(*--------------------------------*)
r=14 ;
q=3 ;
(* With the condition r<>q *)
(*--------------------------------*)
Q:=2*(r^2+q^2)-1
Z:=(Q^2+32*r^2*q^2)*(r^2+q^2)
a:=Z-3*r^2*Q^2
b:=Z-96*r^2*q^4
c:=Z-3*q^2*(Q^2+32*r^4)
k:=Z-3*q^2*Q^2
l:=Z-96*r^4*q^2
m:=Z-3*r^2*(Q^2+32*q^4)
(* x is variated as a Table *)
num:=(a^x+b^x+c^x)-(k^x+l^x+m^x)
denum:=(a^3+b^3+c^3)-(k^3+l^3+m^3)
ratio:=num/denum
ask:=IntegerQ[ratio]
Table[ask, {x,1,100}]
{True, True, True, True, True, True, True, True,
True, True, True, True, True, True, True, True,
True, True, True, True, True, True, True, True,
True, True, True, True, True, True, True, True,
True, True, True, True, True, True, True, True,
True, True, True, True, True, True, True, True,
True, True, True, True, True, True, True, True,
True, True, True, True, True, True, True, True,
True, True, True, True, True, True, True, True,
True, True, True, True, True, True, True, True,
True, True, True, True, True, True, True, True,
True, True, True, True, True, True, True, True,
True, True, True, True}