpo se mueve si cambia de posición a medida que transcurre el tiempo.

Cinemática y dinámica

Cuando estudiamos el movimiento de un cuerpo, puede interesarnos solamente conocer cómo es o puede interesarnos saber por qué tiene las características que observamos en él.

La Cinemática se ocupa de describir los movimientos y determinar cuáles son sus características mientras que la Dinámica estudia las relaciones que existen entre las fuerzas y las alteraciones que éstas provocan en el movimiento de los cuerpos.

La Posición

Si hemos acordado llamar movimiento al cambio de la posición con el tiempo, será necesario establecer un criterio para determinar qué posición ocupa un cuerpo en un instante. Se trata, de nuevo, de establecer un sistema de referencia adecuado para lo que necesitamos estudiar.

Una dimensión

Imagina que tenemos un cuerpo que se mueve por una recta, es decir que realiza un movimiento en una dimensión. Para determinar su posición sólo necesitamos indicar a qué distancia del origen se encuentra, la posición del cuerpo puede ser positiva o negativa según se encuentre a la derecha o a la izquierda del orígen respectivamente.

Dos dimensiones

Si el cuerpo realiza un movimiento en dos dimensiones, es decir se mueve por un plano, necesitaremos dos coordenadas para determinar la posición que ocupa en un instante dado.

Los dos valores que determinan la posición de un cuerpo en un plano podemos establecerlos utilizando como referencia un sistema de coordenadas cartesianas o un sistema de coordenadas polares.

En el caso de las coordenadas cartesianas se utilizan las distancias a los dos ejes acompañadas de los signos (+)  ó  (-).

 

En la figura de la izquierda aparece representado el punto P (2,1).  Se escribe primero la coordenada x y después la coordenada y, separadas por una coma.

El signo negativo para la coordenada x se utiliza si el punto se encuentra a la izquierda del orígen y para la coordenada y cuando está por debajo del orígen.

Las coordenadas polares utilizan la longitud de la recta que une nuestro punto con el punto de referencia y el ángulo que forma esta recta con la horizontal.

En la figura de la izquierda se representa el punto P(2,40°) lo que significa que la distancia r vale 2 y que el ángulo vale 40°

Tres dimensiones

En el caso de un cuerpo que siguiera una trayectoria de tres dimensiones, es decir que se moviera por un espacio, necesitaríamos tres coordenadas para determinar su posición en un instante dado.

El tiempo es la cuarta dimensión

Como el movimiento es el cambio de la posición con el tiempo, además de conocer la posición, nos interesa saber el instante en el que el cuerpo ocupa dicha posición.

Si representamos el conjunto de las diferentes posiciones que ocupa un móvil a lo largo del tiempo, obtenemos un línea llamada trayectoria.

Vector de Posición

Si sabemos cómo se determina la posición de un punto, es muy fácil entender qué es un vector de posición.

Trayectoria

La trayectoria es la línea formada por las sucesivas posiciones por las que pasa un móvil. Parece razonable que podamos hacer una primera clasificación de los movimientos utilizando como criterio la forma de su trayectoria:

Tipos de Movimientos

Tipos de trayectorias

de una dimensión

Líneas rectas

de dos dimensiones

Líneas curvas planas

de tres dimensiones

Líneas curvas no planas

Movimientos rectilíneos

Podemos decir que son los movimientos cuya trayectoria es una línea recta. Una de las características que nos permiten describir un movimiento es la dirección de su velocidad, que puede cambiar o no. Para estudiar los cambios en la dirección de la velocidad utilizamos una magnitud llamada aceleración normal o centrípeta. Como en los movimientos rectilíneos no cambia la dirección, podemos decir que se trata de movimientos en los que la aceleración normal es cero.

Movimientos curvilíneos

Podemos distinguir entre dos tipos de movimientos curvilíneos: los de dos dimensiones y los de tres dimensiones. Como algunas de las curvas son muy conocidas, solemos asociar el nombre de algunos movimientos con la forma de su trayectoria.

Así, podemos citar:

1.      Movimientos circulares

2.      Movimientos elípticos

3.      Movimientos parabólicos

4.      Etc

Distancia y Desplazamiento

En el lenguaje ordinario los términos distancia y desplazamiento se utilizan como sinónimos, aunque en realidad tienen un significado diferente.

La distancia recorrida por un móvil es la longitud de su trayectoria y se trata de una magnitud escalar.  

El desplazamiento efectuado es una magnitud vectorial. El vector que representa al desplazamiento tiene su orígen en la posición inicial, su extremo en la posición final y su módulo es la distancia en línea recta entre la posición inicial y la final.

 

El final del recorrido coincide con el inicio, el desplazamiento es cero. Cuando Alex Crivillé da una vuelta completa al circuito de Jerez recorre una distancia de 4.423,101 m, pero su desplazamiento es cero.

Rapidez y Velocidad

Rapidez y velocidad son dos magnitudes cinemáticas que suelen confundirse con frecuencia.

Recuerda que la distancia recorrida y el desplazamiento efectuado por un móvil son dos magnitudes diferentes.

Precisamente por eso, cuando las relacionamos con el tiempo, también obtenemos dos magnitudes diferentes.

La rapidez es una magnitud escalar que relaciona la distancia recorrida con el tiempo.

La velocidad es una magnitud vectorial que relaciona el cambio de posición (o desplazamiento) con el tiempo.

Unidades

Tanto la rapidez como la velocidad se calculan dividiendo una longitud entre un tiempo, sus unidades también serán el cociente entre unidades de longitud y unidades de tiempo. Por ejemplo:

·        m/s

·        cm/año

·         km/h

En el Sistema Internacional, la unidad para la rapidez media es el m/s (metro por segundo).  

Rapidez media

La rapidez media de un cuerpo es la relación entre la distancia que recorre y el tiempo que tarda en recorrerla. Si la rapidez media de un coche es 80 km/h, esto quiere decir que el coche coche recorre una distancia de 80 km en cada hora. Decir que la rapidez media es la relación entre la distancia y el tiempo, es equivalente a decir que se trata del cociente entre la distancia y el tiempo.

Por ejemplo, si un coche recorre 150 km en 3 horas, su rapidez media es:

150 km / 3h = 50 km/h  

Velocidad media

La velocidad media relaciona el cambio de la posición con el tiempo empleado en efectuar dicho cambio.

Velocidad instantánea y rapidez instantánea

Ya sabemos que si realizamos un viaje de 150 km y tardamos dos horas en recorrer esa distancia podemos decir que nuestra rapidez media ha sido de 75 km/h. Es posible que durante el viaje nos hayamos detenido y que al atravesar las poblaciones hayamos viajado más lento que en los tramos de carretera. Nuestra rapidez, por tanto, no ha sido siempre de 75 km/h sino que en algunos intervalos ha sido mayor y en otros menor, incluso ha sido de 0 km/h mientras hemos estado detenidos. Esto nos obliga a distinguir entre rapidez media y rapidez instantánea:

Rapidez instantánea : la rapidez en un instante cualquiera.

Rapidez media : es la media de todas las rapideces instantáneas y la calculamos dividiendo la distancia entre el tiempo.

Determinar con exactitud la rapidez instantánea de un cuerpo es una tarea complicada, aunque tenemos métodos para aproximarnos a su valor. Supón que queremos conocer la rapidez de un bote justamente en el instante de cruzar la meta. Si la carrera es de 1000 m y recorre esa distancia en 40 s, obtendríamos un valor de 25 m/s para la rapidez media, pero sería una mala aproximación al valor de la rapidez instantánea. El problema es que el bote se mueve más lentamente al principio de la carrera que al final. Podemos entonces colocar una célula fotoeléctrica en la meta y otra 100 m antes para medir en tiempo que emplea en recorrer los últimos 100 m y calcular así la rapidez media en los últimos 100 m. El valor obtenido se aproximará más que antes al valor de la rapidez instantánea en el momento de cruzar la meta. Si hacemos lo mismo para el último metro, o para el último centímetro.Se puede determinar la rapidez instantánea de un móvil calculando su rapidez media para un pequeño tramo y usando esta aproximación como rapidez instantánea. Si al valor de la rapidez instantánea le unimos la dirección, entonces tendremos una medida de la velocidad instantánea. Curiosamente lo que solemos conocer como velocímetro no mide la velocidad instantánea sino la rapidez instantánea ya que no nos dice nada acerca de la dirección en la que se mueve el vehículo en ese instante.

En resumen, rapidez y velocidad son dos magnitudes relacionadas con el movimiento que tienen significados y definiciones diferentes. La rapidez, magnitud escalar, es la relación entre la distancia recorrida y el tiempo empleado. La rapidez no tiene en cuenta la dirección. La velocidad sí que tiene en cuenta la dirección. La velocidad es una magnitud vectorial que relaciona el desplazamiento o cambio de la posición con el tiempo.

Rapidez constante

Si un cuerpo se mueve y su rapidez instantánea es siempre la misma, se está moviendo con rapidez constante. Lo mismo podemos decir para la velocidad. En este caso los valores medio e instantáneo de cada magnitud coinciden.

Dirección y sentido de la velocidad

Hemos dicho que para especificar la velocidad de un móvil necesitamos: su rapidez, su dirección y sentido. Hay muchas formas de especificar la dirección y el sentido según que los movimientos sean de una, dos o tres dimensiones. Por ejemplo, para los movimientos en un plano se suele expresar mediante un ángulo u otra referencia:

Dirección: 30º

Dirección: Norte  

En el caso de los movimientos rectilíneos es mucho más sencillo. Las velocidades en el sentido positivo son positivas y las velocidades en el sentido negativo son negativas: el signo nos informa del sentido. Este signo es un convenio, así decimos que si un móvil se mueve hacia la derecha su velocidad es positiva y si se mueve hacia la izquierda es negativa o por ejemplo, consideramos positivo, hacia arriba y negativo, hacia abajo en los movimientos verticales.

Pero no hay ninguna razón para hacer esto, es simplemente un acuerdo.

¡El volante de un coche también es acelerador!

Es muy importante que conozcamos cuándo está cambiando la velocidad. Como la velocidad se compone de la rapidez y la dirección, cualquier cambio en ellas supone un cambio en la velocidad. Así la velocidad varía si cambia la rapidez o cambia la dirección o, por supuesto, si cambian ambas. Cuando un coche toma una curva, aunque su rapidez sea constante, está cambiando su velocidad. La aceleración nos informa sobre los cambios en la velocidad de un móvil.

Aceleración

Los conceptos de velocidad y aceleración están relacionados, pero muchas veces se hace una interpretación incorrecta de esta relación. Muchas personas piensan que cuando un cuerpo se mueve con una gran velocidad, su aceleración también es grande; que si se mueve con velocidad pequeña es porque su aceleración es pequeña; y si su velocidad es cero, entonces su aceleración también debe valer cero. ¡Esto es un error!

La aceleración relaciona los cambios de la velocidad con el tiempo en el que se producen, es decir que mide cómo de rápidos son los cambios de velocidad:

·        Una aceleración grande significa que la velocidad cambia rápidamente.

·        Una aceleración pequeña significa que la velocidad cambia lentamente.

·        Una aceleración cero significa que la velocidad no cambia.

La aceleración nos dice cómo cambia la velocidad y no cómo es la velocidad. Por lo tanto un móvil puede tener una velocidad grande y una aceleración pequeña (o cero) y viceversa. Como la velocidad es una magnitud que contempla la rapidez de un móvil,  su dirección y su sentido, los cambios que que se produzcan en la velocidad serán debidos a variaciones en la rapidez , la dirección y  el sentido. La aceleración es una magnitud vectorial que relaciona los cambios en la velocidad con el tiempo que tardan en producirse. Un móvil está acelerando mientras su velocidad cambia. En Física solemos distinguir ambos tipos de cambios con dos clases de aceleración: tangencial y normal. La aceleración tangencial para relacionar la variación de la rapidez con el tiempo y la aceleración normal (o centrípeta) para relacionar los cambios de la dirección con el tiempo. Normalmente, cuando hablamos de aceleración nos referimos a la aceleración tangencial y olvidamos que un cuerpo también acelera al cambiar su dirección, aunque su rapidez permanezca constante.Como estamos dedicados al estudio de los movimientos rectilíneos, y en ellos no cambia la dirección, sólo vamos a referirnos a la aceleración tangencial. Pero recuerda: ¡si el movimiento es curvilíneo, no podemos olvidarnos de la aceleración normal!

Una característica de los cuerpos acelerados es que recorren diferentes distancias en intervalos regulares de tiempo:

Intervalo

Rapidez media
durante el intervalo

Distancia recorrida
durante el intervalo

Distancia total
(desde t = 0)

0 - 1 s

5 m/s

5 m

5 m

1 s - 2 s

15 m/s

15 m

20 m

2 s - 3 s

25 m/s

25 m

45 m

3 s - 4 s

35 m/s

35 m

80 m

Observa que al ser diferente la rapidez media de cada intervalo, la distancia recorrida durante el mismo es también diferente.

Aceleración constante

La tabla anterior muestra datos de un movimiento de caída libre, donde observamos que la rapidez cambia en 10 m/s cada segundo, es decir que tiene una aceleración de 10 m/s/s o 10 m/s². Como el cambio de la velocidad en cada intervalo es siempre el mismo (10 m/s/s), se trata de un movimiento de aceleración constante o uniformemente acelerado. Otra conclusión que podemos sacar de los datos anteriores es que la distancia total recorrida es directamente proporcional al cuadrado del tiempo. Observa que al cabo de 2 s la distancia total recorrida es cuatro (2²) veces la recorrida en el primer segundo; a los 3 s la distancia recorrida es nueve (3²) veces mayor que la del primer segundo y a los 4 s es 16 veces (4²) esa distancia. Los cuerpos que se mueven con aceleración constante recorren distancias directamente proporcionales al cuadrado del tiempo.

Aceleración media

La aceleración (tangencial) media de un móvil se calcula utilizando la siguiente ecuación:

Con ella calculamos el cambio medio de rapidez en el intervalo de tiempo deseado.

Para conocer la aceleración instantánea se puede utilizar la misma aproximación que hicimos para el caso de la velocidad instantánea: tomar un intervalo muy pequeño y suponer que la aceleración media en él equivale a la aceleración instantánea.

Unidades

Como puedes deducir de la ecuación anterior, la aceleración se expresa en unidades de velocidad dividida entre unidades de tiempo. Por ejemplo:

·        3 (m/s)/s

·        1 (km/h)/s

·        5 (cm/s)/min

En el Sistema Internacional, la unidad de aceleración es 1 (m/s)/s, es decir 1 m/s².

Dirección de la aceleración

Como la aceleración es una magnitud vectorial, siempre tendrá asociada una dirección. La dirección del vector aceleración depende de dos cosas:

·        de que la rapidez esté aumentando o disminuyendo

·        de que el cuerpo se mueva en la dirección + o - .

El acuerdo que hemos tomado es:

Si un móvil está disminuyendo su rapidez (está frenando), entonces su aceleración va en el sentido contrario al movimiento. Si un móvil aumenta su rapidez, la aceleración tiene el mismo sentido que la velocidad. Este acuerdo puede aplicarse para determinar cuándo el signo de la aceleración es positivo o negativo, derecha o izquierda, arriba o abajo, etc.

Ecuaciones

Todos los cálculos relacionados con las magnitudes que describen los movimientos rectilíneos podemos hacerlos con estas dos ecuaciones:  

x = xo + vo·t + ½·a·t²  

vf = vo + a·t  

x        es el desplazamiento del móvil
xo 
     es la posición inicial
t    
     es el intervalo de tiempo que estamos considerando
vo  
     es la velocidad inicial (al principio de nuestro intervalo de tiempo)
vf 
      es la velocidad final (al final de nuestro intervalo de tiempo).
a  
    
 es la aceleración.

Estas ecuaciones se pueden adaptar según las características concretas del movimiento que estemos estudiando:

Si el móvil parte del orígen de coordenadas

Significa que la posición inicial xo del cuerpo es cero. En este caso la ecuación del desplazamiento podemos escribirla así:  

x = vo·t + ½·a·t²

Si el móvil parte del reposo

Esto quiere decir que la velocidad inicial es cero. Al sustituir este valor en las ecuaciones anteriores, queda:

x = ½·a·t²  

vf = a·t  

Si el movimiento es uniforme

Es el movimiento de velocidad constante, es decir el movimiento con aceleración cero. Al dar valor 0 a la aceleración, las ecuaciones del principio quedan así:  

x = vo·t  

vf = vo  

No se trata de ecuaciones diferentes sino de las mismas ecuaciones adaptadas a dos casos concretos, por tanto no es necesario que aprendas de memoria todas las ecuaciones: con las dos primeras y un análisis de la situación tienes suficiente.

Cómo resolver los ejercicios

Para resolver un ejercicio no basta con aplicar las ecuaciones. Es necesario seguir un método o estrategia que podemos resumir así:

  1. Dibuja un diagrama con la situación propuesta.
  2. Identifica las variables que conocemos y ponlas en una lista de datos.
  3. Identifica las variables desconocidas y ponlas en la lista de incógnitas.
  4. Identifica la ecuación con la que vas a obtener el resultado y comprueba si tienes todos los datos necesarios o debes calcular alguno con la otra ecuación.
  5. Sustituye los valores en las ecuaciones y realiza los pasos y las operaciones que necesites para obtener el resultado.
  6. Comprueba que tu resultado sea correcto matemáticamente y que sea razonable desde el punto de vista físico.

Ejemplo:

Imagina que el conductor de una moto que circula 25 m/s pisa el freno hasta detenerse cuando ve que el semáforo se pone en ámbar. Si los frenos producen una aceleración de - 5 m/s², ¿cuál será el desplazamiento durante el proceso de frenado?

Comenzamos haciendo un esquema informativo de la situación física, que aparece un poco más abajo.

El segundo paso consiste en identificar los datos que nos proporcionan. Observa que la velocidad final vf es cero porque nos dicen que la moto se detiene. La velocidad inicial vo de la moto es +25 m/s porque esa es la velocidad al inicio del movimiento que estamos estudiando (el movimiento de frenado). La aceleración a es - 5 m/s². Presta mucha atención a los signos + y - que tienen las magnitudes. El siguiente paso es saber qué queremos calcular. En nuestro caso, tenemos que determinar el desplazamiento e de la moto mientras frena. A continuación tienes el resultado de los tres primeros pasos:  

Esquema:

Datos:

vo = +25 m/s

vf = 0 m/s

a = -5 m/s²

Buscamos:

e = ?

El cuarto paso consiste en decidir con qué ecuación podemos calcular lo que nos piden y comprobar si tenemos todos los datos que necesitamos. En nuestro caso usaremos la ecuación:

x = vo·t + ½·a·t²  

Observa que no podemos calcular x hasta que conozcamos el tiempo t que dura la frenada. Lo podemos calcular con la otra ecuación:

vf = vo + a·t

Si sustituimos los valores conocidos de vf, vo y a, tenemos:  

0 = 25 m/s + (-5) m/s²·t
-25 m/s = -5 m/s²·t
t = -25 m/s / -5 m/s² = 5 s

Una vez calculado el tiempo que dura el movimiento, procedemos a determinar el desplazamiento:

x = 25 m/s · 5s + ½ (-5)m/s²·(5s)²  


x= 125 m - 62,5 m = 62,5 m  

x = 62,5 m

Hemos llegado a la conclusión de que la moto recorre 62,5 m durante el proceso de frenada.

El último paso consiste en comprobar que la solución que damos es correcta y razonable. La solución, en este caso, representa el desplazamiento que realiza la moto desde que se pisa el freno hasta que se detiene. Parece razonable que si se circula a 90 km/h (25 m/s), la distancia necesaria para detener la moto sea aproximadamente las dos terceras partes de un campo de fútbol, similar a la que nosotros hemos obtenido.

Para comprobar si los cálculos matemáticos son correctos, sustituye los valores de t y de e que hemos calculado en ambas ecuaciones del movimiento y comprueba que la parte izquierda de cada ecuación sea igual que la derecha.

La pendiente  

El lenguaje científico utiliza con frecuencia las gráficas porque de ellas se pueden deducir muchas características del fenómeno que estemos estudiando. Uno de los aspectos importantes que analizamos sobre una gráfica es su pendiente. Así, nos interesa saber si la pendiente en un punto es positiva o negativa, si siempre es la misma o va cambiando, etc.

La pendiente de una gráfica en un punto es la inclinación que tiene la recta tangente a la gráfica en ese punto.

¿Cómo se calcula la pendiente?

 

·        Selecciona dos puntos de la recta tangente y determina sus coordenadas.

·        Calcula la diferencia entre las coordenadas Y de los dos puntos seleccionados (elevación).

·        Calcula la diferencia entre las coordenadas X de dichos puntos (avance).

·        Divide la diferencia de coordenadas Y entre la diferencia de coordenadas X (elevación / avance o     pendiente).  

En Cinemática utilizamos con frecuencia las gráficas para extraer información sobre las características de los movimientos que estudiamos.

De la gráfica posición-tiempo y de la gráfica velocidad-tiempo podemos extraer una valiosa información sobre las características de un movimiento analizando los valores de la pendiente.

Por ejemplo el valor de la pendiente en una gráfica posición-tiempo es la velocidad en ese momento y en la gráfica velocidad-tiempo la pendiente equivale a la aceleración en ese instante.

Otra información valiosa que podemos extraer de una gráfica es el punto en que la misma corta al eje vertical. En el caso de las gráficas x-t, este punto representa la posicición inicial del cuerpo ya que es la posición que ocupa cuando t=0. Si se tratara de una gráfica v-t, el punto de corte con el eje vertical representaría la velocidad inicial, es decir la velocidad del cuerpo cuando t=0.

Gráficas x-t  y  v-t 

Una de las formas que utilizamos para describir y estudiar los movimientos es a través de sus gráficas posición-tiempo, velocidad-tiempo y aceleración-tiempo. A veces utilizamos las gráficas como un elemento más del lenguaje científico para describir un movimiento. Otras veces construimos las gráficas con los datos que hemos obtenido en la observación del movimiento para poder sacar conclusiones acerca de las mismas e identificar el tipo de movimiento que estamos estudiando. En cualquiera de los dos casos es necesario que sepamos interpretar correctamente la información que éstas nos Con él puedes estudiar algunos casos de movimientos uniformes (cuando a= 0) y de movimientos uniformemente acelerados para valores positivos y negativos de la aceleración.

Pendiente de las gráficas x-t

Vamos a ver cómo podemos utilizar las gráficas posición-tiempo para describir el movimiento. Como veremos, podemos deducir las características de un movimiento a través del análisis de la forma y la pendiente de las gráficas posición-tiempo (x-t). Empezaremos estudiando la relación entre la forma de la gráfica x-t y el movimiento del cuerpo. Supongamos una moto que se mueve hacia la derecha con una rapidez de 10 m/s. En otras palabras, que tiene una velocidad de +10 m/s.

Si representamos gráficamente estas parejas de valores posición-tiempo obtenemos la siguiente  gráfica:


 

Observa cómo un movimiento de velocidad positiva y constante queda representado en la gráfica x-t por una línea de pendiente positiva (línea ascendente) y constante (línea recta).


Supongamos ahora una moto que también se mueve hacia la derecha (velocidad +) pero aumentando su rapidez, es decir acelerando.
Vemos ahora que el movimiento, de velocidad positiva y variable, queda representado mediante una línea de pendiente positiva (ascendente) y variable (curva).De forma general, podemos representar las gráficas posición-tiempo para estos dos tipos de movimiento (uniforme y acelerado) de la siguiente forma:

Si el movimiento es uniforme,
la gráfica es una recta

Si el movimiento es acelerado,
la gráfica es una curva

Como ves, la forma de la gráfica posición-tiempo para estos dos tipos de movimientos básicos revela una importante información:

·        Si la velocidad es constante, la pendiente es constante (línea recta).

·        Si la velocidad es variable, la pendiente es variable (línea curva).

·        Si la velocidad es positiva, la pendiente es positiva (la línea es ascendente).

·        Si la velocidad es negativa, la pendiente es negativa (la línea es descendente).

Esto se puede aplicar a cualquier tipo de movimiento.  

Las siguientes gráficas representan objetos que se mueven con velocidad positiva y constante. Deducimos que se mueven con velocidad positiva (hacia la derecha) porque las pendientes son positivas (líneas ascendentes), sus velocidades son constantes porque las pendientes son constantes (líneas rectas). Se trata, por lo tanto, de dos movimientos uniformes. Podemos observar además que la pendiente de la gráfica de la derecha es mayor que la de la izquierda, lo que significa que el móvil representado a la derecha tiene una velocidad mayor.

Velocidad positiva,
constante y pequeña

Velocidad positiva,
constante y grande

Considera ahora las siguientes gráficas, que representan a dos cuerpos que se mueven hacia la izquierda. Para la gráfica de la izquierda deducimos que el cuerpo se mueve con velocidad negativa (porque su pendiente es negativa), constante (porque la pendiente es constante) y pequeña (porque la pendiente es pequeña). La gráfica de la derecha tiene unas características similares aunque se trata de un movimiento más rapido porque su pendiente es mayor que la de la izquierda. Una vez que hayas practicado un poco te resultará más fácil.

Lento, Hacia la izquierda (-)
Velocidad Constante

Rápido, Hacia la izquierda (-)
Velocidad Constante

Ejercicios: Utilizando tus conocimientos sobre la pendiente y su significado en las gráficas x-t, describe los movimientos representados a continuación. Indica si se trata de velocidad positiva o negativa, si el movimiento es uniforme o acelerado y si los posibles cambios de velocidad son de lento a rápido o de rápido a lento. Intenta ser completo en tu descripción.

Pendiente de la gráfica v-t

Supongamos una moto que se mueve con velocidad constante de +10 m/s. Como ya sabes, si un cuerpo se mueve con velocidad constante su aceleración es cero.

 

Se obtiene una recta horizontal, cuya pendiente es cero en todos los puntos. En las gráficas v-t, la pendiente nos informa sobre la aceleración. Supongamos, ahora, que la moto se mueve aumentando su velocidad, es decir con aceleración y que hemos tomado los datos de su velocidad en distintos tiempos:

 

Se trata de una recta ascendente, es decir de pendiente constante y positiva. Como ya hemos dicho, la pendiente de una gráfica v-t es la aceleración por lo que el movimiento de la moto es de aceleración constante y positiva. Los movimientos de aceleración constante son uniformemente acelerados. El movimiento uniforme y el movimiento uniformemente acelerado se pueden representar con las gráficas siguientes:

Movimiento Uniforme
Aceleración Cero

M. Uniformemente Acelerado
Aceleración Positiva

La forma de la gráfica velocidad-tiempo para estos dos tipos de movimientos revela una importante información:

·        Si la aceleración es constante, la pendiente es constante (línea recta).

·        Si la aceleración es cero, la pendiente es cero (línea recta horizontal).

·        Si la aceleración es positiva, la pendiente es positiva (la línea es ascendente).

·        Si la aceleración es negativa, la pendiente es negativa (la línea es descendente).

Esto se puede aplicar a cualquier tipo de movimiento.  Veamos algunos casos:

Movimiento Uniforme
Velocidad constante y positiva

Velocidad positiva porque se mueve hacia la derecha
Aceleración cero (velocidad constante) porque la pendiente es cero.

Movimiento Uniforme
Velocidad constante y negativa

Velocidad negativa porque se mueve hacia la izquierda
Aceleración cero (velocidad constante) porque la pendiente es cero.

Movimiento uniformemente acelerado
Velocidad positiva y aceleración constante y positiva.

Velocidad positiva porque se mueve hacia la derecha
Aceleración positiva porque la pendiente es positiva
Aceleración constante porque la pendiente es constante

Movimiento uniformemente acelerado
Velocidad positiva y aceleración constante y negativa

Velocidad positiva porque se mueve hacia la derecha
Aceleración negativa porque la pendiente es negativa
Aceleración constante porque la pendiente es constante

   

Movimiento uniformemente acelerado
Velocidad negativa y aceleración constante y positiva

Velocidad negativa porque se mueve hacia la izquierda
Aceleración positiva porque la pendiente es positiva
Aceleración constante porque la pendiente es constante

Movimiento uniformemente acelerado
Velocidad negativa y aceleración constante y negativa

Velocidad negativa porque se mueve hacia la izquierda
Aceleración negativa porque la pendiente es negativa
Aceleración constante porque la pendiente es constante

Ejercicios

Utilizando tus conocimientos sobre la pendiente y su significado en las gráficas velocidad-tiempo, describe los movimientos representados a continuación. Indica, para cada tramo, si se trata de velocidad positiva o negativa, si el movimiento es uniforme o acelerado y si los posible cambios de velocidad son de lento a rápido o de rápido a lento, es decir si la aceleración es positiva o negativa. Intenta ser completo en tu descripción, realizando todos los cálculos que puedas.

Área de la gráfica v-t

Ya hemos visto cómo se puede determinar la aceleración de un móvil mediante la gráfica  v-t, pero no es lo único que podemos analizar en una gráfica velocidad-tiempo. El área comprendida entre la línea de la gráfica v-t y los ejes, representa la distancia recorrida. Podemos ver esto con algunos ejemplos:

La gráfica  corresponde a un móvil que se desplaza con una velocidad constante de 30 m/s. El área azul representa la distancia recorrida por el móvil entre t = 0 y t = 3 s. Se trata de un rectángulo cuya base es 3 s y cuya altura es 30 m/s. Como el área del rectángulo = base x altura, en nuestro caso será:

Área = 3 s · 30 m/s = 90 m

Por tanto durante los tres segundos que dura el movimiento, el móvil recorre una distancia de 90 m.

En la gráfica se representa el movimiento de aceleración negativa de un móvil que parte con velocidad inicial de 40 m/s y que se detiene a los 2 s. Como el área del triángulo = ½ · b · h, tenemos:

Área = 0,5 · 2s · 40m/s = 40 m

La distancia recorrida en dos segundos es 40 m.  

El área marcada en este caso representa la distancia recorrida por el móvil entre 1s y 2,5s. Como el área del trapecio = ½ · b · (h1 + h2), tenemos:  

Área = 0,5 · 1,5 s ·(20 m/s + 50 m/s) = 52,5 m

En este caso, por tanto, el móvil recorre 52,5 m.

Un método alternativo para calcular el área del trapecio consiste en descomponerlo en un triángulo y un rectángulo: Área del triángulo = ½ ·b · h = 0,5 · 1,5 s · 30 m/s = 22,5 m


Área del rectángulo = b · h = 1,5 s · 20 m/s = 30 m
Como puedes observar la suma de estas dos áreas es 52,5 m, como habíamos calculado antes.

 Vamos a estudiar ahora un caso un poco más complicado.

El movimiento representado en la gráfica de la izquierda tiene velocidad positiva en el intervalo comprendido entre 0 y 2s y velocidad negativa en el segundo siguiente. Ya hemos calculado más arriba que el área del triángulo azul equivale a un desplazamiento de 40 m. Por su parte, el triángulo rojo representa un desplazamiento de:

Área = ½ · b · h = 0,5 · 1 s ·(- 20) m/s = -10 m

El signo negativo nos indica que la distancia ha sido recorrida en sentido contrario. Por lo tanto en este caso la distancia recorrida y el desplazamiento son diferentes:

distancia recorrida = 40 m (derecha) y 10 m (izquierda) = 50 m
desplazamiento = 40 m - 10 m = 30 m

Como habrás observado para calcular la distancia recorrida sumamos las áreas sin considerar su signo, mientras que para determinar el desplazamiento sí se consideran los correspondientes signos.

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