MOSAICOS
O TESELADOS
Silvina Cafferata Ferri (scafferata@fibertel.com.ar)
Gerardo Rubén Mamani (grmamani@hotmail.com)
"¡Cómo me gustaría aprender a dibujar mejor! Hacerlo bien requiere
tanto esfuerzo y perseverancia... A veces los nervios me llevan al borde del
delirio. Sólo es cuestión de batallar sin descanso con una autocrítica
constante e implacable. Pienso que crear mis grabados sólo depende de querer
realmente hacerlo bien. En su mayor parte algunas cosas como el talento son
naderías. Cualquier escolar con unas pequeñas aptitudes podría dibujar mejor
que yo. Lo que normalmente falta es el deseo incontenible de expresarse,
apretando los dientes con obstinación y diciendo:
- Aunque sé que no puedo, sigo queriendo hacerlo."
Maurits C. Escher
EL MATERIAL EN LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA
LOS MATERIALES Y LAS HABILIDADES
LA COMPUTADORA: UNA HERRAMIENTA PARA TRABAJAR EN EL AULA
¿EN QUÉ CONSISTE LA PROPUESTA DE TRABAJO?
ALGUNAS CONSIDERACIONES ACERCA DE LAS ACTIVIDADES
OTRAS PÁGINAS RELACIONADAS CON EL TEMA
Tradicionalmente, la enseñanza de la Matemática estuvo dirigida a la resolución de operaciones, con creciente complejidad de cálculos, los que muy pocas veces son encontrados fuera de las aulas. No obstante, aún se recuerdan experiencias en las que el nivel de abstracción exigido en las clases sobrepasaba el nivel evolutivo del alumno, incluso de los más interesados.
La enseñanza de la geometría se ha visto desplazada a un segundo plano debido a la poca intensidad horaria y a la fusión con la aritmética o el álgebra dentro de la Educación General Básica, donde sólo tienen cabida el cálculo de perímetros, superficies y volúmenes. Y son muchos los hechos que podemos considerar que agravan esta situación, como por ejemplo, no coordinar convenientemente la enseñanza de la geometría desde el preescolar hasta el último año de escolaridad, la falta de material didáctico para apoyar a los docentes en la enseñanza de la misma, y hasta en algunos casos, la preparación del docente en esta área de la matemática.
Afortunadamente, durante el transcurso de estos últimos años, se ha tomado conciencia del nivel formativo que posee la Geometría, ya que permite trabajar a partir de objetos concretos, llegando a distintos niveles de conceptualización. Los niños toman posesión del espacio que los rodea, desde edad temprana, a través de la orientación, el análisis de la forma, la búsqueda de relaciones entre los objetos que encuentran a su alrededor, mediante la experimentación con las formas y los movimientos en el espacio.
Una de las funciones de la escuela es continuar este proceso, profundizando las ideas previas con las que accede a ella.
Surge entonces la necesidad de proporcionar, de manera amena y sencilla, unas lentes que faciliten la visión de todos los procesos geométricos que diariamente se producen a nuestro alrededor. Unas lentes que no se compran en ningún sitio porque están en nuestro cerebro y que como decía Galileo, "nos van a permitir, si no salir del laberinto, sí al menos saber en qué punto del mismo nos encontramos."
El objetivo de este trabajo es presentar el atractivo mundo de la geometría de los movimientos, como una manera de abordar situaciones problemáticas en el plano.
Surge también este proyecto como manifestación de algunas necesidades de los mismos docentes. Los profesores tenemos una gran dificultad para alcanzar el objetivo que podríamos considerar fundamental, que es el desarrollo del razonamiento y la estimulación del pensamiento lógico y de la creatividad.
Otro inconveniente al que nos enfrentamos a diario es preparar y construir material concreto para cada una de las actividades pensadas para el desarrollo de diversas nociones. Estas inconexiones entre metodología y algunos conceptos no permiten que el alumno desarrolle su lógica y razonamiento, porque desconoce el por qué de los diferentes procesos.
Además de algunas dificultades ya mencionadas en el área de Matemática por las cuales surge la idea de este trabajo, se observaron y analizaron las dificultades en común en el aprendizaje de diversas disciplinas.
Uno de los inconvenientes en común es la noción del alumno que concibe cada una de las disciplinas como un universo cuyos temas o áreas se encuentran totalmente fragmentados y separados, sin observar alguna relación entre sí. Esto es porque están muy acostumbrados a no relacionar nociones, a archivar los temas anteriores y no aplicarlos en los nuevos contenidos conceptuales que van trabajando o a otras disciplinas. Todo esto contribuye a que el alumno no comprenda algunos temas, pues los recibe fragmentados y sin relación entre ellos ni entre las diversas áreas.
Si bien se analizará en profundidad la guía elaborada desde un punto de vista matemático, podemos mencionar algunos de los conceptos que aparecen en ella que podrían ser analizados además desde otras disciplinas.
Todas las culturas han utilizado simetrías, traslaciones y giros en sus manifestaciones artísticas. Han jugado, casi siempre con sorprendentes resultados estéticos, con los movimientos en el plano.
Los movimientos en el plano se hacen arte en los frisos y sobre todo en los mosaicos que rellenan el plano. Es imposible no mencionar en este punto al gran artista holandés, Maurits Escher.
Hoy en día, la obra de Escher es mundialmente conocida y aparece en multitud de lugares, desde remeras hasta portadas de libros científicos. Gran cantidad de gente conoce los grabados y litografías de Escher, aunque muchos menos podrían señalar quién es su autor.
Pez y barco,
de Maurits Escher
Escher entra de lleno en el concepto de "arte matemático". Un artista figurativo que sepa algo de matemática puede hacer una composición sobre un tema matemático de la misma manera que los artistas de la Edad Media hicieron con los temas religiosos o los artistas soviéticos con los temas políticos.
Escher ha escrito que con frecuencia se sentía más próximo a los matemáticos que a sus colegas los artistas. A pesar de ello, Escher no poseía estudios matemáticos extensos ni completos.
La parte fundamental de la obra de Escher la constituye la división regular del plano. Forma parte, de alguna manera, de la mayoría de sus obras. Desglosando el plano en figuras de pájaros, peces, reptiles y figuras humanas, como en un rompecabezas, Escher ha logrado incorporar muchas de sus divisiones del plano en composiciones memorables. La división regular del plano en figuras congruentes que evoquen en el observador una asociación con un objeto natural familiar, es uno de esos problemas que generan pasión.
Una de estas creaciones, los teselados, constituye un buen punto de partida para la introducción y la aplicación de los movimientos del plano.
EL MATERIAL EN LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA
Si aceptamos el principio de Pere Puig Adam de que "para nuestros alumnos de clases elementales lo concreto empieza por ser el mundo observable, lo que impresiona directamente sus sentidos, y al mismo tiempo el que los invita a actuar" entonces habremos de aceptar que el material puede jugar un papel esencial en el mundo de la enseñanza matemática.
Bajo la palabra "material" se agrupan todos aquellos objetos, aparatos o medios de comunicación que pueden ayudar a descubrir, entender o consolidar conceptos fundamentales en las diversas fases del aprendizaje.
Pero, en general, no existe una correspondencia biunívoca entre un material y un concepto. Un mismo concepto se trabajará, en lo posible, con diversidad de materiales, y recíprocamente, la mayoría de los materiales son utilizables para hacer ejercicios diversos.
Partiendo, entonces, de la necesidad de crear y manipular gran variedad de material, debemos remarcar la conveniencia de elevar el material a la categoría de experimentación regular y viva.
Los diversos materiales de interés didáctico-matemático pueden clasificarse de muchas maneras diferentes según criterios predeterminados. En lugar de atender a criterios, hoy ya clásicos, de materiales estáticos o dinámicos o bien al criterio pedagógico de materiales preparados o materiales realizados, aquí podemos profundizar en los tipos de materiales de acuerdo con sus funciones.
Debido a que nos llevaría demasiado tiempo definir y ejemplificar cada uno de los tipos de materiales -y considerando que no es éste el objetivo del trabajo- enunciaremos solamente un tipo de clasificación que podemos encontrar en alguno de los libros especializados en el tema:
· Materiales dedicados a la comunicación audiovisual.
· Materiales para dibujar.
· Materiales para leer.
· Materiales para hacer medidas directas o indirectas.
· Materiales que son modelos.
· Materiales para el descubrimiento de conceptos.
· Materiales para mostrar aplicaciones.
· Materiales para resolver problemas.
· Materiales para demostraciones y comprobaciones.
Pero como se comentó anteriormente, un mismo material puede servir para atender a diferentes ejercicios y como tal, a diferentes objetivos. De esta manera, veremos después en las actividades propuestas que un mismo material nos puede servir para descubrir nuevos conceptos al mismo tiempo que para mostrar aplicaciones de conceptos previos.
Necesitarán también materiales para dibujar, para hacer medidas directas o indirectas, así como también materiales que son modelos (en este caso, materiales que le serán dados a los alumnos y otros que construirán ellos mismos).
Así como se pueden describir aspectos positivos que los materiales pueden aportar a la enseñanza de la matemática, no obstante hay que ser consciente de aspectos negativos que pueden generarse con el uso o diseño de materiales de interés dudoso. Algunos de los errores que es necesario evitar son, por ejemplo:
1. Sofisticación del material: un material que en sí mismo contenga excesivas complejidades puede desvirtuar el objetivo para el cual fue inventado.
2. Intocabilidad del material: la no "posesión" del material por parte de los alumnos puede reducir el interés de un material enormemente; mirar desde lejos cómo funciona un compás, por ejemplo, nunca puede sustituir a su uso individualizado.
3. Poca cantidad de material: hay muchos materiales que han de ser uso personal y no de grupo o de una clase; el trabajo en grupo no da en estos casos el resultado deseado.
4. La no adecuación de los conceptos presentados por el material: tanto por la edad como por el nivel educativo existen conceptos no adecuados y por tanto presentarlos vía un material que en apariencia puede parecer "divulgador" no tiene ningún sentido.
5. El creer que el material ya asegura un concepto: no se puede creer que un concepto presentado a través de un material concreto sea ya un concepto conseguido; solamente a través de una revisión constante de los conceptos permite aspirar a un conocimiento mínimamente válido de los mismos.
Se analizaron estas consideraciones al elegir y diseñar el material concreto que se verá en las guías de actividades, intentando no caer en ninguno de estos errores vistos.
LOS MATERIALES Y LAS HABILIDADES
En los actuales modelos de diseños curriculares se presta cada vez más atención a la explicitación y precisión de las habilidades que tiene que adquirir el alumno. Más que insistir en el listado exhaustivo de contenidos clásicos o teóricos de un área científica (en este caso la Geometría) expuestos a su caducidad o transformación en un futuro próximo, interesa definir unos nuevos contenidos procesales donde las habilidades en relación con las destrezas, técnicas, métodos de trabajo y estrategias cognitivas, etc. constituyan el marco de referencia para confeccionar los currículum geométricos de los diferentes ciclos de la enseñanza obligatoria.
Las habilidades geométricas vienen intrínsecamente condicionadas por las habilidades espaciales, entendiéndolas como las habilidades de generar, retener y manipular imágenes espaciales abstractas. Estas imágenes mentales vienen determinadas a su vez por tres tipos de representaciones espaciales interrelacionadas: los productos espaciales, el pensamiento espacial y la memoria espacial.
Los productos espaciales se refieren a los productos externos que representan el espacio de alguna manera, los modelos manipulativos son el ejemplo típico. De esta forma, el uso de material concreto que se preparó para este trabajo, creemos que favorece directa e indirectamente el desarrollo de la imaginación espacial propiciando así el desarrollo de las habilidades espaciales y de las habilidades geométricas en general.
LA COMPUTADORA: UNA HERRAMIENTA PARA TRABAJAR EN EL AULA
Hoy en día, con los avances de la tecnología, encontramos en la computadora un buen recurso para trabajar con nuestros alumnos en el análisis, reproducción y creación de estos diseños, sin necesidad de grandes conocimientos informáticos. Así, la PC pasa a constituir un fuerte soporte para la formación y comprensión de conceptos, la visualización y el uso de múltiples representaciones del objeto matemático.
El creciente poder de las nuevas computadoras (junto a paquetes integrados y accesos a información externa), da lugar a considerarla ya sea como objeto de estudio o bien como una herramienta para el abordaje de contenidos pertenecientes a otras áreas. Con este sentido será tomada para el desarrollo de este trabajo: como una herramienta para la enseñanza y aprendizaje de la matemática, que permite la experimentación y descubrimiento.
De esta manera, se empleará la computadora como un instrumento que permita ampliar (potenciar) la capacidad de comprender y operar en/con la realidad, lo cual no debe interpretarse como un desdén de otros recursos que hasta hoy dieron buenos resultados.
¿EN QUÉ CONSISTE LA PROPUESTA DE TRABAJO?
Si bien se presentarán en las próximas páginas algunas de las actividades que se pueden implementar para el desarrollo del tema propuesto, podemos hacer a continuación un breve comentario acerca de la idea general del trabajo que está dirigido a alumnos de 2° o 3° año del 3° ciclo (8° o 9° año de E.G.B.).
Se analizarán, en principio, las características y propiedades de los mosaicos o teselados regulares, necesitando para ello rever conceptos generales de dichas figuras (construcción, características, propiedades, etc.).
Luego se generalizarán estas ideas a otros tipos de figuras, que pueden ser geométricas no regulares, figuras que no sean polígonos, y figuras construidas utilizando la técnica del recorte (se explicará en la guía de actividades propuesta para los alumnos).
Otras actividades previstas consisten en presentar teselados y frisos, pidiendo identificar cuáles son las figuras patrón originales y los movimientos realizados para su creación. Un ejemplo puede ser el siguiente diseño:
Se pueden comparar distintos diseños y verificar el análisis realizado acerca de cuáles son los polígonos regulares que pueden servir de base para los cubrimientos del plano. Es interesante crear mosaicos propios a partir de estos polígonos y también de otros no regulares. Esta actividad puede llevarse a cabo tanto con lápiz y papel, como utilizando a la computadora como recurso.
Se propondrá la utilización de algún software gráfico que demande mínimos requerimientos de hardware y de conocimiento específico de su manejo, es decir, se tratará de interfaces amigables.
Otro
ejemplo de diseño
Programas como el Paintbrush o el Neopaint son algunos de los posibles para llevar a cabo el trabajo, ya que son conocidos por los alumnos (la dificultad no se debe centrar en el uso de la computadora ya que debe constituir una herramienta eficaz) pero requerirán para este proyecto analizarlos con mayor profundidad y saber resolver algunas nuevas situaciones que se pueden presentar.
Durante el desarrollo de este proyecto será importante hacer hincapié en no quedarse únicamente al nivel gráfico y estético en este tema, pues ofrece posibilidades para trabajar, a partir de ideas sencillas, el método deductivo en geometría.
Para la implementación en el aula de las ideas presentadas, deberán tenerse en cuenta tanto algunos conocimientos previos tales como: primeros elementos de geometría euclidiana, concepto y clasificación de ángulos, paralelismo y perpendicularidad, polígonos y región poligonal, como el nivel en el se encuentren los alumnos en el momento de comenzar.
Las actividades elaboradas -que se verán a continuación- apuntan más allá de la comprensión de los conceptos que ellas enmarcan, ya que se considera la necesidad de proporcionar elementos formativos esenciales en los estudiantes, para avanzar en el proceso cognitivo y desarrollar capacidades de validación y deducción. Interesa que los alumnos no sean sólo capaces de utilizar los conceptos o propiedades vistos en situaciones idénticas a las presentadas en el aula, sino que cuenten con ideas cuando se trata de resolver los mismos problemas planteados en un contexto algo diferente.
Es importante destacar que el trabajo se apoyará, en este punto, en el aporte de los profesores holandeses Pierre Marie Van Hiele y Dina Van Hiele-Geldof, de los cuales surge el hoy reconocido modelo de Van Hiele. Este modelo establece que la comprensión de la geometría pasa por cinco formas de ver los conceptos geométricos que se denominan niveles de razonamiento. El progreso en la comprensión de los conceptos geométricos siempre se produce desde el primer nivel y de manera ordenada, a través de los siguientes. No es posible alterar el orden de adquisición de los niveles ya que cada uno de ellos lleva asociado un lenguaje y el paso de un nivel al siguiente se produce en forma continua y pausada.
Se partirá de la manipulación de material concreto y se avanzará hasta el ordenamiento de propiedades que podrán ser captadas por los mismos alumnos. De esta manera, se podrá avanzar desde el primer nivel de razonamiento planteado por el modelo de Van Hiele (reconocimiento) hasta el tercero (clasificación) alcanzando objetivos específicos en cada uno de los niveles.
Las habilidades básicas son útiles para describir los procesos de asimilación y adecuación en el aprendizaje de la geometría puesto que describen en forma gradual el desarrollo mental de los alumnos. La formación matemática que así se logra es valiosa puesto que proporciona un desarrollo en la percepción visual y espacial. Puede servir como vehículo para estimular y ejercitar habilidades generales de pensamiento y capacidades para la resolución de problemas.
La habilidad visual manifiesta características específicas desde los primeros niveles de razonamiento. El reciente desarrollo tecnológico ha hecho que resurja el interés por utilizar las técnicas visuales como uno de los principales elementos de apoyo al proceso de enseñanza-aprendizaje. Se consideran un fuerte soporte para la formación y comprensión de conceptos, la visualización y el uso de múltiples representaciones de un objeto matemático.
El ejercicio de la visualización y la representación y comparación de figuras en diferentes posiciones, permite el desarrollo del sentido espacial que parece necesario para interpretar, comprender y apreciar la geometría.
En las primeras actividades propuestas para el desarrollo de este trabajo se analizará el desarrollo de estas habilidades, visualizando los diferentes movimientos geométricos, tanto para el reconocimiento de figuras trasladadas o rotadas, por ejemplo, como para la realización de los mismos.
En un segundo nivel, las actividades pretenderán que se empleen correctamente conceptos geométricos en el descubrimiento y análisis informal de los elementos y características de cada uno de los movimientos geométricos. Es importante aquí la justificación de las respuestas, y la discusión y acuerdo grupal de las características encontradas.
En un nivel superior a éste, se plantearán actividades que pretenden la toma de conciencia de la relación existente entre la figura inicial, la transformación efectuada y la figura final.
No siempre se podrá llegar a los niveles superiores que plantea el modelo de Van Hiele. Pero, de todos modos, se debe dejar expuesta en esta propuesta de trabajo la importancia que tiene la validación formal de situaciones geométricas.
ALGUNAS CONSIDERACIONES ACERCA DE LAS ACTIVIDADES
Si bien se eligió en esta ocasión el tema de mosaicos para trabajar, todos sabemos que no es esta la única elección importante, sino también su implementación y análisis.
Las actividades están orientadas a dominar las transformaciones geométricas y aplicarlas en la construcción de teselados.
Cada una de las guías puede constituir el material a entregar a los alumnos. En este caso, para la presentación del trabajo, se verán modificadas, ya que antes o después de algunos ítems se realizarán algunos comentarios para aclarar o enriquecer la propuesta.
TRABAJANDO
CON TESELADOS
Tal como se comentó anteriormente, las siguientes son algunas actividades pensadas para trabajar el tema de Mosaicos o Teselados con alumnos del 8° o 9° año de E.G.B.
Pero no aparecerán aquí sólo las actividades a desarrollar sino también algunos comentarios que aclaren lo que se desea trabajar a partir de ellas.
La distribución o división de la propuesta, si bien es sólo tentativa, se comentará también el por qué de dicha elección.
Para rever en principio algunos conceptos previos y a partir de ellos comenzar con el tema específico de la presente guía, se reparten a los alumnos, distribuidos por grupos, sobres que contienen diferentes figuras (luego ellos verán que son regulares) para trabajar con las siguientes actividades:
(SOBRE N°1)
A partir del material distribuido:
o Clasificá las diferentes figuras que aparecen en tu sobre.
o Tomá una de las figuras y marcá en ella los lados, las diagonales, los vértices y los ángulos interiores.
o ¿Qué nombre reciben cada una de ellas según el número de lados?
o Medí cada uno de los lados y ángulos interiores de las diferentes figuras. ¿Qué conclusión obtenés? Fundamentá tu respuesta.
o A partir de la conclusión del ítem anterior, ¿qué otros elementos podés distinguir en este tipo de figuras?
Tomá fichas del mismo tipo y embaldosá una región de un
plano, de manera que no queden huecos, que dos de ellas no se superpongan y que
a los vértices sólo concurran vértices.
¿Fue posible? ¿Por qué?
Generalizá para el resto de las figuras regulares.
Esta generalización puede llevarse a cabo a partir de la puesta en común del trabajo de cada uno de los grupos, donde se verá la forma en que cada uno de ellos fundamentó su conclusión respecto de las figuras regulares que permiten embaldosar un plano.
Otra forma de llevar a cabo esta generalización, de acuerdo al nivel del curso, es a través de la demostración, al menos informal, de las figuras regulares que permiten ser utilizadas para la construcción de un teselado. Vale aclarar en este punto que no todos los cursos pueden llegar a la deducción que estamos esperando, pero sería una buena idea proponer a los alumnos la presentación de la demostración formal al finalizar la resolución de las guías.
Se puede aclarar también, para el desarrollo del próximo ítem y los siguientes, que consideraremos de aquí en más, al realizar algún movimiento, la figura inicial y la transformada.
Esto se debe aclarar ya que en Matemática, al considerar los movimientos de figuras en el plano, estudiamos y analizamos la figura obtenida al aplicar una determinada función puntual (el movimiento que queramos hacer). Pero en este caso, para poder construir todo un teselado, necesitamos ambas -la inicial y la transformada- para poder ir completando la región del plano deseada.
En uno de los cubrimientos, designá una ficha como figura
inicial e indicá qué movimientos son necesarios para realizar tal embaldosado.
¿Podés obtener el mismo embaldosado empleando otros
movimientos? ¿Cuáles?
¿Qué modificarías en la figura inicial para que ocurra lo
contrario a la respuesta dada en el punto anterior?
En el ítem 6- el alumno podrá notar que hay figuras que permiten construir el mismo teselado aplicando distintos movimientos en cada construcción. Por ejemplo, si elegimos como figura inicial el cuadrado, vemos que podemos aplicar sucesivas traslaciones y podemos obtener un mosaico. Del mismo modo, podemos aplicar sucesivas rotaciones, con centro en uno de sus vértices y un ángulo de rotación de 90°, y obtendremos al finalizar el mismo teselado. Continuando este análisis, podemos aplicar al cuadrado inicial una simetría axial considerando un lado como eje de simetría y, una vez más, obtendremos el mismo mosaico.
Pero a partir de la pregunta del ítem 7- el alumno debe notar que esto puede considerarse algo casual, porque todo depende del tipo de ficha con que estemos trabajando (no sólo depende de la forma). Basta con agregar algún dibujo, por ejemplo, a la ficha original y veríamos que la respuesta anterior no coincide en este caso.
Podemos ver en las siguientes figuras, que si consideramos una ficha cuadrada con un dibujo en ella, el resultado no es el mismo. No nos quedará el mismo teselado si partimos de la figura original y realizamos diferentes movimientos. Podemos destacar a partir de este resultado la importancia de reconocer la imagen de cada uno de los puntos al aplicarle una determinada función y no sólo la imagen final.
Realizá cubrimientos empleando dos figuras regulares,
respetando las condiciones del segundo punto. ¿Cuáles empleaste?
Generalizá tu respuesta, analizando las posibles
combinaciones de figuras regulares que permitan construir un teselado.
Encontrá polígonos no regulares que permitan embaldosar
un plano.
Esta propuesta de actividades que se vieron puede corresponder a una primera etapa del trabajo, que sirve para rever conceptos geométricos fundamentales para un futuro avance en el tema.
Las actividades que veremos a continuación pueden desarrollarse utilizando la computadora como recurso. Tal como se comentó anteriormente, existen programas sencillos de fácil manejo, como el Paintbrush por ejemplo, que le permite al alumno diseñar y experimentar de diversas formas.
Se podrá observar, de acuerdo al tipo de tareas que se proponen, que no es obligatorio el uso de la PC, pero sí se puede considerar una muy buena herramienta de trabajo en el aula para esta ocasión.
Realizá un mosaico a partir de esta figura e indicá qué
movimientos en el plano son necesarios para su diseño:
¿Son los mismos movimientos que se aplicaron en este otro
mosaico?
¿Qué otros movimientos se podrían haber aplicado para
cubrir una región del plano?
Ejemplificá a partir de la creación de tus propios diseños.
Analizá nuevamente todos los posibles movimientos que se
pueden aplicar, utilizando como figura inicial algún polígono no regular que
respondiste en el punto 10- de la guía anterior.
Estos últimos ítems permitirían también rever algunos conceptos, en caso de considerarse necesario, de acuerdo al grupo con el que se esté trabajando. Ya que se pide en los mismos la construcción de diferentes teselados, se puede en principio incorporar algunas condiciones como por ejemplo: diseñar mosaicos tomando como figura inicial
· un polígono que tenga un par de lados paralelos
· un polígono que tenga un par de lados perpendiculares.
· un polígono donde uno de sus ángulos interiores sea de una determinada amplitud.
Estos requisitos que se piden en la figura original que los alumnos deben construir, pueden ir variando de acuerdo con los conceptos que se quieran rever, para luego dar lugar a los diseños libres propios de los alumnos.
En el próximo punto se explica la técnica de recorte que se nombró dentro de los comentarios generales del trabajo. Como se podrá ver, las indicaciones son muy sencillas.
El análisis completo o más exhaustivo de esta técnica también es otro tema que se podrá incluir o no, de acuerdo con el nivel del curso: en algunos casos requerirá la explicación del docente acerca de todas las posibilidades de recorte que se puede hacer en función del movimiento que después se quiera aplicar, y en otros casos se podrá dejar esta investigación a los alumnos para su gradual descubrimiento.
Si bien aclaramos al comienzo de esta guía las ventajas del uso de algunos programas como herramientas para el diseño de los teselados, en este punto se incrementan aún más esas virtudes debido a la facilidad que presentan respecto de la experimentación y la creatividad.
Se pueden lograr diseños originales partiendo de una
figura y trabajando en ella como lo muestra el siguiente diagrama:
Investigá ésta y otras maneras de trabajar a partir de una figura inicial, y creá nuevos diseños para agregar a los realizados anteriormente.
Tal como se comentó en líneas anteriores a este último ítem, la técnica explicada puede ser analizada en profundidad y descubrir así nuevos y diferentes tipos de cortes que pueden hacerse a la figura original, para lograr nuevas figuras que permitan construir teselados, de acuerdo con los movimientos a aplicar.
Puede verse a continuación, a modo de ejemplo, algunas de las variantes que los mismos alumnos pueden descubrir, o como ya se comentó, pueden trabajarlo junto al docente en caso de ser necesario, según el grupo con que estemos desarrollando las actividades.
Traslación:
Rotación:
Una vez más, nos encontramos con una actividad que a pesar de estar centrada en el tema específico que queremos trabajar, puede servirnos para rever conceptos previos.
Así, por ejemplo, puede pedirse a los alumnos que apliquen esta técnica partiendo de un cuadrado, que calculen el perímetro y el área de la figura original así como también de la nueva figura obtenida. Podemos trabajar a partir de esto la idea de figuras con áreas equivalentes, a pesar de encontrarnos en algunos casos con figuras que no son poligonales y por lo tanto no tendríamos una fórmula que nos permita calcularlo directamente. Con respecto al perímetro descubrirán que sí varía al aplicar la técnica de recorte, sin considerar alguna posible excepción. Pueden verse las ideas comentadas en la siguiente figura:
En otra guía de actividades se pueden mostrar figuras que sirven para la construcción de teselados, que fueron analizadas por algunos matemáticos. Se entrega para ello un sobre con fichas del teselado que se verá continuación (pueden realizarse con cartón o cualquier material similar)
(SOBRE N°2)
Las teselas de Truchet son una modificación hecha por
Clifford A. Pickover a una figura inventada por el francés P.Sebastien Truchet,
consistente en dos cuartos de un círculo inscriptos en un cuadrado, centrados
en sus vértices opuestos y que interseca los lados del cuadrado en sus puntos
medios, como por ejemplo:
Donde se pavimenta una región plana con estas figuras, aparecen extrañas figuras sinuosas sin que queden cabos sueltos, excepto los bordes de la región.
o Indicá la veracidad de la siguiente afirmación. Justificá tu respuesta.
"La continuidad de cada curva está
garantizada, porque los puntos medios de los lados de los cuadrados adyacentes siempre
coinciden."
o Realizá distintos diseños utilizando el material distribuido.
o ¿Qué conclusiones obtenés a partir de la comparación de los dos últimos ítems?
o Diseñá con el material que creas más conveniente las piezas necesarias para construir el siguiente rompecabezas espacial a partir de las figuras conocidas de Truchet:
Para el análisis del teselado de Truchet, se puede emplear aquí también la computadora como recurso, además del material concreto utilizado, ya que existe un programa que trabaja específicamente con este teselado. Permite, a través de algunas teclas, modificar ciertas condiciones como por ejemplo el tamaño de la figura que se tomaría como inicial, los colores del diseño final, la rotación que se le daría a la figura inicial antes de realizar el mosaico, etc.
Aquí podemos ver a modo de ejemplo un teselado de Truchet logrado con el programa:
Este programa cumple con las condiciones que se pueden tener en cuenta en la elección de un software educativo, de forma tal que la utilización de un programa no constituya el mayor inconveniente; no debemos olvidarnos que el problema no se debe centrar en el manejo del software sino en el tratamiento de los contenidos conceptuales que se quieren trabajar.
Es decir, se tendrá en cuenta al elegir los programas con que trabajar:
· que tengan un manejo sencillo, con interfaces amigables que no conviertan a la herramienta en un nuevo problema, agregando otra variable a la cuestión que desea resolverse.
· que no sea de tan alta sofisticación que dificulte su empleo ni tan básico que nos prive de utilidad.
· que, de ser posible, el idioma con que cuentan sea el nuestro, para que esto tampoco sea otra dificultad que aparte a los alumnos del objetivo central.
De esta forma, los alumnos pueden desarrollar los próximos ítems, realizando rápidamente la cantidad de teselados que consideren necesarios, ajustando o modificando las variables que crean convenientes para poder responder las consignas.
o Utilizando el programa Tesela25, analizá algunos de los diseños que son posibles a partir de las figuras de Truchet.
o Investigá cada una de las opciones que ofrece el menú indicando qué cambios produce cada una de ellas en el teselado.
Una de las principales aplicaciones de los teselados
(vistos como grupos de simetría) es la cristalografía. Los átomos y las
moléculas de la materia en estado cristalino se acomodan de manera análoga a
como lo harían las baldosas en un embaldosado periódico y muchas de las
propiedades de los cristales depende, de alguna manera, de su estructura
geométrica.
Un tipo de teselación que podría describir la estructura de los quasicristales es la llamada teselación de Penrose, construida por Roger Penrose, un físico matemático de la Universidad de Oxford, en 1974. Dicha teselación está formada por dos tipos de rombos, uno con ángulos de 72° y 108° y el otro con ángulos de 36° y 144°.
o Construí un modelo de las teselas de Penrose.
o Compará tus rombos con los de tus compañeros. ¿Cómo resultan las figuras?
(SOBRE N°3, con los rombos de Penrose como fichas)
o A partir del material distribuido, realizá diversos diseños. ¿Qué conclusiones podés obtener?
Con este nuevo material, podemos introducir la noción de teselados no periódicos, además de rever, como se puede notar en las actividades, los conceptos de construcciones geométricas y figuras semejantes.
A partir del análisis que realizó sobre el material
visto, Penrose descubrió un nuevo ejemplo de razón áurea: halló dos figuras
sencillas (que las llamó cometa y flecha, de acuerdo con su
forma) tales que con réplicas de ellas se puede recubrir el plano de una manera
no periódica y cuyas dimensiones guardan la proporción áurea.
o Construí una réplica de las fichas de Penrose, siguiendo el modelo que te mostramos a continuación:
o ¿Qué nombre recibe este polígono de acuerdo a los datos con que contamos? Justificá tu respuesta.
o ¿Por qué dice el enunciado que Penrose descubrió un nuevo ejemplo de sección áurea?
A partir del ítem anterior se puede rever el concepto de proporción áurea, ya que las dimensiones de las fichas de Penrose guardan esta proporción (x/y da como resultado el "número de oro"). En esta revisión podemos incluir desde la proporcionalidad de segmentos, la proporción áurea hasta los rectángulos áureos, ya sea desde la Matemática, o bien desde la aplicación de todos estos conceptos en el Arte.
Aquí también podemos fabricar fichas con el diseño de Penrose, para repartir a los alumnos distribuidos en grupos, como lo muestra la siguiente figura. Puede verse en ella (y teniendo en cuenta los datos que aparecen en la figura anterior) que Penrose parte de uno de sus rombos que analizamos en la actividad anterior. Las fichas a repartir ya estarán cortadas separando la ficha cometa de la flecha, tal como las llamó Penrose:
(SOBRE N°4 con las fichas "cometa" y "flecha" en cartón)
o A partir del material distribuido, realizá con tu grupo un teselado.
Quedarán teselados muy particulares ya que se podrá descubrir durante la construcción de los mismos que es importante en este caso la colocación de cada ficha, porque no siempre podrá continuarse con el mosaico (es importante entonces analizar qué sucede con la amplitud de los ángulos interiores de cada ficha y con una variante respecto de las baldosas trabajadas hasta ahora: en este caso, una de ellas es cóncava)
Algunos ejemplos se muestran en las siguientes imágenes:
Tal como se anticipó en los comentarios generales del trabajo, se pueden también analizar teselados ya hechos, para descubrir las figuras que pueden considerarse como iniciales e indicar los movimientos necesarios para realizar el mosaico.
Analizá los siguientes teselados del artista holandés
Maurits Escher. Indicá en cada uno de ellos la figura inicial y los movimientos
necesarios para realizar el diseño.
¿Es única tu respuesta?
Acerca del análisis y diseño del software utilizado en la
elaboración de los teselados, y guiándote por las siguientes preguntas, redactá
un artículo periodístico en el que se critica el soft:
· ¿Qué ventajas le encontrás?
· ¿Qué desventajas le encontrás?
· ¿Qué modificaciones realizarías para corregir esos inconvenientes?
· ¿Con qué recursos lo implementarías?
No te olvides: título, copete, ...
No extender el artículo más de una carilla (tamaño carta o A4)
Realizá un trabajo similar al punto anterior, analizando
esta vez el material utilizado durante el desarrollo del trabajo. Incluí nuevo
material diseñado junto a tus compañeros de grupo a partir de los mosaicos
realizados en actividades anteriores, utilizando o no el mismo tipo de material
(justificá las razones por las que se mantiene el mismo o se modifica).
Siguiendo los lineamientos que plantea Ma. Antonia Casanova en su libro Manual de Evaluación Educativa acerca de los diversos tipos de análisis de la evaluación, podemos considerar para la implementación del presente proyecto de trabajo una evaluación con las siguientes características:
· Por su finalidad:
De acuerdo con los dos planteamientos que se muestran en la bibliografía mencionada consideraremos, durante el desarrollo del trabajo, una evaluación formativa. Es decir, valoraremos los procesos de funcionamiento general, de enseñanza, de aprendizaje, etc. Esto supone un conocimiento apropiado de las distintas situaciones, que permita modificar, mejorar o perfeccionar el proceso.
Recogeremos datos o información concernientes al progreso y a las dificultades de aprendizaje encontradas en los alumnos a través de alguna de las técnicas que se utilizan en esta etapa. En este caso, aplicaremos la técnica de observación a lo largo de la implementación del proyecto y los trabajos de los alumnos.
Como instrumento para esa recogida de datos podemos elegir la escala de valoración de forma tal que el registro de esos datos refleje los indicadores que queremos evaluar, valorando cada uno de ellos en forma gradual, expresándolo descriptivamente.
Para ello, se elaborará una ficha como la que figura a continuación.
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El/la alumno/a ... |
Siempre |
Muchas veces |
Algunas veces |
Nunca |
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1- Reconoce en las figuras geométricas · elementos · características |
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2- Aplica las propiedades de las figuras geométricas en la elaboración de diseños |
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3- Reconoce los movimientos como funciones puntuales |
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4- Aplica las propiedades de la proporción áurea en el análisis de las figuras |
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5- Maneja con precisión los compo-nentes del hardware necesarios para los diseños |
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6- Reconoce las ventajas y desventajas de diversos software que se utilizan para la resolución de un problema |
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7- Elabora diseños a partir de: · figuras regulares · figuras no regulares |
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8- Reconoce la figura inicial o patrón en un teselado |
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9- Interpreta teselados de distintas características |
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10- Comunica razonadamente los resultados obtenidos en la resolución de un problema |
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11- Manifiesta interés por el trabajo en clase |
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12- Sabe resolver problemas · en forma autónoma · trabajando en equipo |
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13- Presenta sus trabajos · ordenados · al día |
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14- Posee rigor crítico: · al recogre información · al analizar la información · al realizar trabajos sencillos de investigación |
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15- Demuestra curiosidad por conocer otras técnicas de diseño |
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· Por su temporalización:
De acuerdo con lo planteado según la finalidad, la evaluación es procesual ya que habrá una valoración continua del aprendizaje del alumno mediante la mencionada recogida sistemática de información, análisis de los mismos y toma de decisiones durante el proceso.
También habrá una evaluación final al cabo del desarrollo del trabajo, reflexionando en torno de lo alcanzado. Esta evaluación final puede adoptar las dos funciones que plantea la autora: formativa y sumativa.
En su función formativa, servirá para continuar adecuando la enseñanza al modo de aprendizaje del alumno y para retroalimentar la programación del docente, que tomará las decisiones oportunas para mejorar el proceso de enseñanza de los contenidos siguientes.
En su función sumativa, servirá para tomar la decisión sobre el grado de lo alcanzado por un alumno.
· AGUERRONDO, I. (1990): El planeamiento educativo como instrumento de cambio. Buenos Aires, Troquel.
· ALSINA, C. - BURGUÉS, C. - FORTUNY, J. (1991): Materiales para construir la geometría. Madrid, Ed. Síntesis.
· ANTUNEZ, S - GAIRÍN, J. (1996): La organización escolar. Barcelona, Graó.
· BAROODY, A. (1997): El pensamiento matemático de los niños. Madrid, Aprendizaje Visor.
· CASTELNUOVO, E. (1970): Didáctica de la matemática moderna. México, Ed. Trillas.
· GEGA, P. (1980): La enseñanza de las ciencias en la escuela primaria. Buenos Aires, Ed. Paidós.
· GUTIERREZ SANTOS, M. V. (1992): Notas de Geometría. Santafé de Bogotá, Universidad Nacional de Colombia.
· HARF, R. y otros (1997): Aportes para una didáctica. Buenos Aires, El Ateneo.
· HERNÁNDEZ, F. - VENTURA, M. (1992): La organización del curriculum por proyectos. Barcelona, Graó.
· JAIME PASTOR, A. - GUTIERREZ RODRIGUEZ, A. (1996): El grupo de las isometrías del plano. Madrid, Síntesis.
· MATERI, L. - BÄHLER, N. (1988): Administración escolar. Planeamiento institucional. Buenos Aires, El Ateneo.
· PAPPAS, T. (1996): El encanto de la Matemática. Madrid, Zugarto Ediciones.
· PARRA, C. - SAIZ, I. (Comps.)(1997): Didáctica de matemáticas. Buenos Aires, Ed. Paidós.
· SANTALÓ, L. (1992): Temas nuevos en la enseñanza de la Matemática en un nivel secundario. Elementos de Matemática.Vol.VII, Nº 26 (pp.11-28). Buenos Aires, CAECE.
· SANTALÓ, L. y colaboradores (1994): Enfoques. Hacia una didáctica humanista de la matemática. Buenos Aires, Ed. Troquel.
· SPIEGEL, A. (1997): La escuela y la computadora. Buenos Aires, Ediciones Novedades Educativas.
· VILLELLA, J. - CRESPO CRESPO, C. - PONTEVILLE, Ch. (1998): Cuando la Geometría es el tema de la reflexión matemática. Buenos Aires, UNSAM.
OTRAS PÁGINAS RELACIONADAS CON EL TEMA:
· http://www.xtec.es/ceip-pompeufabra-lloret/ciencia/
· http://www.elosiodelosantos.com
Silvina Cafferata Ferri (scafferata@overnet.com.ar)
Gerardo Rubén Mamani (grmamani@infovia.com.ar)