เลข 8 หลัก (solution by me)

จะขอใช้สมการ congruence เพื่อสะดวกในการคำนวณและการเขียน

จาก abcddcba เมื่อกระจายออกมาจะอยู่ในรูปของ

abcddcba = a(10⁷ +1) + b(10⁶ + 10¹) + c(10⁵ +10²) +d(10⁴ + 10³) ....(1)

และความจริงที่ว่า 137*73 = 10001 = 10⁴ +1

ซึ่งก็คือ 10⁴ == -1 mod 137

ซึ่งเมื่อนำ (1) มาเขียนในรูป modulo จะได้เป็น

a(10⁷ +1) + b(10⁶ + 10¹) + c(10⁵ +10²) +d(10⁴ + 10³) == 0 mod 137

a(-10³ +1) + b(-10² + 10) + c(-10 + 10²) + d(-1 + 10³) == 0 mod 137

-999a -90b +90c +999d == 0 mod 137

-111a -10b +10c +111d == 0 mod 137 ; gcd ( 9,137) = 1

26a - 10b +10c -26d == 0 mod 137

13a -5b +5c -13d == 0 mod 137 ; gcd(2,137) =1

จะได้ว่า 13a -5b +5c -13d หาร 137 ลงตัว ซึ่งเป็นไปได้เพียง 3 กรณีคือ เท่ากับ 0, 137,-137

ส่วนกรณีอื่นๆเป็นไปไม่ได้เนื่องจากเกินขอบเขตของ a,b,c,d < =9

case 1 : 13a -5b +5c -13d = 0 ....(2)

13(a-d) = 5(b-c)

จะเห็นได้ชัดว่า b-c จะต้องถูกหารด้วย 13 ลงตัว แต่เนื่องจาก b,c <=9

ดังนั้นถ้า (b-c)/13 ลงตัวได้ แสดงว่า b ต้องเท่ากับ c เท่านั้น ซึ่งขัดแย้งกับโจทย์ซึ่งบอกว่า

a,b,c,d เป็นตัวเลขต่างกันทั้งหมด

ดังนั้น ไม่มี a,b,c,d ที่เป็นจริงสำหรับกรณีนี้

case 2 : 13a -5b +5c -13d = 137 ....(3)

5(c-b) == 137 == 7 mod 13

25(c-b) == 35 mod 13

(b-c) == -4 mod 13 ---> c-b == 4 mod 13

นั่นคือ c-b-4 ถูกหารด้วย 13 ลงตัว ซึ่งมี 2 กรณีคือ

<1> c-b = -9

จะไดว่า c = 0 และ b = 9 เมื่อนำไปแทนใน (3) จะพบว่าไม่มี a,d ที่สามารถทำให้เป็นจริงได้

ดังนั้น จึงไม่มีคำตอบสำหรับกรณีนี้

<2> c - b = 4

เมื่อนำไปแทนใน (3) จะได้ว่า 13(a-d) +5(c-b) = 137

13(a-d) = 117

a-d = 9 --> a = 9 และ d = 0 เท่านั้น

ดังนั้น {a,b,c,d} ของกรณีนี้อยู่ในรูปของ

{ 9,b,b+4,0} : โดย b มีค่าได้ตั้งแต่ 1-4

case 3: 13a -5b +5c -13d = -137 ....(3)

ทำในทำนองเดียวกันกับ case 2 จะพบว่าได้ a = 0 ซึ่งใช้ไม่ได้ (a เป็นเลขตัวหน้าของเลข 8 หลัก)

จึงไม่มีคำตอบสำหรับกรณีนี้

 

ดังนั้น ตัวเลข 8 หลัก abcddcba เขียนอยุ่ในรูปของ (9)(b)(b+4)(0)(0)(b+4)(b)(9)

โดย b มีค่าเท่ากับ 1-4 ซึ่งเมื่อ list ออกมาก็คือ

91500519, 92600629 , 93700739 , 94800849 ...##

 

• Back to problems