หรม. ครน. (solution by me)

ให้จำนวนเต็มบวกสองจำนวนนั้นคือ a,b และให้ หรม. กับ ครน. นั้นคือ x ,y ตามลำดับ

จากโจทย์จะได้ว่า

a + b = y +1 .....(1)

a - b = x +1 ......(2)

จากสมการข้างต้นจะได้ว่า x + y = 2a - 2b -2 ......(3)

และความสัมพันธ์ของ ครน. หรม. กับจำนวนทั้งสอง สัมพันธ์กันตามสมการ

ab = xy .......(4)

นำ (1) * (2) จะได้

a² - b² = xy + (x+y) + 1 = ab + 2a -2b -2 + 1

a² - b² = ab + 2a -2b -1 .....(5)

จะพิสูจน์ว่า หรม ของ a,b มีค่าเท่ากับ 1 [ gcd(a,b) = 1 ]

ให้ d แทน หรม. ของ a และ b จะได้ว่า มี m,n ที่ทำให้ a = md และ ิb = nd ...[ gcd(m,n)=1 ]

นำไปแทนในสมการ (5)

m²d² - n²d² = mnd² + 2md - 2nd -1

m²d² - n²d² - mnd² - 2md + 2nd = 1

จะสังเกตว่า ทางซ้ายของสมการหารด้วย d ลงตัว ดังนั้น ทางขวาต้องถูกหารด้วย d ลงตัวด้วย

นั่นคือ 1/d ลงตัว ซึ่งมีเพียง d =1 เท่านั้น (d = -1 ไม่ใช้เนื่องจากเรากำลังหาหรม. ของจำนวนเต็มบวก)

นำ ค่า หรม (x) เท่ากับ 1 ไปแทนใน (2)

จะได้ว่า a - b = 2 .....(6) และเมื่อนำไปแทนใน (4) จะได้ ab = y ....(7)

เมื่อนำ (7) ไปแทนใน (1) และแก้สมการกับสมการ (6) จะได้ว่า

a = 3 , b = 1 , x = 1 , y =3

นั่นคือ จำนวนทั้งสองที่ทำให้ระบบสมการนี้เป็นจริงคือ 1,3

• Back to problems