Para poder ver la animación se debe hacer doble clic en cualquier parte de la figura.

Se Elige la opción "Choice of Traces" y se seleccionan los vertices de los dos segmentos que funcionan como eje de la figura principal y los dos puntos que se encuentran en el cono inferior (de color verde), luego se elige la opción "Animation Springs" y se mantienen seleccionados los dos puntos de los segmentos ubicados en la parte superior izquierda.

Sin duda habras observado que al cortar un embutido se producen rebanadas de una u otra forma, segun sea la inclinacion que damos al cuchillo.Si este se coloca perpendicular a la pieza, las secciones producidas son de menor tamaño que cuando lo colocas de forma oblicua.

Lo mismo sucede si inclinamos un vaso que contiene agua.La superficie del liquido adopta formas que no son sino secciones del cilindro, las cuales nos son familiares.

Mas extraño resulta pensar en las secciones planas producidas en un cono, y sin embargo, ello tambien es posible.Observa como las diferentes posiciones de un reloj de arena muestran secciones distintas segun sea su inclinacion.

Recuerda que el cono venia engendrado por su generatriz al girar esta alrededor de un eje.Si consideramos tal generatriz como una recta ilimitada, la figura resultante del giro es una superficie conica, la cual esta compuesta por dos conos ilimitados, unidos por el vertice.

Al cortar una superficie conica por diferentes planos, obtenemos unas curvas llamadas secciones conicas o simplemente conicas.

Segun la distinta posicion del plano, dichas secciones pueden ser elipses, hiperbolas o parabolas.

Ecuación analítica de la elipse: para simplificar la explicación ubiquemos a los focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (c,0)  y F' (– c,0). Tomemos un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el eje x. Entonces: PF + PF' = 2a.   Aplicando Pitágoras tenemos que:

Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las raíces y desarrollamos los cuadrados, queda finalmente: 

Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser:

Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b²x² + a²y² – 2xpb² – 2yqa² + p²b² + q²a² – a²b² = 0

Si hacemos:  A = b²

B = a²  

C = – 2pb²

D = – 2qa²

E = p²b² + q²a² – a²b²

tendremos la ecuación: Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto que los términos A y B no tienen porqué ser iguales.

Ejemplo: Si tenemos la ecuación  4x² + 9y² + 24x – 8y + 81 = 0

Entonces tenemos que: A = 4 Þ 4 = b² Þ b = 2;  B = 9 Þ 9 = a² Þ a = 3

Los radios de la elipse son: sobre el eje x = a = 3; sobre el eje y = b = 2. Hallemos en centro (p, q).  

C = 24 Þ 24 = – 2pb² Þ p = – 3 

D = – 54 Þ – 54 = – 2qa² Þ q = 3

El centro es, entonces, (p, q) = (– 3, 3). Para verificar que se trate de una elipse calculemos E que debe tener el valor de 81. E = p²b² + q²a² – a²b² = 81

La ecuación de la elipse queda: