algebra (solution by me)
a + 1/b = b + 1/c = c + 1/a = t
a + 1/b = t ---> ab + 1 = bt ....(1)
b + 1/c = t ---> bc + 1 = ct ....(2)
c + 1/a = t ---> ac + 1 = at ....(3)
นำ (1) - (2) จะได้
b(a-c) = t(b-c) ....(4)
คูณตลอดสมการ (1) ด้วย c จะได้ abc + c = bct ....(5)
คูณตลอดสมการ (3) ด้วย b จะได้ abc + b = abt ....(6)
คูณตลอดสมการ (2) ด้วย a จะได้ abc + a = act ....(7)
นำ (6) - (5) จะได้
(b-c) = bt(a-c) ....(8)
นำ (4)*(8) ได้ b(a-c)(b-c) = t2(b-c)(a-c)b
เนื่องจาก a ,b,c แตกต่างกัน จึงได้ t2 = 1 นั่นคือ t = -1 หรือ 1
| นำ (5) -(6) (c-b) = bt(c-a) |
นำ
(6) -(7) (b-a) = at(b-c) |
นำ
(7) -(5) (a-c) = ct(a-b) |
ซึ่งเมื่อนำสมการทั้งสามคูณกันจะได้ว่า
(c-b)(b-a)(a-c) = abct3(c-a)(b-c)(a-b)
-1 =abct3 ---> abc = -1/t3
กรณี t = 1
abc = -1 ---> abc + t = -1 + 1 = 0 ....#
กรณี t = -1
abc = 1 ---> abc + t = 1 +(-1) = 0 ....#
ดังนั้น abc + t = 0 .....###