IL PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE

Nel 1927 il fisico tedesco Werner Heisenberg scoprì che la natura probabilistica delle leggi della Meccanica Quantistica poneva grossi limiti al nostro grado di conoscenza di un sistema atomico. Normalmente ci si aspetta che lo stato di una microparticella in movimento (consideriamo ad esempio un elettrone in rotazione attorno al nucleo) sia caratterizzato completamente ricorrendo a due parametri : velocità e posizione. Heisenberg postulò invece, che a un certo livello queste quantità sarebbero dovute rimanere sempre indefinite. Tale limitazione prese il nome di Principio di Indeterminazione. Questo principio afferma che maggiore è l’accuratezza nel determinare la posizione di un particella, minore è la precisione con la quale si può accertarne la velocità e viceversa (*).

Quando si pensa all’apparecchiatura necessaria per eseguire le misurazioni, questa indeterminazione risulta intuitiva. I dispositivi di rilevazione sono così grandi che la misurazione di un parametro come la posizione è destinato a modificare la velocità. Occorre sottolineare però che le limitazioni in parola, non derivano solo dall’invasiva interazione del mondo macroscopico sul mondo microscopico, ma sono proprietà intrinseche (ontologiche) della materia. In nessun senso si può ritenere che una microparticella possieda in un dato istante una posizione e una velocità.

 

(*) Più precisamente nella misura simultanea delle coordinate x e della quantità di moto p di una particella è impossibile ottenere valori x' e p' con indeterminazione piccola a piacere. Infatti, se D x e D p denotano rispettivamente l'indeterminazione in x e p, deve esistere la relazione : D x · D p ³ h [h = h/4p ]

In modo analogo, in base al principio di indeterminazione è impossibile mediante una osservazione che duri un tempo D t determinare l'energia di una particella con un'incertezza inferiore a D E, legata a D t dalla relazione : D E · D t ³ h

Quest'ultima relazione dimostra che in nessun senso si può ritenere che una microparticella possieda in un dato istante una energia definita (Rif. indeterminazione Energia-Tempo).

Si noti infine che il Principio di Indeterminazione è valido per qualsiasi "oggetto", ma in pratica ha conseguenze importanti solo se applicato a particelle di dimensioni atomiche o subatomiche, perché quando si tratta di corpi ordinari, data la piccolezza della costante h esso perde gran parte del suo significato.

 

L'indeterminazione dal punto di vista sperimentale

Per misurare la POSIZIONE di un oggetto microscopico come un elettrone occorre investirlo con un raggio di luce (fotoni) o comunque qualcosa che in ultima analisi risulta avere all'incirca le medesime dimensioni dell'elettrone. Questo fa si che l'elettrone risulti perturbato da questa interazione che ne modifica inesorabilmente la velocità.

La stessa cosa, ma in situazioni opposte, avviene nel caso in cui si voglia conoscere la VELOCITA' di un elettrone ...

Secondo Heisenberg l’effetto dell’interazione tra il raggio di luce incidente e la particella "osservata" può anche essere reso uguale a zero, in tal caso però non si compie alcuna misurazione e non si acquista alcuna conoscenza sulle proprietà del sistema osservato. Se l’interazione è invece diversa da zero, essa non può essere resa arbitrariamente piccola e non è quindi neppure concettualmente eliminabile, ma deve avere la costante di Planck come valore minimo. Questo perché ogni interazione fisica tra strumento misuratore e microoggetto misurato implica sempre uno scambio di energia per un certo intervallo di tempo, oppure la cessione di una certa quantità di moto su una certa distanza spaziale. Ora le dimensioni fisiche di "energia per tempo" e di "quantità di moto per spazio" sono proprio quelle dell’azione, sono cioè quelle della costante (h) di Planck. Il termine interazione usato per ogni processo quantistico di misurazione è quindi vero letteralmente, dato che si ha proprio a che fare con lo scambio della grandezza fisica azione fra lo strumento e il sistema fisico misurato, che a causa delle dimensioni atomiche di quest’ultimo, comporta su di esso una inevitabile perturbazione ...

Un esempio di indeterminazione sperimentale può essere il tentativo di determinazione simultanea della TRAIETTORIA e della POSIZIONE di un oggetto in movimento :

Si supponga di voler determinare, per mezzo di una fotografia, la POSIZIONE di un oggetto in movimento : per esempio una palla di cannone. Naturalmente se la palla percorre la propria parabola a notevole velocità, la fotografia risulterà mossa a meno che si usi un otturatore ad alta velocità.

Più l'oggetto risulterà "fermato", più velocemente sarà scattato l'otturatore. Ma in questo caso si sarà pagato un prezzo nella definizione della traiettoria; risultando la palla di cannone ferma.

D'altro canto usando un otturatore a bassa velocità, si fotograferà una linea indistinta che rappresenta fedelmente la TRAIETTORIA della palla, ma che non da nessuna indicazione sulla posizione.

In conclusione più si tenta di definire la traiettoria dell’oggetto più si perde informazione sulla posizione e viceversa.

L'indeterminazione dal punto di vista teorico

Come dianzi specificato il fatto che non si riesca a misurare contemporaneamente la velocità e la posizione di una particella non è dovuto soltanto a restrizioni di ordine pratico, ma è un limite obiettivo della natura.

In altri termini la particella allo "stato naturale" NON HA OGGETTIVAMENTE (ontologicamente) una velocità e una posizione.

Questo nasce essenzialmente dalla natura ondulatorio-corpuscolare della materia. NASCE DAL FATTO DI DOVER METTERE INSIEME ONDE E CORPUSCOLI PER LA RAPPRESENTAZIONE DI UNA STESSA ENTITA'.

I fenomeni ondulatori :

Un’onda è un ente che vibra nello spazio e nel tempo. Possiamo osservarla in un dato istante di tempo e allora vediamo una figura periodica nello spazio come nell’esempio di figura A.

  Figura A

Questa forma d’onda è caratterizzata da un’ampiezza A (l’estensione della vibrazione), da una lunghezza d’onda l (la distanza tra due creste) e da una frequenza n , cioè dal numero di oscillazioni (per coprire la lunghezza l ) compiute nell’unità di tempo.

Come precedentemente visto, de Broglie ha stabilito che ogni grano di energia, luce o materia, possiede una natura ondulatoria. L’informazione sullo stato di moto di una particella è contenuta nella lunghezza d’onda e nella frequenza. La lunghezza d’onda è inversamente proporzionale alla quantità di moto della particella (l = h/p). [il che significa che un’onda con piccola lunghezza d’onda corrisponde a una particella che si muove con una grande quantità di moto (e quindi con elevata velocità)]. La quantità di moto p, sarà ovviamente, uguale a h/l . La frequenza dell’onda sarà infine proporzionale all’energia della particella. Un’onda con frequenza elevata indica che la particella ha grande energia (infatti E = h n ).

Schrödinger, con la sua celebre equazione, ha stabilito che una particella può occupare tutte le possibili posizioni (le "possibili posizioni" di Schrödinger diventano "probabili posizioni" per Born ...) all’interno dell’onda associata (o pacchetto d’onda ...), che dovrà avere estensione limitata nello spazio.

La rappresentazione visiva di un pacchetto d’onda che ha un inizio e una fine può essere raffigurato come il passaggio di un treno di onde che comincia all’istante t1 e finisce all’istante t2 (vedere la Figura B).

  Figura B

 L’effetto di questo treno di onde limitato può essere rappresentato mediante una "sinusoide troncata", la cui ampiezza è nulla per t < t1 e per t > t2. Nell’intervallo t1 t2 l’ampiezza non è d’altronde necessariamente come nella figura B anzi, sia la meccanica ondulatoria sia la meccanica quantistica concordano che essa dovrà presentare un massimo al centro t0 dell’intervallo t1 t2 e un decremento progressivo verso le estremità t1 e t2 (vedere la Figura C).

 Figura C

All’inizio del XIX secolo il matematico francese Fourier dimostrò che nell’uno e nell’altro caso si può rappresentare analiticamente tale sinusoide troncata come un insieme di sinusoidi indefinite, la cui pulsazione w varia in maniera continua su un intervallo D w intorno a w 0. Questo intervallo di pulsazione D w è legato all’intervallo D t = t2 - t1 dalla relazione : D w · D t ³ 2 p

Fourier ha dimostrato che è sempre possibile scegliere le ampiezze e le fasi di queste onde componenti in modo tale che la loro sovrapposizione dia un’ampiezza risultante nulla al di fuori dell’intervallo t1 t2 -per interferenza distruttiva- e che all’interno di questo intervallo l’ampiezza risultante vari nel modo desiderato -per interferenza costruttiva- (vedere la Figura D).

Figura D

 

Interferenza di onde. Quando si hanno due sorgenti [diverse] di onde elettromagnetiche, ad esempio due sorgenti luminose, l'intensità luminosa misurata in un dato punto non è necessariamente uguale alla somma delle intensità provenienti dalle due sorgenti, ma può essere maggiore o minore. Questo fenomeno può essere spiegato facilmente con l'interferenza delle onde emesse dalle due sorgenti : nei punti in cui si sovrappongono due creste avremo un'intensità luminosa maggiore della somma delle singole intensità. Laddove si sovrappongono una cresta e un ventre avremo un'intensità minore. Il valore esatto dell'interferenza può essere calcolato facilmente. Fenomeni di interferenza di questo tipo si possono osservare ogni volta che si ha a che fare con la radiazione elettromagnetica.

La Figura E infine, mette in chiara evidenza come la curva risultante dalle curve 1 e 2 della Figura D sia formata da una banda di onde di lunghezza differente (risultanti da un annullamento reciproco al di fuori della regione di ampiezza D x e da un rinforzo reciproco nel suo interno).

  Figura E

D x

Appare chiaro ora che qualora si voglia definire la POSIZIONE di una particella all’interno del pacchetto d’onda (all’interno della curva di Figura E), bisognerà confinare la particella in una "ristrettissima" regione di spazio, la qual cosa seguendo Fourier si ottiene sovrapponendo insieme molte onde di lunghezza d’onda differente.

Ma come ci insegna de Broglie lunghezza d'onda è quantità di moto (VELOCITA’) sono strettamente collegate e quindi se aumenta il numero degli "enti onda" di differente lunghezza considerati, aumenta anche il numero delle quantità di moto dell’insieme. In definitiva se per definire meglio la posizione di una particella occorre aumentare il numero delle onde (di diversa l ) all’interno del pacchetto d’onda, dovrà aumentare anche il "numero" delle quantità di moto e quindi anche della velocità del pacchetto d’onda ... [l = h/p l = h/p l = h/p l = h/p l = h/p ...]

Dal confronto delle curve di Figura F, si vede chiaramente che per confinare in un volume più piccolo la particella, occorre comprimere il pacchetto d’onda (curva inferiore). Tale "compressione" può avvenire soltanto a spese di un aumento nel numero delle onde di banda diversa componenti il pacchetto d’onda e quindi delle quantità di moto e quindi della velocità.

Più si tenta di definire la POSIZIONE della particella (confinandola in un volume sempre più piccolo), più questa aumenta la sua VELOCITA’ e viceversa.

  Figura F

 

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La prossima figura mostra come dalle relazioni che legano le funzioni Y (x) e Y (v) segua che allorché una di esse risulti ben concentrata (e quindi le relativa variabile D risulta confinata in un intervallo stretto di valori) l’altra risulti allargata, e quindi la conseguente variabile risulta apprezzabilmente indeterminata. L’argomento rappresenta il modo matematicamente preciso di concludere che le variabili incompatibili posizione e velocità soddisfano inevitabilmente il Principio di Indeterminazione.

 

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Nota : Occorre fare molta attenzione infine, quando in meccanica quantistica si afferma : "la misurazione modifica la cosa misurata", perché questa asserzione sembra implicare che prima della misura un oggetto quantistico si trovi in un qualche stato definito (ma ignoto), che è stato poi disturbato da un atto di misura. E' vero invece che la misurazione conferisce una DETERMINAZIONE ad una quantità che in precedenza era (oggettivamente) indefinita ; non si può assegnare alcun significato a una quantità finché non la si misura.

 

L’INDETERMINAZIONE ENERGIA/TEMPO

Si supponga di voler determinare l’energia di un fotone. Secondo il formalismo ideato da Planck, l’energia di un fotone è direttamente proporzionale alla frequenza della luce (E = h n ) : se si raddoppia la frequenza, anche l’energia diventa doppia. Un sistema pratico per misurare l’energia è quindi quello di misurare la frequenza dell’onda luminosa, il che si può fare contando il numero di oscillazioni (il susseguirsi cioè di massimi -le creste- e di minimi -gli avvallamenti-) in un dato intervallo di tempo. Per poter applicare questa procedura occorre comunque che si verifichi almeno una e preferibilmente, più di una oscillazione completa, che richiede un intervallo di tempo definito. L’onda deve passare da un massimo ad un minimo, e poi di nuovo tornare a un massimo. Misurare la frequenza della luce in un tempo inferiore a quello occorrente per un’oscillazione completa è evidentemente impossibile, anche in via di principio. Per la luce visibile il tempo occorrente è ridottissimo (un milionesimo di miliardesimo di secondo). Onde elettromagnetiche con lunghezze d’onda maggiore e frequenza minore, come le onde radio, possono richiedere qualche millesimo di secondo per compiere un’oscillazione completa. I fotoni delle radioonde hanno, in confronto, un’energia molto bassa; invece i raggi gamma oscillano migliaia di volte più rapidamente della luce e le energie dei fotoni sono maggiori di migliaia di volte.

Queste semplici considerazioni mettono in evidenza l’esistenza di un limite fondamentale alla precisione con cui è possibile misurare la frequenza di un fotone (e quindi la sua energia) in un dato intervallo di tempo. Se l’intervallo è inferiore a un periodo dell’onda, l’energia e quanto mai indeterminata ; esiste quindi una relazione di indeterminazione che lega l’energia al tempo, identica a quella già vista per posizione e quantità di moto. Per avere una determinazione esatta dell’energia si deve effettuare una misurazione "relativamente lunga", ma, se ciò che ci interessa è invece l’istante in cui si verifica un evento, lo si potrà determinare in modo esatto solo a spese dell’informazione sull’energia. Ci si trova così a dover scegliere tra l’informazione sull’energia e l’informazione sul tempo, che presentano un’incompatibilità analoga a quella per posizione e moto. Questa nuova relazione di indeterminazione ha conseguenze molto importanti ...

Va (ri)sottolineato che i limiti alle misurazioni sia di energia e tempo, sia di posizione e quantità di moto, non sono semplici insufficienze tecnologiche, ma proprietà assolute e intrinseche dalla natura. In nessun senso si può pensare che un fotone (o un elettrone, o ecc.) possieda realmente un’energia ben definita in un dato istante. Per i fotoni energia e tempo sono due caratteristiche incompatibili; quale delle due si manifesti con maggior precisione dipende solo dalla natura della misurazione (osservazione) che si sceglie di effettuare ...

D E · D t ³ h [h = h/4p ] da ciò deriva che D E = h/D t Da questa formula si vede che più D t diventa piccolo (cioè più tende a 0) più D E diventa grande (cioè tende all’infinito).

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