ตรีโกณมิติ (solution by me)

จะแบ่งการพิสูจน์ออกเป็น 3 ขั้นตอนคือ

1. พิสูจน์เอกลักษณ์ทางตรีโกณบางอย่าง

2. เปลี่ยนรูปของ 8sin(.)sin(.)sin(.) เสียใหม่

3. นำข้อ 1,2 มายำรวมกัน

<1> จะพิสูจน์เอกลักษณ์

มีวิธีพิสูจน์ได้ 2 วิธี ที่คิดได้ คือวิธีใช้เอกลักษณ์ตรีโกณล้วนๆ กับอีกวิธีหนึ่งใช้ complex root

ในที่นี้จะขอเสนอวิธีที่สองคือใช้ complex root

พิจารณารากของโพลิโนเมียล p(x) = x⁷ -1 , พบว่ารากทั้ง 7 ของสมการจะอยู่ในรูปของ

, k = 0,1,2,...,6) <----- de Moivre's theorem

และเนื่องจากสัมประสิทธิ์หน้าพจน์ x⁶ ของ p(x) คือ 0 , จะได้ว่าผลรวมของ real part ของรากจะเป็นศูนย์ด้วย นั่นคือ

^{ดังนั้น .....(1)}

 

<2> แปลงรูปของ 8sin(.)sin(.)sin(.) เสียใหม่

⁼

^......(2)

<3>. นำข้อ 1,2 มายำรวมกัน

• นำสมการที่ (1) มายกกำลังสอง

พิจารณาหาค่าของพจน์ที่เป็นผลบวกของ cos(.)cos(.)

ดังนั้นเราสามารถหาค่าของพจน์บวกของพจน์ที่เหลือได้คือ

^....(3)

• นำสมการที่ (2) มายกกำลังสอง

^.....(4)

พิจารณาหาค่าของพจน์ที่เป็นผลบวกของ sin(.)sin(.)

 

และเมื่อนำผลจากสมการ (3) กับผลที่ได้จากการคำนวณข้างต้นมาแทนใน (4) จะได้

3 - 5/4 = Y²/4 ==> 7/4 = Y²/4 ซึ่งจะได้ว่า

^.....###

 

• Back to problems