|
|
|
|
PRIMEIRA PARTE CONHECENDO A HP 12C
Tecla ON. No canto inferior esquerdo você encontra a tecla ON. Pressionando você ligará a sua HP12C. Pressionar novamente a calculadora será desligada. Se você esquecer de desligar a HP12C ela desligará automaticamente de 08 a 17 minutos após a sua última utilização. Para não gastar a bateria rapidamente, e aconselhável desligar a HP12C após o uso. Quando a bateria estiver fraca, e você ligar a calculadora, aparecerá no canto inferior esquerdo do visor, um asterisco piscando. Quando isto acontecer desligue a HP12C e leia as instruções do Manual de Proprietário – item Bateria, Garantia e Informações sobre Assistência Técnica.
Existem dois processos para testar o bom funcionamento da HP12C: Primeiro Teste: Desligue a máquina. Mantenha a tecla x pressionada. Ligue a máquina e solte a tecla x simultaneamente. No visor deverá aparecer a palavra running piscando. Após alguns segundos surgirá no visor:
Se não aparecer: CUIDADO. Tente novamente, caso continue dando ERROR sua máquina necessita de reparos. Importante ressaltar que a HP12C é uma calculadora blindada. Alguns problemas só serão resolvidos com a troca da máquina. Os telefones do Atendimento ao Cliente da Hewlett Packard do Brasil são: (011)829.6612 ou (011)822.5565 – Srta. Solange. Segundo Teste: Desligue a HP12C. Mantenha a tecla ¸ pressionada. Ligue a máquina e solte a tecla ¸ simultaneamente. Aparecerão alguns traços no visor. Pressione todas as teclas da esquerda para direita e de cima para baixo. Pressione ON, também. Pressione ENTER na 3ª. Linha e também na 4ª. Linha. Após alguns segundos, surgirá o n.º 12 no meio do visor. Se não aparecer: CUIDADO. Tente novamente, caso continue dando ERROR sua máquina necessita de reparos.
As teclas estão dispostas segundo uma matriz de 4 linhas e 10 colunas. Cada tecla é identificada pela interseção de uma linha com uma coluna. O primeiro número se refere à linha e o segundo a coluna. Por exemplo: % é representado pelo código 25. As teclas da HP12C realizam 1, 2 ou até 3 funções. As funções primárias (as mais utilizadas) estão impressas na face superior de uma tecla. Todas as teclas têm função primária. Outras teclas têm uma função alternativa impressa em azul na parte oblíqua inferior da tecla. Para acionar a função alternativa em azul é necessário pressionar primeiro a tecla azul de prefixo g. Esta tecla é a única totalmente azul no teclado. Após acionar a tecla azul g, aciona-se a tecla da função desejada. Para acionar a função alternativa em amarelo que está impressa acima da tecla é necessário acionar a tecla amarela f (é a única amarela no teclado). Após acionar a tecla amarela f, aciona-se a tecla da função desejada. Se você acionar uma delas por engano irá aparecer, na parte inferior do visor a letra f ou g. Para apagá-las basta acionar a tecla f e a tecla ENTER.
Para limpar o visor basta apertar a tecla CLX.
A HP12C possuí duas metodologias de descrição numérica – separação da parte inteira da decimal: a metodologia americana e a brasileira. Na metodologia americana os números são escritos da seguinte forma: 123,456.78 – o separador de casas decimais é o ponto. Na metodologia brasileira os números são escritos da seguinte forma: 123.456,78 – o separador de casas decimais é a virgula. Para modificar a metodologia apresentada em sua calculadora, adote os seguintes passos: Desligue a máquina. Mantenha a tecla · pressionada. Ligue a máquina soltando simultaneamente as duas teclas. Se você repetir esta operação, os separadores anteriores voltarão a ser utilizados.
Para alterar o número de casas decimais, digite f, seguido do número que representa a quantidade de casas decimais desejadas. Para ter duas casas decimais após a vírgula é só apertar a tecla f e o número 2. Se você quiser trabalhar com três casas decimais é só apertar a tecla f e o número 3. E assim por diante. A HP12C adota o arredondamento estatístico. Se o número no registro interno, posterior à última casa decimal fixada, for igual ou superior a cinco, haverá aumento de uma unidade na última casa decimal. Se isto não ocorrer, não haverá arredondamento.
Para introduzir um número na calculadora, pressione as teclas dos dígitos na mesma seqüência que você o escreve. Para introduzir o número 123: Pressione a tecla 1, depois a 2 e depois a 3. Após introduzir o último algarismo pressione a tecla ENTER. A tecla ENTER informa a calculadora que o número foi completamente fornecido e o separa de outros números a serem introduzidos. Para fazer com que o número que está no visor fique negativo basta pressionar a tecla CHS (CHS quer dizer Change Sign, isto é, troca o sinal). Quando o visor estiver com um número negativo (precedido pelo sinal -) é só pressionar a tecla CHS e ele fica positivo.
Apagar um registrador ou o visor é a operação que substitui seus conteúdos originais por zero. A HP12C possuí diversas operações de apagar, como se pode ver na tabela abaixo:
Ao pressionar X³ Y, se troca o conteúdo dos números armazenados. Suponha que você queira dividir 49 por 7 e por engano, você introduziu 7, pressionou enter e então introduziu 49. Neste instante você percebeu que a ordem correta é exatamente o contrário do que você fez. Para corrigir este engano, basta trocar o primeiro valor pelo segundo, pressionando X³ Y.
Neste curso vamos utilizar a HP12C com 0,0000 no visor; isto é, quatro casas decimais e a vírgula para separá-las dos inteiros.
Toda operação aritmética simples envolve dois números e uma operação (adição, subtração, multiplicação ou divisão). Para realizar tais cálculos na sua HP12C, você precisa informar à calculadora quais são os dois números e então qual a operação a ser realizada. A resposta é calculada quando a tecla da operação (+ , - , ´ ou ¸ ) é pressionada.
Os dois números devem ser introduzidos na calculadora na mesma ordem que apareceriam se a operação fosse feita com o emprego de lápis e papel e a expressão escrita da esquerda para a direita. Após a introdução do primeiro número, pressione a tecla ENTER, a qual informa à calculadora que o número foi completamente fornecido.
Em resumo, para se realizar uma operação aritmética:
Introduza o primeiro número. Pressione ENTER para separar o segundo número do primeiro. Introduza o segundo número. Pressione + , - , ´ ou ¸ para realizar a operação desejada.
Por exemplo, para calcular 80 dividido por 30, faça o seguinte:
Exercícios:
Respostas:
A HP12C foi projetada de modo que cada vez que você pressiona uma tecla de função, a calculadora realiza a operação naquele instante, permitindo que você veja os resultados de todos os cálculos intermediários, bem como o resultado final.
A HP12C possuí quatro registradores especiais, os quais são usados para o armazenamento de números durante os cálculos. Para entender como esses registradores são utilizados eles devem ser visualizados em forma de pilha, um sobre o outro. Os registradores de uma pilha operacional são designados por T, Z, Y e X. A menos que a calculadora esteja no modo de programação, o número apresentado no visor será sempre o contido no registrador X.
Os cálculos com um número sempre envolvem o conteúdo do registrador X, e os cálculos com dois números envolvem o conteúdo dos registradores X e Y. Os registradores Z e T são usados principalmente para a retenção automática dos resultados intermediários de cálculos em cadeia.
Examinemos um cálculo simples: 5 – 2 =
Vejamos agora o que ocorre na pilha operacional durante um cálculo em cadeia:
[(3 ´ 4) + (5 ´ 6)] ¸ 7 =
Realizando o cálculo na HP12C:
Veja como os resultados intermediários não são apenas apresentados à medida que são calculados, mas também ficam automaticamente armazenados e disponíveis na pilha operacional para serem utilizados no momento exato.
Maiores informações sobre a pilha operacional podem ser obtidas no Manual do Proprietário da HP12C.
Exercícios:
Respostas:
Operações com Decimais Toda fração pode ser transformada em um número decimal. Isto se consegue dividindo o numerador pelo denominador (teremos então, um decimal exato ou não).
FRAÇÃO: significa a parte de um todo. Em aritmética seria o número que representa uma ou mais partes da unidade que foi dividida em partes iguais. Desta forma, os números fracionários ou frações são usados para indicar uma, ou mais, parte(s) de um todo.
Os componentes da fração são:
A - numerador B - denominador
Sendo assim podemos expressar uma fração de dual maneiras: utilizando o traço de fração ou dividindo o numerador pelo denominador e obtendo um número decimal.
Ex. 3 = 0,75 (decimal exato) 4
1 = 0,3333 (decimal não exato) 3
Exercícios:
2,2 + 3,5 + 4,1 = 7,48 – 3,02 = 3,1 x 4,5 = 9,1 ¸ 1,3 =
Respostas:
2,2 + 3,5 + 4,1 = 9,8000 7,48 – 3,02 = 4,4600 3,11 x 4,5 = 13,9950 9,15 ¸ 1,3 = 7,0385
Inverso de um Número – 1/x
O inverso de um número inteiro nada mais é do que 1 dividido por este número. Assim, o inverso de 2 é de 1/2, o de 534 é 1/534 e assim por diante.
Na HP12C existe a tecla 1/x que tem como função inverter o valor contido no visor. Ela nos será muito útil. Para usá-la basta pressionarmos o número que se quer inverter e 1/x para termos o seu inverso.
Exemplo:
7 1/x aparecerá 0,1429 no visor (igual a 1/7). 2 1/x aparecerá 0,5000 no visor (igual a 1/2). 3 1/x aparecerá 0,3333 no visor (igual a 1/3). 4 1/x aparecerá 0,2500 no visor (igual a 1/4).
Potenciação
Seja a um número real e m e n inteiros positivos. Então:
Expoente é o número que indica quantas vezes a base deve ser multiplicada por ela mesmo. Sempre é escrito à direita e acima da base.
Na HP12C a tecla yx calcula um número y elevado a uma determinada potência x, ou seja, yx.
Como calcular na HP12C:
Digite o número da base ( y ). Pressione ENTER para separar o segundo número (o expoente) do primeiro (a base). Digite o expoente ( x ). pressione yx para calcular a potenciação.
Exemplos:
23
21,4
2-1,4
(-2)3
A radiciação é a operação inversa da potenciação.
Se a é um número real qualquer e m e n inteiros positivos, definimos:
No exemplo o n é o índice (sempre maior ou igual a 2) e o a é o radicado.
A forma mais conhecida de radiciação é quando temos o índice igual a 2. Esta forma é conhecida como raiz quadrada. Na raiz quadrada não é preciso escrever o índice 2Ö . Basta Ö .
Exemplos:
Ö 4 = 41/2 = ( 22 ) 1/2 = 22/2 = 21 = 2
Ö 9 = 91/2 = ( 32 ) 1/2 = 32/2 = 31 = 3
Como calcular a raiz quadrada, na HP12C:
Digite o número da base ( a ). Pressione a tecla g. Pressione a tecla Ö x – tecla 21.
Exemplos:
Ö 4
Radiciação com índices diferentes de 2:
3Ö 8 = 81/3 = ( 23 ) 1/3 = 23/3 = 21 = 2
5Ö 32 = 321/5 = ( 25 ) 1/5 = 25/5 = 21 = 2
Como calcular a raiz de índice diferente de dois, na HP12C:
Digite o número da base ( a ). Pressione ENTER para separar o segundo número (o índice) do primeiro (a base). Digite o número do índice ( n ). Pressione a tecla 1/x. Pressione a tecla yx .
Exemplos:
5Ö 32
3Ö 36
24Ö 1.234.567,89
Porcentagem é uma fração especial na qual o denominador é sempre 100. Ela pode ser indicada por um número acompanhado da notação %.
Cem porcento significa 100/100, isto é 1. Na HP12C usamos as porcentagens na forma percentual: 10%. Quando realizamos cálculos algébricos utilizamos a forma unitária ou fator unitário: 0,10. A conversão é simples: Fator Unitário = Fator Percentual / 100.
A operação é simples – implica sempre em multiplicar ou dividir o número por 100. Isto significa colocar a vírgula duas casas para a direita ou para a esquerda conforme for o caso.
Como calcular porcentagem - % na HP12C:
Digite o número da base. Pressione ENTER para separar o segundo número (o percentual) do primeiro (a base). Digite o número do percentual. Pressione a tecla %.
Exemplos:
Calcular 15% de 320.
Acrescentar 12% de imposto a uma compra de R$10.000,00.
Se a base já estiver no visor, como resultado de um cálculo anterior, você não precisa pressionar ENTER antes de introduzir a porcentagem, da mesma forma que num cálculo aritmético em cadeia.
Exemplo:
O preço de tabela de um fardo de arroz calafate é de R$28,34. O vendedor oferece um desconto de 5%, e o imposto sobre o preço da venda de 7%. Qual será o valor do desconto do vendedor e o preço total final, caso realize a compra?
Para calcular a diferença percentual entre dois números. Ela pode ser indicada pela notação D %.
Como calcular a diferença percentagem - D % na HP12C:
Digite o número da base. Pressione ENTER para separar o segundo número do primeiro (a base). Digite o segundo número. Pressione a tecla D %.
Se o segundo número for maior do que a base, a diferença percentual será positiva. Se o segundo número for menor do que a base, a diferença percentual será negativa. Além disso, uma resposta positiva indica um acréscimo, enquanto que uma resposta negativa indica um decréscimo.
Se você estiver calculando uma diferença percentual num intervalo de tempo, a base é em geral o valor que ocorre em primeiro lugar.
Exemplos:
Calcular a variação percentual entre 28,34 e 28,8076.
Conforme verificado na Gazeta Mercantil a cotação de suas ações adquiridas caíram de R$58,50 para R$53,25 por ação. Qual foi variação percentual?
Para calcular a porcentagem de um número sobre outro. Este procedimento é conhecido como cálculo da variação vertical.
Como calcular a percentagem sobre o total - %T na HP12C:
Digite o número da base. Pressione ENTER para separar o segundo número do primeiro (a base). Digite o segundo número. Pressione a tecla %T. Pressione a tecla CLX. Digite o terceiro número. Pressione a tecla %T.
Exemplos:
E assim sucessivamente, até terminar todos os números. Desta forma saberemos quanto cada parcela participa no total.
Que porcentagem representa um ganho de R$5.000,00 numa aplicação de R$25.000,00?
No mês passado, a sua empresa exportou produtos no valor de US$3,92 milhões para os EUA, US$2,36 milhões para a Europa e US$1,67 milhões para o resto do mundo. Qual foi o percentual das vendas à Europa sobre o total exportado?
A HP12C mantém o montante total após o cálculo da porcentagem do total. Portanto, para calcular a porcentagem de um outro valor sobre o total:
Pressione a tecla CLX, apagando o visor. Introduza o outro valor. Pressione %T .
Por exemplo, para calcular (com os dados do exercício anterior) as porcentagens absorvidas pelos EUA e pela resto do mundo sobre o total da exportação:
Exercício:
Calcule você agora: para negociar um produto você gastou R$112.000,00 de mão-de-obra, R$ 72.000,00 de matéria-prima, R$ 35.412,00 de despesas gerais e R$ 34.420, de marketing. Quanto representa percentualmente cada item?
Resposta:
Mão de obra = 44,1237% Matéria prima = 28,3652% Despesas gerais = 13,9510% Marketing = 13,5602%
Exercício:
Em uma pesquisa de preços feita entre 2 lojas sobre o valor de um lote de aparelhos eletrodomésticos, objetivamos os seguintes dados:
Loja A Valor: R$ 2.500,00 Loja B Valor: R$ 4.800,00
Qual a variação percentual entre os preços pesquisados?
Resposta:
92,0000%
Exercício:
Qual a variação percentual entre um índice no valor de 69,351283 e um índice no valor de 75,09114?
Resposta:
8,2765%
Exercício:
Após uma compra no supermercado X, fui verificar os preços dos itens comprados com o total gasto. Quanto representou percentualmente cada item sobre o total da compra?
Item A ü R$ 35,68 Item B ü R$ 12,25 Item C ü R$ 72,84 Item D ü R$108,32 Item E ü R$ 57,48
Resposta:
Item A ü 12,4507% Item B ü 04,2747% Item C ü 25,4179% Item D ü 37,7988% Item E ü 20,0579%
A maioria das aplicações e captações existentes no mercado financeiro estão inseridas no regime de capitalização composta a qual, matematicamente falando, tem comportamento exponencial ou logarítmico.
Os logaritmos neperianos têm base e. O número e é obtido da expressão (1 + 1/x) x quando se faz x crescer indefinidamente, ou seja, tender a infinito é, aproximadamente, 2,718281828...
Indica-se: loge b Û LN b (tecla 23)
Em todos os exercícios de nosso curso, quando do uso de logaritmos, adotou-se os de base neperiana em função da possibilidade de o aluno poder resolvê-los concomitantemente com uma calculadora financeira, a qual, em sua maioria, apresenta em seu teclado o logaritmo neperiano.
Propriedades dos Logaritmos
LN (b ´ c) = LN b + LN c
LN (b / c) = LN b – LN c
LN bn = n LN b
LN nÖ b = LN b 1/n = 1/n ´ LN b
Como calcular a logaritmo neperiano - LN na HP12C:
Digite o número. Pressione ENTER para separar o segundo número do primeiro. Digite a tecla g para acionar as funções em azul. Pressione a tecla LN.
Exemplos:
LN 10
10 = 5n
Lembrando da propriedade de logaritmo de uma potência e lembrando de uma propriedade matemática que fala se multiplicarmos os dois termos pelo mesmo valor o resultado não modificará, então teremos:
LN 10 = LN 5nLN 10 = n LN 5LN 10 / LN 5 = n
Pressionando g LN calcula-se o logaritmo neperiano; isto é, o logaritmo na base e do número no visor. Para calcular o logaritmo na base decimal do número contido no visor, calcule o logaritmo neperiano e então pressione 10 g LN ¸ .
Esta função serve para fazermos cálculos com datas, manipulando datas ente 15 de outubro de 1582 até 25 de novembro de 4046.
Para trabalhar com datas no formato mês, dia e ano (comum na língua inglesa):
Pressione a tecla g para acessar funções azuis. Pressione a tecla M.DY – tecla 28 Obs.: Não aparecerá nada na tela; porém a calculadora assumiu este tipo de formato. A HP12C já vem com este formato pré-definido.
Na língua inglesa a data é escrita da seguinte forma: Abril, 01 1998.
Como introduzir datas pelo sistema inglês na HP12C:
Pressione os dois dígitos do mês. Pressione a tecla do ponto decimal · (tecla 48). Pressione os dois dígitos do dia. Pressione os quatro dígitos do ano. Pressione ENTER para separar o segundo número do primeiro.
Exemplo:
Introduzir a data 01 de maio de 1964, no formato inglês.
Para trabalhar com datas no formato dia, mês e ano (comum na língua portuguesa):
Pressione a tecla g para acessar funções azuis. Pressione a tecla D.MY – tecla 27.
Obs.: Aparecerá na parte inferior do teclado, ao lado do C, as letras D.MY (correspondem a day, month, year).
Como introduzir datas pelo nosso sistema na HP12C:
Pressione os dois dígitos do dia. Pressione a tecla do ponto decimal · (tecla 48). Pressione os dois dígitos do mês. Pressione os quatro dígitos do ano. Pressione ENTER para separar o segundo número do primeiro.
Exemplo:
Introduzir a data 01 de maio de 1964, no nosso formato.
Procure conservar no rodapé de sua HP12C as letras D.MY.
O formato da data que você tiver especificado ficará vigorando até que você o mude; ele não é redefinido cada vez que a calculadora é ligada. No entanto, se a memória contínua for completamente apagada, o formato da data ficará sendo mês, dia e ano.
Para calcular o número de dias entre duas datas na HP12C:
Introduza a data mais antiga e pressione ENTER. Introduza a data mais recente e pressione g D DYS (tecla 26).
A resposta apresentada no visor é o número real de dias entre as duas datas, incluindo os dias adicionais dos anos bissextos, se houver. Além disso, a HP12C também calcula o número de dias entre as duas datas, na base de um mês de 30 dias (ano comercial). Tal resposta é mantida dentro da calculadora: para apresenta-la no visor, pressione X³ Y. Pressionando X³ Y novamente, a resposta original retornará ao visor.
Exemplo:
Quantos dias há entre 26 de outubro de 1966 e 26 de janeiro de 1999.
Para determinar a data e o dia, tendo decorrido um certo número de dias a partir de uma determinada data na HP12C:
Introduza a data fornecida e pressione ENTER. Introduza o número de dias. Se a data for no passado, pressione CHS. Pressione g DATE.
A resposta calculada pela função DATE é apresentada num formato especial. Os dígitos do dia, mês e ano são isolados por separadores de dígitos, e o dígito à direita da resposta indica o dia da semana: 1 para segunda-feira e 7 para domingo.
Exemplo:
Um CDB de 90 dias comprado em 04 de janeiro de 1999 vence em que dia?
Um CDB resgatado em 23 de novembro de 1998 foi comprado 90 dias antes. Qual a data em que foi comprado?
SEGUNDA PARTE MATEMÁTICA FINANCEIRA – AGORA VAMOS COMEÇAR A PENSAR
Trabalhar o conceito de riqueza (nível contábil e financeiro). Riqueza pessoal. Multiplicadores de riqueza. Riqueza no tempo. Qual o nome do aumento ou diminuição de riqueza?
Como obter Renda? Exemplificação contábil - Base empresa comercial. Renda negativa = Prejuízo = Diminuição da Riqueza. Renda positiva = Lucro = Aumento da Riqueza.
PREÇO DE TRANSFERÊNCIA DE RECURSOS NO TEMPO.
CUSTO DE OPORTUNIDADE DE TRANSFORMAR ATIVOS EM MOEDA, SEM PERDA DE VALOR.
DISPERSÃO DO VALOR ESPERADO
TERCEIRA PARTE OPERAÇÕES FINANCEIRAS SIMPLES
Todo o estudo de matemática é realizado através do regime de caixa, que representa o valor do dinheiro no tempo.
Nos fluxos de caixa, o diagrama deverá representar as operações financeiras. Os diagramas podem ser:
Trabalhando com Fluxos Binários
No fluxo binário o tempo é sempre igual a 01 (um).
Renda
Exercício:
Calcular a Renda dos produtos abaixo:
Dando nomes aos bois:
Renda = Juros = J Riqueza 0 = Capital = C Riqueza 1 = Montante = M
J = M - C
J1 = 1.500 - 1.000 = 500J2 = 5.000 - 4.000 = 1.000
Rentabilidade Unitária
Rentabilidade Unitária = Retorno Unitário.
Se: Riqueza 0 = 1 Riqueza 1 = 1,5
Então: Renda = 1,5 - 1,0 = 0,5
Dando nomes aos bois:
Renda = Juros = J Riqueza 0 = Capital = C Riqueza 1 = Montante = M Retorno Unitário = ru
ru = J/C
ru1 = 500/1.000 = 0,50ru2 = 1.000/4.000 = 0,25
Rentabilidade Percentual
Rentabilidade Percentual = Retorno Percentual.
Dando nomes aos bois:
Retorno Unitário = ru Retorno Percentual = rp
rp = ru x 100
rp1 = 0,50 x 100 = 50% ru2 = 0,25 x 100 = 25%
Exercícios:
Todos os exercícios devem ser demonstrados matematicamente completos e seus cálculos realizados com a HP12C.
Se ao final dos 90 dias a cotação desse ativo no mercado à vista for de $3.500, qual será:
a) a rentabilidade proporcionada por uma operação de compra e venda à vista do ativo em questão, no período considerado (90 dias)?
b) a rentabilidade obtida pelo comprador da opção, caso este realize a venda do ativo no mercado à vista ao final do período (90 dias), imediatamente após tê-lo adquirido no exercício do contrato?
c) a rentabilidade (taxa de financiamento) obtida pelo lançador (vendedor) do contrato de opção, supondo-se que o mesmo adquira o referido ativo no mercado à vista, na data de hoje?
Quando a estrutura do fluxo de caixa original sofre alterações a taxa referente a respectivo fluxo também sofre alteração. A esta nova taxa dá-se o nome de efetiva.
Exercícios:
Todos os exercícios devem ser demonstrados matematicamente completos e seus cálculos realizados com a HP12C.
a) Cobrança do imposto no final do período. b) Cobrança do imposto no início do período.
a) Aplicação com rendimento bruto igual a 75%, tributado em 16%, antecipadamente.
b) Aplicação com rendimento bruto igual a 72,5%, tributado em 20%, ao final do período.
Pede-se determinar a taxa líquida de retorno dessas operações, bem como o valor de resgate proporcionado pela aplicação do capital de $280.000 em cada uma delas.
a) determinar o valor líquido do financiamento, o seu valor de resgate e a taxa efetiva de juros a ele associada.
b) qual deverá ser o valor nominal da operação, para que o mutuário venha a obter um financiamento líquido de $7.500?
Qual será o valor de resgate dessa operação, neste caso?
4.1) Pede-se determinar:
a) a taxa efetiva de juros cobrada na operação;
b) o montante a ser pago na liquidação de um empréstimo de valor nominal igual a $3.603.600, bem como o valor líquido a ser recebido pelo tomador (mutuário), no fechamento da operação;
c) o valor nominal que deveria ser solicitado ao Banco, para se obter um empréstimo líquido de $3.603.600.
4.2) Refaça os cálculos para cada uma das hipóteses abaixo aventadas:
a) Cobrança de prêmio (comissão) correspondente a 3% do valor nominal da operação, na ocasião da abertura do crédito.
b) exigência de um saldo médio de 12% sobre o valor nominal da operação.
c) cobrança do prêmio (letra a) e exigência do saldo médio (letra b), ao mesmo tempo.
a) cobrança de juros postecipados de 17%. liquidados juntamente com a amortização do principal, e de uma comissão de 2,5% sobre o valor nominal do empréstimo, na abertura do crédito.
b) cobrança de juros antecipados de 15% e exigência de um saldo médio de 10% sobre o valor nominal da operação.
Qual destas alternativas é a de menor custo para o mutuário.
a) qual deverá ser a taxa de abertura de crédito cobrada sobre o valor nominal da operação?
b) qual deverá ser o percentual de saldo médio exigido sobre o valor nominal da operação?
QUARTA PARTE OPERAÇÕES FINANCEIRAS SIMPLES – 2ª PARTE
Preferência de receber hoje e pagar no futuro.
Recebendo hoje, posso aplicar e ganhar um determinado prêmio.
Custo de Oportunidade de Capital é o Prêmio que será pago pelo Mercado Financeiro caso você aplique o capital.
Exercícios:
Todos os exercícios devem ser demonstrados matematicamente completos e seus cálculos realizados com a HP12C.
a) qual seria a sua opção? Pagamento à vista ou em 30 dias?
b) Qual seria o valor mínimo que você estaria disposto a desembolsar, no caso de liquidação em 30 dias?
c) Se o seu custo de oportunidade fosse de 6% ao mês, você mudaria a sua decisão? Neste caso, qual seria a quantia máxima que você estaria disposto a desembolsar, no final do referido período?
O Capital no momento zero é equivalente no tempo, em função a uma determinada taxa, ao Capital no momento um.
Exercícios:
Todos os exercícios devem ser demonstrados matematicamente completos e seus cálculos realizados com a HP12C.
Nas operações de desconto trabalharemos com novas nomenclaturas. Porém é importante ressaltar que o conceito continua o mesmo. A seguir demonstramos uma legenda dos termos utilizados:
VD = Valor Descontado = Capital = C
VN = Valor Nominal = Montante = M
D = Desconto = Juros = J
Desconto Comercial
As características do Desconto Comercial são:
Valor Nominal = VN = Em operações de descontos valor nominal é o montante ( M ) – valor no título no futuro (na data do vencimento).
Taxa Nominal = rp ou ru = Em operações de desconto comercial a taxa utilizada, sempre, é a nominal. A taxa incide sobre o valor nominal.
Valor Descontado = VD = Valor Nominal – Desconto
Conforme descrito anteriormente, no desconto comercial, a taxa nominal incide sobre o valor nominal; desta forma, temos:
Dc = VN ´ ru
Exercícios:
Todos os exercícios devem ser demonstrados matematicamente completos e seus cálculos realizados com a HP12C.
Desconto Racional
As características do Desconto Racional são:
Valor Nominal = VN = Em operações de descontos valor nominal é o montante ( M ) – valor no título no futuro (na data do vencimento).
Taxa Efetiva = rpL ou ruL = Em operações de desconto racional a taxa utilizada, sempre, é a efetiva. A taxa incide sobre o valor descontado ( Capital = C ).
Valor Descontado = VD = Valor Nominal – Desconto
Conforme descrito anteriormente, no desconto racional, a taxa efetiva incide sobre o valor descontado; desta forma, temos:
Dr = VD ´ ruL
Exercícios:
Todos os exercícios devem ser demonstrados matematicamente completos e seus cálculos realizados com a HP12C.
Taxa Nominal = Taxa de Mentira Taxa Efetiva = Taxa de Verdade Taxa Aparente = Taxa de Mentira sem Inflação Taxa Real = Taxa de Verdade sem Inflação
Exercícios:
Todos os exercícios devem ser demonstrados matematicamente completos e seus cálculos realizados com a HP12C.
a) título com remuneração bruta e prefixada em 18,50%, tributada em 20%, no final do período.
b) título com remuneração bruta prefixada em 16,75%, tributada em 8% antecipadamente.
Determine a rentabilidade real oferecida por esses dois títulos, considerando-se uma inflação de 25% no período.
a) a renda real, a renda efetiva e o montante que deverão ser proporcionados por essa aplicação.
b) a rentabilidade efetiva dessa aplicação.
a) a remuneração real dessa aplicação.
b) a renda líquida aparente, a renda líquida real e o valor de resgate proporcionados pela aplicação de $500.000, nessa operação.
QUINTA PARTE MATEMÁTICA FINANCEIRA – JUROS SIMPLES
Quando o período (tempo) for igual a 1, o juros simples é igual ao juros compostos.
Até o momento só trabalhamos com períodos unitários (Fluxos Binários). A partir de hoje estaremos trabalhando com períodos compostos - Fluxos Periódicos.
Dica muito importante:
Juros simples - sempre incide sobre o capital inicial.
Juros compostos - sempre incide sobre o capital acrescido dos juros (Montante).
A partir de agora vamos entender o que é um cálculo de juros simples, em um fluxo periódico.
O que diferencia uma fluxo binário de um periódico?
O Tempo ; isto é, a partir de agora trabalharemos com períodos diferentes de 1.
Vamos trabalhar com alguns exemplos para que possamos visualizar corretamente a sistemática de juros simples em fluxos periódicos.
Lembrança importante:
Juros simples - sempre incide sobre o capital inicial.
Exemplo:
Aplicação de $1.000 durante certo período paga um rendimento de 10%. Calcular o montante.
Se, quando do resgate do título, o aplicador quiser reaplica-lo por mais um período, a mesma taxa; como fica o fluxo?
Poderia dizer que estes dois fluxos são iguais ao fluxo abaixo demonstrado:
Poderia dizer que este fluxo é igual ao fluxo abaixo demonstrado:
Resposta: 20%. Como esta taxa foi calculada?
Vamos rever juros simples.
Todos nossos exercícios até agora as taxas eram descritas como sendo para um certo período, para um tempo já designado, durante um certo tempo, para x dias, para x meses etc..
Qual é a fórmula para calcular o Juros pela metodologia de juros simples?
J = ru x C
Lembremos no sistema de juros simples o juros incide sempre sobre o capital inicial.
J1 = C ´ ru = 1.000 ´ 0,10 = 100 J2 = C ´ ru = 1.000 ´ 0,10 = 100 ou Jtotal = J1 ´ n = 100 ´ 2 = 200 então M = C + J = 1.000 + 200 = 1.200
Se: J1 = C ´ ru e Jtotal = J1 ´ n e Jtotal = J Então: J = C ´ ru ´ n
Se: M = C + J e J = C ´ ru ´ n Então: M = C + C ´ ru ´ n = C ( 1 + ru ´ n )
Se: ru = J / (C ´ n) ou ru ´ n = J / C e J = M - C Então: ru ´ n = ( M - C ) / C = M / C - 1 Então: ru ´ n = M / C - 1
Exemplo:
Um capital de 500.000 é aplicado a taxa mensal de 50% durante três meses. Calcular o juros e o montante.
Lembremos no sistema de juros simples o juros incide sempre sobre o capital inicial.
J1 = C x ru = 500.000 x 0,50 = 250.000 J2 = C x ru = 500.000 x 0,50 = 250.000 J3 = C x ru = 500.000 x 0,50 = 250.000 ou Jtotal = J1 x n = 250.000 x 3 = 750.000 Então
M = C + J = 500.000 + 750.000 = 1.250.000
Vejamos uma demonstração através de um quadro de sistema de amortização.
Exercícios:
SEXTA PARTE MATEMÁTICA FINANCEIRA – JUROS COMPOSTOS
Fluxos Periódicos.
Dica muito importante:
Juros compostos - sempre incide sobre o capital acrescido dos juros (Montante).
A taxa e o tempo sempre devem estar na mesma unidade de tempo.
A partir de agora vamos entender o que é um cálculo de juros composto, em um fluxo periódico.
Vamos trabalhar com alguns exemplos para que possamos visualizar corretamente a sistemática de juros compostos em fluxos periódicos.
Exemplo:
Empréstimo de $500.000 durante três meses cobra uma taxa de juros de 50% ao mês.
Calcular o montante, pelo Regime de Juros Simples
O que fizemos até agora com o juros simples em fluxo periódico?
Pegamos o Tempo (n), multiplicamos pela Taxa (ru) e multiplicamos pelo Capital (C), e encontramos os Juros (J).
n ´ ru = J / C ou n ´ ru ´ C = J ou n ´ ru = M / C - 1
3 x 0,50 = J / 500.000 ou 3 x 0,50 x 500.000 = J
J = 750.000
M = C + J = 500.000 + 750.000 = 1.250.000 ou 3 x 0,50 = M / 500.000 - 1 ou (1,50 + 1) x 500.000 = M
M = 1.250.000
Pelo Regime de Juros Compostos
Como calculamos o Saldo devedor e os juros?
J1 = 500.000 x 0,50 = 250.000 M1 = 500.000 + 250.000 = 750.000
J2 = 750.000 x 0,50 = 375.000 M2 = 750.000 + 375.000 = 1.125.000
J3 = 1.125.000 x 0,50 = 562.500 M3 = 1.125.000 + 562.500 = 1.687.500
Desta maneira é muito trabalhoso. Podemos calcular de outra maneira mais fácil?
Vejamos outra forma de calcular o Montante.
Se estamos trabalhando com uma Progressão Geométrica, então o número anterior vezes a razão é igual ao número atual. Em termos de matemática financeira podemos dizer que o Capital vezes uma razão da taxa é igual ao Montante.
Em Progressão Geométrica a razão é calculada dividindo-se o número atual pelo número anterior.
Em Matemática Financeira o cálculo é igual: divide-se o Montante pelo Capital.
Vejamos:
razão = M / C ou razão = 750.000 / 500.000 = 1,50
razão = M / C ou razão = 1.125.000 / 750.000 = 1,50
razão = M / C ou razão = 1.687.500 / 1.125.000 = 1,50
então
M1 = 500.000 x 1,50 = 750.000 M2 = 750.000 x 1,50 = 1.125.000 M3 = 1.125.000 x 1,50 = 1.687.500
O que é a razão?
Muito simples: é o número índice da taxa.
Isto é: a taxa dividida por 100 mais 1
ou
(rp / 100) + 1 = i
No juros compostos a taxa será chamada de i (i, iL, ia, ir).
Então como fica nossa fórmula para os cálculos dos juros compostos:
M = C x ( 1 + i )
M = C + J ou J = M - C
J = C x ( 1 + i ) - C ou, colocando o Capital em evidência:
J = C [ ( 1 + i ) - 1]
Exercícios:
SÉTIMA PARTE MATEMÁTICA FINANCEIRA – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Trabalha com Regime de Juros Compostos e equivalência de taxas. Como o próprio nome indica, tem como característica principal serem as amortizações sempre iguais (constantes).
Amortização = Capital / Tempo de Amortização
Dois Tipos:
Sem carência - pagamento imediato conforme contrato.
Com carência: juros pagos durante a carência. juros capitalizados e pagos totalmente quando do vencimento da primeira amortização. juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor gerando um fluxo de amortizações e prestações de maior valor.
Pouco difundido no mercado nacional mas bastante adotado internacionalmente, estipula que a devolução do capital emprestado seja efetuada ao final do período contratado da operação de uma só vez. Os juros costumam ser pagos periodicamente; desta forma o cálculo é realizado pelo Regime de Juros Simples.
Amplamente adotado no mercado financeiro do Brasil, estipula, ao contrário do Constante, que as prestações devem ser iguais, periódicas e sucessivas. Os juros são decrescentes e as parcelas de amortização assumem valores crescentes. Em outras palavras, no Francês, os juros decrescem e as amortizações crescem ao longo do tempo. A soma dessas duas parcelas permanece sempre igual ao valor da prestação.
Dois Tipos:
Sem carência - pagamento imediato conforme contrato.
Com carência: juros pagos durante a carência. juros capitalizados e pagos totalmente quando do vencimento da primeira amortização. juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor gerando um fluxo de amortizações e prestações de maior valor.
Nomenclaturas utilizadas:
Prestação = P = PMT
Capital = C = PV = Valor Presente
Fator de Valor Presente = FPV
Tempo = n
Taxa = i
Como são determinadas as Prestações:
PMT = PV / FPV
FPV = [1 – ( 1 + i )-n] / i
Mesmo procedimento do sistema de amortização francês; porém a taxa é capitalizada.
Exercícios:
OITAVA PARTE MATEMÁTICA FINANCEIRA – FLUXO DE CAIXA
É a soma algébrica dos valores das entradas e saídas de caixa descontadas a uma mesma taxa de juros compostos. Para se determinar o VALOR PRESENTE LÍQUIDO (NPV) de um determinado fluxo de caixa, leva-se à data focal todas as saídas e entradas descontadas a uma mesma taxa de juros compostos e soma-se os valores descapitalizados. Normalmente a data focal é a data zero.
Exemplo:
Toninho emprestou R$928.200,00 a um amigo a uma taxa mensal de 12%. Ficou combinado que o empréstimo seria pago em uma parcela de R$292.820,00 daqui 1 mês, R$292.820,00 daqui a 2 meses, de R$292.820,00 daqui 3 mês e R$292.820,00 daqui a 4 meses . Toninho ganhou ou perdeu na operação?
Resolução:
Construir o Fluxo de Caixa.
Cálculo do NPV
NPV = -928.200 + 292.820/1,12 + 292.820/1,122 + 292.820/1,123 + 292.820/1,124NPV = -928.200 + 261.446 + 233.434 + 208.423 + 186.092NPV = - 38.803
Resolução na HP12C:
928.200 CHS g CFo 292.820 g CFj 292.820 g CFj 292.820 g CFj 292.820 g CFj 12 i f NPV running -38.803
Exercício:
Qual será o ganho se a taxa for de 8% ao mês?
É a taxa de juros compostos para a qual o valor atual do fluxo de caixa é zero; isto é, descontando-se o fluxo de caixa à taxa interna de retorno, o valor atual líquido é nulo.
Existe uma taxa i para a qual o NPV = 0. Esta é a IRR.
Exemplo:
Qual a IRR para a operação de Toninho?
IRR =-928.200 + 292.820/(1 + i) + 292.820/(1 + i)2 + 292.820/(1 + i)3 + 292.820/(1 + i)4
Se a IRR gera um valor presente líquido igual a zero, então:
0 = -928.200 + 292.820/(1 + i) + 292.820/(1 + i)2 + 292.820/(1 + i)3 + 292.820/(1 + i)4
Vamos resolver matematicamente:
928.200 = 292.820 (1/(1 + i) + 1/(1 + i)2 + 1/(1 + i)3 + 1/(1 + i)4)
É uma Progressão Geométrica de razão igual a 1/(1 + i). O Somatório de uma PG com a razão descrita é:
Sn = 1 – [(1 + i)-n / i] como n = 4
(928.200 / 292.820) = 1 – [(1 + i)-4 / i]
anù i = 1 – [(1 + i)-n / i]
anù i = 3,169865446
a4ù i = 3,169865446
Procurar tabela para n = 4 e a4ù i = 3,169865446, encontraremos: i = 10%
Se não encontrássemos esse valor na tabela
Resolveremos por semelhança de triângulos
Pegaríamos os valores imediatamente inferior e superior. Por exemplo:
a4ù 9 = 3,239721
a4ù 11 = 3,102444
Construir gráfico onde:
Eixo x = taxa unitária
Eixo y = a4ù i
Três pontos para construir a curva. Visualizar os ângulos q 1 e q 2.
q 1 = q 2
tg q 1 = tg q 2
tg = co / ca
tg q 1 = (3,239721 – 3,169865) / (i – 0,09)
tg q 2 = (3,169865 – 3,102444) / (0,11 - i)
[0,069856 / (i – 0,09)] = [0,067421 / (0,11 – i)]
[0,069856 ´ (0,11 – i)] = [0,067421 ´ (i – 0,09)]
0,00768416 – 0,069856i = 0,067421i – 0,00606789
0,01375205 = 0,137277i
i = 0,01375205 / 0,137277
i = 0,100177379
i = 10,01773786%
Já pensou fazer todos estes cálculos a mão. Onde estará a tabela?
Resolveremos com a HP12C
928.200 CHS g CFo 292.820 g CFj 292.820 g CFj 292.820 g CFj 292.820 g CFj f IRR running 10,0000
Isto quer dizer que se Toninho emprestar a 10% não haverá ganho. Se a taxa que o mercado paga for superior a 10%, melhor será ele aplicar no mercado. Se a taxa que o mercado pagar for inferior a 10%, melhor será ele emprestar.
Exercícios:
THE END | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
