รากที่สอง (solution by me)
111...111 (1998 ตัว) = (101998 - 1) / 9
นำมาถอดรากที่สองจะได้ sqrt(101998 -1) / 3
จะพิสูจน์ว่า สำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก n >= 1 แล้ว
1. พิสูจน์ 
เนื่องจาก
จึงได้ว่า
ดังนั้น
.......#
2. พิสูจน์
เนื่องจาก
จึงได้ว่า
ดังนั้น
........#
ดังนั้นจึงได้ว่า
พิจารณา 10n /3
จะพบว่า 10n /3 จะได้ทศนิยมซ้ำ 3 คือ 10n /3 = xxx.333333...
พิจารณา 10-n /6
จะพบว่า 10-n /6 จะได้ทศนิยมซ้ำในรูปแบบดังนี้ xxx.00...0016666... (มีเลข 0 ทั้งสิ้น n ตัว)
พิจารณา (4/9)*10-n
จะพบว่า (2/9)*10-n จะได้ทศนิยมซ้ำในรูปแบบดังนี้ xxx.00...002222... (มีเลข 0 ทั้งสิ้น n ตัว)
พิจารณา 
จะมีค่าเท่ากับ xxx.333333... - xxx.0000...2222... (มี 0 อยู่ n ตัว)
= xxx.333...333111... (มี 3 อยู่ n ตัว)
พิจารณา 
จะมีค่าเท่ากับ xxx.333333... - xxx.0000...1666... (มี 0 อยู่ n ตัว)
= xxx.333...3331666... (มี 3 อยู่ n ตัว)
และเนื่องจาก 
มีค่าอยู่ระหว่าง 2
จำนวนดังกล่าว
ดังนั้นทศนิยมตำแหน่งที่ (n+1) คือเลข 1
และจากโจทย์ 2n=1998 --> n = 999
ดังนั้นทศนิยมตำแหน่งที่ 1000 คือเลข 1
