HP 12C

 

 

Acima

 

 

 

PRIMEIRA PARTE

CONHECENDO A HP 12C

  • Ligar e Desligar

Tecla ON. No canto inferior esquerdo você encontra a tecla ON. Pressionando você ligará a sua HP12C. Pressionar novamente a calculadora será desligada. Se você esquecer de desligar a HP12C ela desligará automaticamente de 08 a 17 minutos após a sua última utilização.

Para não gastar a bateria rapidamente, e aconselhável desligar a HP12C após o uso. Quando a bateria estiver fraca, e você ligar a calculadora, aparecerá no canto inferior esquerdo do visor, um asterisco piscando. Quando isto acontecer desligue a HP12C e leia as instruções do Manual de Proprietário – item Bateria, Garantia e Informações sobre Assistência Técnica.

     

  • Testes

Existem dois processos para testar o bom funcionamento da HP12C:

Primeiro Teste:

Desligue a máquina.

Mantenha a tecla x pressionada.

Ligue a máquina e solte a tecla x simultaneamente.

No visor deverá aparecer a palavra running piscando.

Após alguns segundos surgirá no visor:

-8

,

8

,

8

,

8

,

8

,

8

,

8

,

8

,

8

,

8

,

USER

f

g

BEGIN

GRAD

D.MY

C

PRGM

Se não aparecer: CUIDADO. Tente novamente, caso continue dando ERROR sua máquina necessita de reparos. Importante ressaltar que a HP12C é uma calculadora blindada. Alguns problemas só serão resolvidos com a troca da máquina. Os telefones do Atendimento ao Cliente da Hewlett Packard do Brasil são: (011)829.6612 ou (011)822.5565 – Srta. Solange.

Segundo Teste:

Desligue a HP12C.

Mantenha a tecla ¸ pressionada.

Ligue a máquina e solte a tecla ¸ simultaneamente.

Aparecerão alguns traços no visor.

Pressione todas as teclas da esquerda para direita e de cima para baixo.

Pressione ON, também. Pressione ENTER na 3ª. Linha e também na 4ª. Linha. Após alguns segundos, surgirá o n.º 12 no meio do visor.

Se não aparecer: CUIDADO. Tente novamente, caso continue dando ERROR sua máquina necessita de reparos.

     

  • O Teclado

As teclas estão dispostas segundo uma matriz de 4 linhas e 10 colunas. Cada tecla é identificada pela interseção de uma linha com uma coluna. O primeiro número se refere à linha e o segundo a coluna. Por exemplo: % é representado pelo código 25.

As teclas da HP12C realizam 1, 2 ou até 3 funções. As funções primárias (as mais utilizadas) estão impressas na face superior de uma tecla. Todas as teclas têm função primária.

Outras teclas têm uma função alternativa impressa em azul na parte oblíqua inferior da tecla. Para acionar a função alternativa em azul é necessário pressionar primeiro a tecla azul de prefixo g. Esta tecla é a única totalmente azul no teclado. Após acionar a tecla azul g, aciona-se a tecla da função desejada.

Para acionar a função alternativa em amarelo que está impressa acima da tecla é necessário acionar a tecla amarela f (é a única amarela no teclado). Após acionar a tecla amarela f, aciona-se a tecla da função desejada.

Se você acionar uma delas por engano irá aparecer, na parte inferior do visor a letra f ou g. Para apagá-las basta acionar a tecla f e a tecla ENTER.

     

  • Limpar o Visor

Para limpar o visor basta apertar a tecla CLX.

  • Trocar Ponto por Vírgula

A HP12C possuí duas metodologias de descrição numérica – separação da parte inteira da decimal: a metodologia americana e a brasileira. Na metodologia americana os números são escritos da seguinte forma: 123,456.78 – o separador de casas decimais é o ponto. Na metodologia brasileira os números são escritos da seguinte forma: 123.456,78 – o separador de casas decimais é a virgula.

Para modificar a metodologia apresentada em sua calculadora, adote os seguintes passos:

Desligue a máquina.

Mantenha a tecla · pressionada.

Ligue a máquina soltando simultaneamente as duas teclas.

Se você repetir esta operação, os separadores anteriores voltarão a ser utilizados.

     

  • Fixação de Casas Decimais

Para alterar o número de casas decimais, digite f, seguido do número que representa a quantidade de casas decimais desejadas.

Para ter duas casas decimais após a vírgula é só apertar a tecla f e o número 2. Se você quiser trabalhar com três casas decimais é só apertar a tecla f e o número 3. E assim por diante.

A HP12C adota o arredondamento estatístico. Se o número no registro interno, posterior à última casa decimal fixada, for igual ou superior a cinco, haverá aumento de uma unidade na última casa decimal. Se isto não ocorrer, não haverá arredondamento.

     

  • Introduzindo Números

Para introduzir um número na calculadora, pressione as teclas dos dígitos na mesma seqüência que você o escreve. Para introduzir o número 123: Pressione a tecla 1, depois a 2 e depois a 3. Após introduzir o último algarismo pressione a tecla ENTER.

A tecla ENTER informa a calculadora que o número foi completamente fornecido e o separa de outros números a serem introduzidos.

  • Números Negativos

Para fazer com que o número que está no visor fique negativo basta pressionar a tecla CHS (CHS quer dizer Change Sign, isto é, troca o sinal). Quando o visor estiver com um número negativo (precedido pelo sinal -) é só pressionar a tecla CHS e ele fica positivo.

     

  • Teclas CLEAR

Apagar um registrador ou o visor é a operação que substitui seus conteúdos originais por zero. A HP12C possuí diversas operações de apagar, como se pode ver na tabela abaixo:

 

Teclas

Descrição da Atividade

   

CLX

Apaga o visor.

   

f CLEAR å

Apaga os registradores estatísticos (R1 a R6), os registradores da pilha operacional e o visor.

   

f CLEAR PRGM

Apaga a memória de programação (somente quando pressionadas no modo PRGM).

   

f CLEAR FIN

Os registradores financeiros.

   

f CLEAR REG

Os registradores de armazenamento de dados, os registradores financeiros, os registradores da pilha operacional e o visor.

 

     

  • Trocar a Ordem dos Números Introduzidos

 

Ao pressionar X³ Y, se troca o conteúdo dos números armazenados. Suponha que você queira dividir 49 por 7 e por engano, você introduziu 7, pressionou enter e então introduziu 49. Neste instante você percebeu que a ordem correta é exatamente o contrário do que você fez. Para corrigir este engano, basta trocar o primeiro valor pelo segundo, pressionando X³ Y.

 

     

  • Cálculos Aritméticos Simples

 

Neste curso vamos utilizar a HP12C com 0,0000 no visor; isto é, quatro casas decimais e a vírgula para separá-las dos inteiros.

 

Toda operação aritmética simples envolve dois números e uma operação (adição, subtração, multiplicação ou divisão). Para realizar tais cálculos na sua HP12C, você precisa informar à calculadora quais são os dois números e então qual a operação a ser realizada. A resposta é calculada quando a tecla da operação (+ , - , ´ ou ¸ ) é pressionada.

 

Os dois números devem ser introduzidos na calculadora na mesma ordem que apareceriam se a operação fosse feita com o emprego de lápis e papel e a expressão escrita da esquerda para a direita. Após a introdução do primeiro número, pressione a tecla ENTER, a qual informa à calculadora que o número foi completamente fornecido.

 

Em resumo, para se realizar uma operação aritmética:

 

Introduza o primeiro número.

Pressione ENTER para separar o segundo número do primeiro.

Introduza o segundo número.

Pressione + , - , ´ ou ¸ para realizar a operação desejada.

 

Por exemplo, para calcular 80 dividido por 30, faça o seguinte:

 

Pressione

Visor

Descrição da Atividade

     

80

80,

Introduz o primeiro número na calculadora.

ENTER

80,0000

Pressione ENTER para separar o primeiro do segundo número.

30

30,

Introduz o segundo número na calculadora.

¸

2,6667

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

Exercícios:

  1. 5 + 4 =
  2. 5 + 4 + 3 =
  3. 85 + 25 + 23 =
  4. 327 – 112 =
  5. 435 ¸ 5 =
  6. 71 ´ 14 =
  7. (36 + 32 – 24) ¸ 11 =
  8. (124 ¸ 12 ´ 13,9355 – 0,0002 + 16) =

 

 

Respostas:

  1. 5 + 4 = 9,0000
  2. 5 + 4 + 3 = 12,0000
  3. 85 + 25 + 23 = 133,0000
  4. 327 – 112 = 215,0000
  5. 435 ¸ 5 = 87,0000
  6. 71 ´ 14 = 994,0000
  7. (36 + 32 – 24) ¸ 11 = 4,0000
  8. (124 ¸ 12 ´ 13,9355 – 0,0002 + 16) = 160,0000

     

  • A Pilha Operacional

 

A HP12C foi projetada de modo que cada vez que você pressiona uma tecla de função, a calculadora realiza a operação naquele instante, permitindo que você veja os resultados de todos os cálculos intermediários, bem como o resultado final.

 

A HP12C possuí quatro registradores especiais, os quais são usados para o armazenamento de números durante os cálculos. Para entender como esses registradores são utilizados eles devem ser visualizados em forma de pilha, um sobre o outro. Os registradores de uma pilha operacional são designados por T, Z, Y e X. A menos que a calculadora esteja no modo de programação, o número apresentado no visor será sempre o contido no registrador X.

 

Os cálculos com um número sempre envolvem o conteúdo do registrador X, e os cálculos com dois números envolvem o conteúdo dos registradores X e Y. Os registradores Z e T são usados principalmente para a retenção automática dos resultados intermediários de cálculos em cadeia.

 

Examinemos um cálculo simples: 5 – 2 =

 

T

0

0

0

0

Z

0

0

0

0

Y

0

5

5

0

X

5

5

2

3

Teclando

5

ENTER

2

-

 

Vejamos agora o que ocorre na pilha operacional durante um cálculo em cadeia:

 

[(3 ´ 4) + (5 ´ 6)] ¸ 7 =

 

T

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Z

0

0

0

0

0

12

12

0

0

0

0

Y

0

3

3

0

12

5

5

12

0

42

0

X

3

3

4

12

5

5

6

30

42

7

6

Teclar

3

ENTER

4

´

5

ENTER

6

´

+

7

¸

 

 

Realizando o cálculo na HP12C:

 

Pressione

Visor

Descrição da Atividade

     

3

3,

Introduz o primeiro número na calculadora.

ENTER

3,0000

Pressione ENTER para separar o primeiro do segundo número.

4

4,

Introduz o segundo número na calculadora.

´

12,0000

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

5

5,

Introduz o primeiro número do segundo cálculo.

ENTER

5,0000

Pressione ENTER para separar o primeiro do segundo número, do segundo cálculo.

6

6,

Introduz o segundo número, do segundo cálculo, na calculadora.

´

30,0000

A resposta, do segundo cálculo, é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

+

42,0000

O resultado do primeiro cálculo é adicionado ao resultado do segundo cálculo.

7

7,

Introduz o primeiro número do terceiro cálculo.

¸

6,0000

O resultado da adição é dividido pelo número informado do terceiro cálculo.

 

Veja como os resultados intermediários não são apenas apresentados à medida que são calculados, mas também ficam automaticamente armazenados e disponíveis na pilha operacional para serem utilizados no momento exato.

 

Maiores informações sobre a pilha operacional podem ser obtidas no Manual do Proprietário da HP12C.

 

Exercícios:

 

     

  1. (117 ¸ 4) / (316 + 5 ´ 3) =
  2.  

  3. (3 + 4) ´ (5 + 6) =
  4.  

  5. (27 – 14) ¸ (14 + 38) =
  6.  

  7. 5 ¸ (3 + 16 + 21) =
  8.  

  9. [(144 ¸ 12 + 8) + 10] ¸ 3 =
  10.  

  11. (4 ´ 4 + 4) ¸ 4 =
  12.  

  13. (4 + 4) ¸ 4 + 4 =

 

Respostas:

 

     

  1. (117 ¸ 4) / (316 + 5 ´ 3) = 0,0884
  2.  

  3. (3 + 4) ´ (5 + 6) = 77,0000
  4.  

  5. (27 – 14) ¸ (14 + 38) = 0,2500
  6.  

  7. 5 ¸ (3 + 16 + 21) = 0,1250
  8.  

  9. [(144 ¸ 12 + 8) + 10] ¸ 3 = 10,0000
  10.  

  11. (4 ´ 4 + 4) ¸ 4 = 5,0000
  12.  

  13. (4 + 4) ¸ 4 + 4 = 6,0000

Operações com Decimais

Toda fração pode ser transformada em um número decimal. Isto se consegue dividindo o numerador pelo denominador (teremos então, um decimal exato ou não).

 

FRAÇÃO: significa a parte de um todo. Em aritmética seria o número que representa uma ou mais partes da unidade que foi dividida em partes iguais. Desta forma, os números fracionários ou frações são usados para indicar uma, ou mais, parte(s) de um todo.

 

Os componentes da fração são:

 

A - numerador

B - denominador

 

Sendo assim podemos expressar uma fração de dual maneiras: utilizando o traço de fração ou dividindo o numerador pelo denominador e obtendo um número decimal.

 

Ex. 3 = 0,75 (decimal exato)

4

 

1 = 0,3333 (decimal não exato)

3

 

Exercícios:

 

2,2 + 3,5 + 4,1 =

7,48 – 3,02 =

3,1 x 4,5 =

9,1 ¸ 1,3 =

 

Respostas:

 

2,2 + 3,5 + 4,1 = 9,8000

7,48 – 3,02 = 4,4600

3,11 x 4,5 = 13,9950

9,15 ¸ 1,3 = 7,0385

 

Inverso de um Número – 1/x

 

O inverso de um número inteiro nada mais é do que 1 dividido por este número. Assim, o inverso de 2 é de 1/2, o de 534 é 1/534 e assim por diante.

 

Na HP12C existe a tecla 1/x que tem como função inverter o valor contido no visor. Ela nos será muito útil. Para usá-la basta pressionarmos o número que se quer inverter e 1/x para termos o seu inverso.

 

 

 

Exemplo:

 

7 1/x aparecerá 0,1429 no visor (igual a 1/7).

2 1/x aparecerá 0,5000 no visor (igual a 1/2).

3 1/x aparecerá 0,3333 no visor (igual a 1/3).

4 1/x aparecerá 0,2500 no visor (igual a 1/4).

 

Potenciação

 

Seja a um número real e m e n inteiros positivos. Então:

 

an = a ´ a ´ a ´ ...... ´ a

an ´ am = an + m

a0 = 1

an / am = an - m

a1 = a

(am)n = amn

a-n = 1/an

(a/b)n = an/bn

 

Expoente é o número que indica quantas vezes a base deve ser multiplicada por ela mesmo. Sempre é escrito à direita e acima da base.

 

Na HP12C a tecla yx calcula um número y elevado a uma determinada potência x, ou seja, yx.

 

Como calcular na HP12C:

 

Digite o número da base ( y ).

Pressione ENTER para separar o segundo número (o expoente) do primeiro (a base).

Digite o expoente ( x ).

pressione yx para calcular a potenciação.

 

Exemplos:

 

23

 

Pressione

Visor

Descrição da Atividade

     

2

2,

Introduz o primeiro número na calculadora.

ENTER

2,0000

Pressione ENTER para separar o primeiro do segundo número.

3

3,

Introduz o segundo número na calculadora.

yx

8,0000

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21,4

 

Pressione

Visor

Descrição da Atividade

     

2

2,

Introduz o primeiro número na calculadora.

ENTER

2,0000

Pressione ENTER para separar o primeiro do segundo número.

1,4

1,4,

Introduz o segundo número na calculadora.

yx

2,6390

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

 

2-1,4

 

Pressione

Visor

Descrição da Atividade

     

2

2,

Introduz o primeiro número na calculadora.

ENTER

2,0000

Pressione ENTER para separar o primeiro do segundo número.

1,4

1,4,

Introduz o segundo número na calculadora.

CHS

-1,4

Troca o sinal do número (negativo ou positivo)

yx

0,3789

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

 

(-2)3

 

Pressione

Visor

Descrição da Atividade

     

2

2,

Introduz o primeiro número na calculadora.

CHS

-2,

Troca o sinal do número (negativo ou positivo)

ENTER

-2,0000

Pressione ENTER para separar o primeiro do segundo número.

3

3,,

Introduz o segundo número na calculadora.

yx

-8,0000

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

 

     

  • Radiciação

 

A radiciação é a operação inversa da potenciação.

 

Se a é um número real qualquer e m e n inteiros positivos, definimos:

 

Radiciação

 

Potenciação

( nÖ a )m

=

am / n

 

No exemplo o n é o índice (sempre maior ou igual a 2) e o a é o radicado.

 

A forma mais conhecida de radiciação é quando temos o índice igual a 2. Esta forma é conhecida como raiz quadrada. Na raiz quadrada não é preciso escrever o índice 2Ö . Basta Ö .

 

Exemplos:

 

Ö 4 = 41/2 = ( 22 ) 1/2 = 22/2 = 21 = 2

 

Ö 9 = 91/2 = ( 32 ) 1/2 = 32/2 = 31 = 3

 

Como calcular a raiz quadrada, na HP12C:

 

Digite o número da base ( a ).

Pressione a tecla g.

Pressione a tecla Ö x – tecla 21.

 

Exemplos:

 

Ö 4

 

Pressione

Visor

Descrição da Atividade

     

4

4,

Introduz o primeiro número na calculadora.

g

4,

g

Pressione g para trabalhar com as teclas de função azul.

Ö x

2,0000

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

 

Radiciação com índices diferentes de 2:

 

3Ö 8 = 81/3 = ( 23 ) 1/3 = 23/3 = 21 = 2

 

5Ö 32 = 321/5 = ( 25 ) 1/5 = 25/5 = 21 = 2

 

Como calcular a raiz de índice diferente de dois, na HP12C:

 

Digite o número da base ( a ).

Pressione ENTER para separar o segundo número (o índice) do primeiro (a base).

Digite o número do índice ( n ).

Pressione a tecla 1/x.

Pressione a tecla yx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exemplos:

 

5Ö 32

 

Pressione

Visor

Descrição da Atividade

     

32

32,

Introduz o primeiro número na calculadora – a base.

ENTER

32,0000

Pressione ENTER para separar o primeiro do segundo número.

5

5,

Introduz o segundo número na calculadora – o índice.

1/x

0,2000

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – transforma o índice em expoente.

yx

2,0000

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

 

3Ö 36

 

Pressione

Visor

Descrição da Atividade

     

36

36,

Introduz o primeiro número na calculadora – a base.

ENTER

36,0000

Pressione ENTER para separar o primeiro do segundo número.

3

3,

Introduz o segundo número na calculadora – o índice.

1/x

0,3333

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – transforma o índice em expoente.

yx

3,3019

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

 

24Ö 1.234.567,89

 

Pressione

Visor

Descrição da Atividade

     

1.234.567,89

1.234.567,89

Introduz o primeiro número na calculadora – a base.

ENTER

1.234.567,890

Pressione ENTER para separar o primeiro do segundo número.

24

24,

Introduz o segundo número na calculadora – o índice.

1/x

0,0417

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – transforma o índice em expoente.

yx

1,7940

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

 

     

  • Porcentagem

 

Porcentagem é uma fração especial na qual o denominador é sempre 100. Ela pode ser indicada por um número acompanhado da notação %.

 

Cem porcento significa 100/100, isto é 1. Na HP12C usamos as porcentagens na forma percentual: 10%. Quando realizamos cálculos algébricos utilizamos a forma unitária ou fator unitário: 0,10. A conversão é simples: Fator Unitário = Fator Percentual / 100.

 

Porcentagem

 

Fator Unitário

Porcentagem

 

Fator Unitário

           

100,0000%

=

1,0000

8.372,0000%

=

83,72000

10,0000%

=

0,1000

19,3150%

=

0,19315

1,0000%

=

0,0100

0,0060%

=

0,00006

 

A operação é simples – implica sempre em multiplicar ou dividir o número por 100. Isto significa colocar a vírgula duas casas para a direita ou para a esquerda conforme for o caso.

 

Como calcular porcentagem - % na HP12C:

 

Digite o número da base.

Pressione ENTER para separar o segundo número (o percentual) do primeiro (a base).

Digite o número do percentual.

Pressione a tecla %.

 

Exemplos:

 

Calcular 15% de 320.

 

Pressione

Visor

Descrição da Atividade

     

320

320,

Introduz o primeiro número na calculadora – a base.

ENTER

32,0000

Pressione ENTER para separar o primeiro do segundo número.

15

15,

Introduz o segundo número na calculadora – o percentual.

%

48,0000

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

 

Acrescentar 12% de imposto a uma compra de R$10.000,00.

 

Pressione

Visor

Descrição da Atividade

     

10.000

10.000,

Introduz o primeiro número na calculadora – a base.

ENTER

10.000,0000

Pressione ENTER para separar o primeiro do segundo número.

12

12,

Introduz o segundo número na calculadora – o percentual.

%

1.200,0000

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – calcula o valor a ser acrescentado.

+

11.200,0000

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – calcula o valor final acrescido do imposto.

 

Se a base já estiver no visor, como resultado de um cálculo anterior, você não precisa pressionar ENTER antes de introduzir a porcentagem, da mesma forma que num cálculo aritmético em cadeia.

 

Exemplo:

 

O preço de tabela de um fardo de arroz calafate é de R$28,34. O vendedor oferece um desconto de 5%, e o imposto sobre o preço da venda de 7%. Qual será o valor do desconto do vendedor e o preço total final, caso realize a compra?

 

Pressione

Visor

Descrição da Atividade

     

28,34

28,34

Introduz o primeiro número na calculadora – a base.

ENTER

28,3400

Pressione ENTER para separar o primeiro do segundo número.

5

5,

Introduz o segundo número na calculadora – o percentual do desconto.

%

1,4170

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – calcula o valor a ser descontado.

-

26,9230

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – calcula o valor final diminuído o desconto.

7

7,

Introduz o terceiro número na calculadora – o percentual do imposto.

%

1,8846

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – calcula o valor a ser acrescentado.

+

28,8076

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – calcula o valor final acrescido do imposto.

 

     

  • Diferença Percentual

 

Para calcular a diferença percentual entre dois números. Ela pode ser indicada pela notação D %.

 

Como calcular a diferença percentagem - D % na HP12C:

 

Digite o número da base.

Pressione ENTER para separar o segundo número do primeiro (a base).

Digite o segundo número.

Pressione a tecla D %.

 

Se o segundo número for maior do que a base, a diferença percentual será positiva. Se o segundo número for menor do que a base, a diferença percentual será negativa. Além disso, uma resposta positiva indica um acréscimo, enquanto que uma resposta negativa indica um decréscimo.

 

Se você estiver calculando uma diferença percentual num intervalo de tempo, a base é em geral o valor que ocorre em primeiro lugar.

 

Exemplos:

 

Calcular a variação percentual entre 28,34 e 28,8076.

 

Pressione

Visor

Descrição da Atividade

     

28,34

28,34

Introduz o primeiro número na calculadora – a base.

ENTER

28,3400

Pressione ENTER para separar o primeiro do segundo número.

28,8076

28,8076

Introduz o segundo número na calculadora.

D %

1,6500

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – a resposta é 1,6500% de crescimento.

 

Conforme verificado na Gazeta Mercantil a cotação de suas ações adquiridas caíram de R$58,50 para R$53,25 por ação. Qual foi variação percentual?

 

Pressione

Visor

Descrição da Atividade

     

58,50

58,50

Introduz o primeiro número na calculadora – a base.

ENTER

58,5000

Pressione ENTER para separar o primeiro do segundo número.

53,25

53,2500

Introduz o segundo número na calculadora.

D %

-8,9744

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – a resposta é –8,9744% de queda.

 

     

  • Porcentagem do Total

 

Para calcular a porcentagem de um número sobre outro. Este procedimento é conhecido como cálculo da variação vertical.

 

Como calcular a percentagem sobre o total - %T na HP12C:

 

Digite o número da base.

Pressione ENTER para separar o segundo número do primeiro (a base).

Digite o segundo número.

Pressione a tecla %T.

Pressione a tecla CLX.

Digite o terceiro número.

Pressione a tecla %T.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exemplos:

 

Descrição

Valor

%T

     

Receita Bruta de Vendas

10.000

100,0000%

Impostos sobre Vendas

(1.000)

10,0000%

Receita Líquida de Vendas

9.000

90,0000%

Custos do Produtos Vendidos

(7.650)

76,5000%

Lucro Bruto

1.350

13,5000%

     

 

Pressione

Visor

Descrição da Atividade

     

10.000

10.000,

Introduz o primeiro número na calculadora – a base.

ENTER

10.000,0000

Pressione ENTER para separar o primeiro do segundo número.

1.000

1.000,

Introduz o segundo número na calculadora.

CHS

-1.000,

Troca o sinal do número no visor.

%T

-10,0000

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – os impostos sobre vendas representam 10,0000% da Receita Bruta. Cuidado com a análise do sinal.

CLX

0,0000

Apaga o visor.

9.000

9.000,

Introduz o terceiro número na calculadora.

%T

90,0000

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – a Receita Líquida de Vendas representa 90,0000% da Receita Bruta. Cuidado com a análise do sinal.

 

E assim sucessivamente, até terminar todos os números. Desta forma saberemos quanto cada parcela participa no total.

 

Que porcentagem representa um ganho de R$5.000,00 numa aplicação de R$25.000,00?

 

Pressione

Visor

Descrição da Atividade

     

25.000

25.000,

Introduz o primeiro número na calculadora – a base.

ENTER

25.000,0000

Pressione ENTER para separar o primeiro do segundo número.

5.000

5.000,

Introduz o segundo número na calculadora.

%T

20,0000

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – o ganho representa 20,0000% da aplicação.

 

 

 

 

 

 

 

No mês passado, a sua empresa exportou produtos no valor de US$3,92 milhões para os EUA, US$2,36 milhões para a Europa e US$1,67 milhões para o resto do mundo. Qual foi o percentual das vendas à Europa sobre o total exportado?

 

Pressione

Visor

Descrição da Atividade

     

3,92

3,92

Introduz o primeiro número na calculadora – a base.

ENTER

3,9200

Pressione ENTER para separar o primeiro do segundo número.

2,36

2,36

Introduz o segundo número na calculadora.

+

6,2800

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

1,67

1,67

Introduz o terceiro número na calculadora.

+

7,9500

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

2,36

2,36

Introduz o quarto número na calculadora.

%T

29,6855

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – as vendas para a Europa representam 29,6855% das Vendas Totais.

 

A HP12C mantém o montante total após o cálculo da porcentagem do total. Portanto, para calcular a porcentagem de um outro valor sobre o total:

 

Pressione a tecla CLX, apagando o visor.

Introduza o outro valor.

Pressione %T .

 

Por exemplo, para calcular (com os dados do exercício anterior) as porcentagens absorvidas pelos EUA e pela resto do mundo sobre o total da exportação:

 

CLX

0,0000

Apaga o visor.

3,92

3,92

Introduz o quinto número na calculadora.

%T

49,3082

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – as vendas para os EUA representam 49,3082% das Vendas Totais.

CLX

0,0000

Apaga o visor.

1,67

1,67

Introduz o sexto número na calculadora.

%T

21,0063

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada – as vendas para o resto do mundo representa 21,0063% das Vendas Totais.

 

Exercício:

 

Calcule você agora: para negociar um produto você gastou R$112.000,00 de mão-de-obra, R$ 72.000,00 de matéria-prima, R$ 35.412,00 de despesas gerais e R$ 34.420, de marketing. Quanto representa percentualmente cada item?

 

 

 

 

Resposta:

 

Mão de obra = 44,1237%

Matéria prima = 28,3652%

Despesas gerais = 13,9510%

Marketing = 13,5602%

 

Exercício:

 

Em uma pesquisa de preços feita entre 2 lojas sobre o valor de um lote de aparelhos eletrodomésticos, objetivamos os seguintes dados:

 

Loja A Valor: R$ 2.500,00

Loja B Valor: R$ 4.800,00

 

Qual a variação percentual entre os preços pesquisados?

 

Resposta:

 

92,0000%

 

Exercício:

 

Qual a variação percentual entre um índice no valor de 69,351283 e um índice no valor de 75,09114?

 

Resposta:

 

8,2765%

 

Exercício:

 

Após uma compra no supermercado X, fui verificar os preços dos itens comprados com o total gasto. Quanto representou percentualmente cada item sobre o total da compra?

 

Item A ü R$ 35,68

Item B ü R$ 12,25

Item C ü R$ 72,84

Item D ü R$108,32

Item E ü R$ 57,48

 

Resposta:

 

Item A ü 12,4507%

Item B ü 04,2747%

Item C ü 25,4179%

Item D ü 37,7988%

Item E ü 20,0579%

 

 

     

  • Logaritmo Neperiano

 

A maioria das aplicações e captações existentes no mercado financeiro estão inseridas no regime de capitalização composta a qual, matematicamente falando, tem comportamento exponencial ou logarítmico.

 

Os logaritmos neperianos têm base e. O número e é obtido da expressão (1 + 1/x) x quando se faz x crescer indefinidamente, ou seja, tender a infinito é, aproximadamente, 2,718281828...

 

Indica-se: loge b Û LN b (tecla 23)

 

Em todos os exercícios de nosso curso, quando do uso de logaritmos, adotou-se os de base neperiana em função da possibilidade de o aluno poder resolvê-los concomitantemente com uma calculadora financeira, a qual, em sua maioria, apresenta em seu teclado o logaritmo neperiano.

 

Propriedades dos Logaritmos

 

     

  • Logaritmo de um produto

 

LN (b ´ c) = LN b + LN c

 

     

  • Logaritmo de um Quociente

 

LN (b / c) = LN b – LN c

 

     

  • Logaritmo de uma Potência

 

LN bn = n LN b

 

     

  • Logaritmo de uma Raiz

 

LN nÖ b = LN b 1/n = 1/n ´ LN b

 

Como calcular a logaritmo neperiano - LN na HP12C:

 

Digite o número.

Pressione ENTER para separar o segundo número do primeiro.

Digite a tecla g para acionar as funções em azul.

Pressione a tecla LN.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exemplos:

 

LN 10

 

Pressione

Visor

Descrição da Atividade

     

10

10,

Introduz o primeiro número na calculadora.

ENTER

10,0000

Pressione ENTER para separar o primeiro do segundo número.

g

10,0000

g

Pressione g para trabalhar com as teclas de função azul.

LN

2,3026

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

 

10 = 5n

 

Lembrando da propriedade de logaritmo de uma potência e lembrando de uma propriedade matemática que fala se multiplicarmos os dois termos pelo mesmo valor o resultado não modificará, então teremos:

 

LN 10 = LN 5n

LN 10 = n LN 5

LN 10 / LN 5 = n

 

 

Pressione

Visor

Descrição da Atividade

     

10

10,

Introduz o primeiro número na calculadora.

ENTER

10,0000

Pressione ENTER para separar o primeiro do segundo número.

g

10,0000

g

Pressione g para trabalhar com as teclas de função azul.

LN

2,3026

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

5

5,

Introduz o segundo número na calculadora.

g

5,

g

Pressione g para trabalhar com as teclas de função azul.

LN

1,6094

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

¸

1,4307

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada.

 

Pressionando g LN calcula-se o logaritmo neperiano; isto é, o logaritmo na base e do número no visor. Para calcular o logaritmo na base decimal do número contido no visor, calcule o logaritmo neperiano e então pressione 10 g LN ¸ .

 

 

 

 

 

     

  • Função de Calendário

 

Esta função serve para fazermos cálculos com datas, manipulando datas ente 15 de outubro de 1582 até 25 de novembro de 4046.

 

Para trabalhar com datas no formato mês, dia e ano (comum na língua inglesa):

 

Pressione a tecla g para acessar funções azuis.

Pressione a tecla M.DY – tecla 28

Obs.: Não aparecerá nada na tela; porém a calculadora assumiu este tipo de formato. A HP12C já vem com este formato pré-definido.

 

Na língua inglesa a data é escrita da seguinte forma: Abril, 01 1998.

 

Como introduzir datas pelo sistema inglês na HP12C:

 

Pressione os dois dígitos do mês.

Pressione a tecla do ponto decimal · (tecla 48).

Pressione os dois dígitos do dia.

Pressione os quatro dígitos do ano.

Pressione ENTER para separar o segundo número do primeiro.

 

Exemplo:

 

Introduzir a data 01 de maio de 1964, no formato inglês.

 

Pressione

Visor

Descrição da Atividade

     

05

05,

Introduz os dois dígitos referentes ao mês de maio.

·

05,

Pressione tecla ponto decimal para separar o mês do restante da data.

01

05,01

Introduz os dois dígitos referentes ao dia.

1964

05,011964

Introduz os quatros dígitos referentes ao ano.

ENTER

5,0120

Pressione ENTER para separar o segundo número do primeiro.

F 6

5,011964

Pressione f para trabalhar com as teclas de função amarelas – alterar o número de casas decimais.

 

Para trabalhar com datas no formato dia, mês e ano (comum na língua portuguesa):

 

Pressione a tecla g para acessar funções azuis.

Pressione a tecla D.MY – tecla 27.

 

Obs.: Aparecerá na parte inferior do teclado, ao lado do C, as letras D.MY (correspondem a day, month, year).

 

Como introduzir datas pelo nosso sistema na HP12C:

 

 

 

Pressione os dois dígitos do dia.

Pressione a tecla do ponto decimal · (tecla 48).

Pressione os dois dígitos do mês.

Pressione os quatro dígitos do ano.

Pressione ENTER para separar o segundo número do primeiro.

 

Exemplo:

 

Introduzir a data 01 de maio de 1964, no nosso formato.

 

Pressione

Visor

Descrição da Atividade

     

01

01,

Introduz os dois dígitos referentes ao dia do mês.

·

01,

Pressione tecla ponto decimal para separar o dia do restante da data.

05

01,05

Introduz os dois dígitos referentes ao mês.

1964

01,051964

Introduz os quatros dígitos referentes ao ano.

ENTER

1,0520

Pressione ENTER para separar o segundo número do primeiro.

f 6

1,051964

Pressione f para trabalhar com as teclas de função amarelas – alterar o número de casas decimais.

 

Procure conservar no rodapé de sua HP12C as letras D.MY.

 

O formato da data que você tiver especificado ficará vigorando até que você o mude; ele não é redefinido cada vez que a calculadora é ligada. No entanto, se a memória contínua for completamente apagada, o formato da data ficará sendo mês, dia e ano.

 

     

  • Números de Dias entre Datas

 

Para calcular o número de dias entre duas datas na HP12C:

 

Introduza a data mais antiga e pressione ENTER.

Introduza a data mais recente e pressione g D DYS (tecla 26).

 

A resposta apresentada no visor é o número real de dias entre as duas datas, incluindo os dias adicionais dos anos bissextos, se houver. Além disso, a HP12C também calcula o número de dias entre as duas datas, na base de um mês de 30 dias (ano comercial). Tal resposta é mantida dentro da calculadora: para apresenta-la no visor, pressione X³ Y. Pressionando X³ Y novamente, a resposta original retornará ao visor.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exemplo:

 

Quantos dias há entre 26 de outubro de 1966 e 26 de janeiro de 1999.

 

Pressione

Visor

Descrição da Atividade

     

f 6

0,000000

Introduzir seis casas decimais.

26,101966

26,101966

Introduz a data mais antiga.

ENTER

26,101966

Pressione ENTER para separar a primeira data da segunda.

26,011999

26,011999

Introduz a data mais recente.

g

26,011999

g

Pressione g para trabalhar com as teclas de função azul.

D DYS

11.780,000000

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada. Resposta em dias – ano civil.

X³ Y

11.610,000000

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada. Resposta em dias – ano comercial.

 

     

  • Datas Futuras ou Passadas

 

Para determinar a data e o dia, tendo decorrido um certo número de dias a partir de uma determinada data na HP12C:

 

Introduza a data fornecida e pressione ENTER.

Introduza o número de dias.

Se a data for no passado, pressione CHS.

Pressione g DATE.

 

A resposta calculada pela função DATE é apresentada num formato especial. Os dígitos do dia, mês e ano são isolados por separadores de dígitos, e o dígito à direita da resposta indica o dia da semana: 1 para segunda-feira e 7 para domingo.

 

Exemplo:

 

Um CDB de 90 dias comprado em 04 de janeiro de 1999 vence em que dia?

 

Pressione

Visor

Descrição da Atividade

     

f 6

0,000000

Introduzir seis casas decimais.

04,011999

04,011999

Introduz a data fornecida.

ENTER

4,011999

Pressione ENTER para separar a primeira data do número de dias.

90

90,

Introduz o número de dias.

g

90,

g

Pressione g para trabalhar com as teclas de função azul.

DATE

4.04.1999 7

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada. 04 de abril de 1999 – domingo.

 

 

Um CDB resgatado em 23 de novembro de 1998 foi comprado 90 dias antes. Qual a data em que foi comprado?

 

Pressione

Visor

Descrição da Atividade

     

f 6

0,000000

Introduzir seis casas decimais.

23,111998

23,111998

Introduz a data fornecida.

ENTER

23,111998

Pressione ENTER para separar a primeira data do número de dias.

90

90,

Introduz o número de dias.

CHS

-90,

Transforma o número positivo em negativo.

g

90,

g

Pressione g para trabalhar com as teclas de função azul.

DATE

25.08.1998 2

A resposta é calculada assim que a tecla da operação é pressionada. 25 de agosto de 1998 – terça-feira.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SEGUNDA PARTE

MATEMÁTICA FINANCEIRA – AGORA VAMOS COMEÇAR A PENSAR

 

     

  • Riqueza.

 

Trabalhar o conceito de riqueza (nível contábil e financeiro).

Riqueza pessoal. Multiplicadores de riqueza. Riqueza no tempo.

Qual o nome do aumento ou diminuição de riqueza?

 

     

  • Renda.

 

Como obter Renda?

Exemplificação contábil - Base empresa comercial.

Renda negativa = Prejuízo = Diminuição da Riqueza.

Renda positiva = Lucro = Aumento da Riqueza.

 

     

  • Rentabilidade

 

PREÇO DE TRANSFERÊNCIA DE RECURSOS NO TEMPO.

 

     

  • Liquidez

 

CUSTO DE OPORTUNIDADE DE TRANSFORMAR ATIVOS EM MOEDA, SEM PERDA DE VALOR.

 

     

  • Risco

 

DISPERSÃO DO VALOR ESPERADO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TERCEIRA PARTE

OPERAÇÕES FINANCEIRAS SIMPLES

 

     

  • Diagrama de Caixa Associado a uma Operação Financeira.

 

Todo o estudo de matemática é realizado através do regime de caixa, que representa o valor do dinheiro no tempo.

 

Nos fluxos de caixa, o diagrama deverá representar as operações financeiras. Os diagramas podem ser:

 

Trabalhando com Fluxos Binários

 

No fluxo binário o tempo é sempre igual a 01 (um).

 

Renda

 

Exercício:

 

Calcular a Renda dos produtos abaixo:

 

 

Dando nomes aos bois:

 

Renda = Juros = J

Riqueza 0 = Capital = C

Riqueza 1 = Montante = M

 

J = M - C

 

J1 = 1.500 - 1.000 = 500

J2 = 5.000 - 4.000 = 1.000

 

Rentabilidade Unitária

 

Rentabilidade Unitária = Retorno Unitário.

 

 

Se:

Riqueza 0 = 1

Riqueza 1 = 1,5

 

Então:

Renda = 1,5 - 1,0 = 0,5

 

Dando nomes aos bois:

 

Renda = Juros = J

Riqueza 0 = Capital = C

Riqueza 1 = Montante = M

Retorno Unitário = ru

 

ru = J/C

 

ru1 = 500/1.000 = 0,50

ru2 = 1.000/4.000 = 0,25

 

Rentabilidade Percentual

 

Rentabilidade Percentual = Retorno Percentual.

 

Dando nomes aos bois:

 

Retorno Unitário = ru

Retorno Percentual = rp

 

 

 

rp = ru x 100

 

rp1 = 0,50 x 100 = 50% ru2 = 0,25 x 100 = 25%

 

Exercícios:

 

Todos os exercícios devem ser demonstrados matematicamente completos e seus cálculos realizados com a HP12C.

 

     

  1. Aplicação de $6.000 num Fundo de Investimento proporciona, ao final de certo período, o montante de $6.285. Determine a renda e a rentabilidade dessa aplicação.
  2.  

     

  3. Um imóvel adquirido pelo valor de $80.000 é vendido, um ano depois, por $280.000. Determinar a taxa de valorização do imóvel nesse período.
  4.  

     

  5. A rentabilidade proporcionada por um Fundo de Investimento, em dado período, foi de 7,5%. Aplicando-se $16.000 em quotas desse fundo, sem movimentá-las no decorrer do período, que montante teria sido resgatado ao final do mesmo?
  6.  

     

  7. Um ativo é adquirido no mercado à vista, por $420, e negociado no mercado futuro, prefixando-se uma remuneração de 12,5% para o período da operação. Determinar o valor do vencimento (preço de exercício) do contrato assim firmado.
  8.  

     

  9. Qual é o capital que, aplicado a taxa de 15%, relativa a um dado período, proporciona, ao final do mesmo, o montante (valor de resgate) de $34.500?
  10.  

     

  11. Um investidor adquire 10.000 ações de uma empresa, ao preço de $17,50 cada uma. Decorrido um certo período a empresa emissora efetua um desdobramento de sua base acionária, na proporção de 1:5, e, logo em seguida, resolve distribuir dividendos de $0,15 por ação, já desdobrada. Nessa ocasião, os referidos títulos passam a ser cotados no mercado ao preço de $7,20 (ex-direitos). Determinar a rentabilidade obtida pelo investidor, no período. Ex-direitos = recebe o dividendo e quando é vendida a ação, o comprador não possuí o direito de recebimento dos dividendos passados.
  12.  

     

  13. Determinado ativo é negociado no mercado à vista e no mercado de opções. Neste momento, esse ativo está sendo oferecido no mercado à vista, ao preço de $2.500, e no mercado de opções através de um contrato de "opção de compra" com prazo de 90 dias e preço de exercício de $3.000. Neste segunda alternativa, o comprador deverá pagar à outra parte um prêmio correspondente a 4% do referido preço à vista, na assinatura do contrato, pelo direito de opção assim adquirido.
  14.  

    Se ao final dos 90 dias a cotação desse ativo no mercado à vista for de $3.500, qual será:

     

    a) a rentabilidade proporcionada por uma operação de compra e venda à vista do ativo em questão, no período considerado (90 dias)?

     

    b) a rentabilidade obtida pelo comprador da opção, caso este realize a venda do ativo no mercado à vista ao final do período (90 dias), imediatamente após tê-lo adquirido no exercício do contrato?

     

    c) a rentabilidade (taxa de financiamento) obtida pelo lançador (vendedor) do contrato de opção, supondo-se que o mesmo adquira o referido ativo no mercado à vista, na data de hoje?

     

     

  15. Refaça os cálculos de rentabilidade referentes aos itens (a) e (b) solicitados no exercício anterior, supondo que a cotação do ativo no mercado à vista, ao final dos 90 dias seja igual a: a) $3.250, b) $3.125 e c) $3.100. Compare e analise as três modalidades (compra e venda à vista, compra da opção e lançamento da opção), observando o risco e o retorno associados a cada uma delas.

 

     

  • Taxa Nominal x Taxa Efetiva associadas a uma Operação Financeira

 

Quando a estrutura do fluxo de caixa original sofre alterações a taxa referente a respectivo fluxo também sofre alteração. A esta nova taxa dá-se o nome de efetiva.

 

Fluxo Nominal

Fluxo Efetivo

   

O Fluxo Nominal apresenta as seguintes variáveis:

O Fluxo Efetivo apresenta as seguintes variáveis:

Capital = C

Capital = C

Montante = M

Montante = M

Juros = J

Juros = J

ru = taxa nominal unitária

Imposto de Renda = IR

rp = taxa nominal percentual

Taxa de Abertura de Crédito = TAC

 

Saldo Médio = SM

 

Imposto Operações Financeiras = IOF

 

Juros Antecipados

 

Contribuição Provisória Movimentação Financeira = CPMF

 

taxa efetiva unitária = ruL

 

taxa efetiva percentual = rpL

 

Exercícios:

 

Todos os exercícios devem ser demonstrados matematicamente completos e seus cálculos realizados com a HP12C.

 

 

     

  1. capital de $9.000 é investido numa operação financeira que oferece juros de 80% durante um certo período. Sabendo-se que o rendimento dessa operação é tributada em 25%, determinar o valor de resgate e a taxa líquida de retorno por ela proporcionados, considerando-se cada uma das seguintes hipóteses:
  2.  

    a) Cobrança do imposto no final do período.

    b) Cobrança do imposto no início do período.

     

     

  3. Considere as duas operações abaixo apresentadas, ambas associadas ao mesmo período de tempo:
  4.  

    a) Aplicação com rendimento bruto igual a 75%, tributado em 16%, antecipadamente.

     

    b) Aplicação com rendimento bruto igual a 72,5%, tributado em 20%, ao final do período.

     

    Pede-se determinar a taxa líquida de retorno dessas operações, bem como o valor de resgate proporcionado pela aplicação do capital de $280.000 em cada uma delas.

     

     

  5. Considere uma operação de empréstimo bancário com valor nominal de $7.500, sujeita à cobrança de juros nominais de 8%, no final da operação, juntamente com a amortização do principal, além um prêmio (comissão) de 4% sobre o valor nominal, na abertura do crédito.
  6.  

    a) determinar o valor líquido do financiamento, o seu valor de resgate e a taxa efetiva de juros a ele associada.

     

    b) qual deverá ser o valor nominal da operação, para que o mutuário venha a obter um financiamento líquido de $7.500?

     

    Qual será o valor de resgate dessa operação, neste caso?

     

     

  7. Um Banco realiza uma operação de empréstimo a curto prazo, cobrando juros antecipados de 22% no período da operação:
  8.  

    4.1) Pede-se determinar:

     

    a) a taxa efetiva de juros cobrada na operação;

     

    b) o montante a ser pago na liquidação de um empréstimo de valor nominal igual a $3.603.600, bem como o valor líquido a ser recebido pelo tomador (mutuário), no fechamento da operação;

     

    c) o valor nominal que deveria ser solicitado ao Banco, para se obter um empréstimo líquido de $3.603.600.

     

    4.2) Refaça os cálculos para cada uma das hipóteses abaixo aventadas:

     

    a) Cobrança de prêmio (comissão) correspondente a 3% do valor nominal da operação, na ocasião da abertura do crédito.

     

    b) exigência de um saldo médio de 12% sobre o valor nominal da operação.

     

    c) cobrança do prêmio (letra a) e exigência do saldo médio (letra b), ao mesmo tempo.

     

     

     

     

  9. Considere duas alternativas de empréstimo a curto prazo, ambas associadas a um mesmo período:
  10.  

    a) cobrança de juros postecipados de 17%. liquidados juntamente com a amortização do principal, e de uma comissão de 2,5% sobre o valor nominal do empréstimo, na abertura do crédito.

     

    b) cobrança de juros antecipados de 15% e exigência de um saldo médio de 10% sobre o valor nominal da operação.

     

    Qual destas alternativas é a de menor custo para o mutuário.

     

     

  11. Um empréstimo de curto prazo deverá ser negociado a juros antecipados de 18%, por determinado período, exigindo-se, ainda, uma reciprocidade na forma de taxa de abertura de crédito ou de saldo médio. Para que a taxa efetiva dessa operação seja de 25%, pergunta-se:

 

a) qual deverá ser a taxa de abertura de crédito cobrada sobre o valor nominal da operação?

 

b) qual deverá ser o percentual de saldo médio exigido sobre o valor nominal da operação?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

QUARTA PARTE

OPERAÇÕES FINANCEIRAS SIMPLES – 2ª PARTE

 

     

  • Valor do Dinheiro no Tempo: Custo de Oportunidade

 

Preferência de receber hoje e pagar no futuro.

 

Recebendo hoje, posso aplicar e ganhar um determinado prêmio.

 

Custo de Oportunidade de Capital é o Prêmio que será pago pelo

Mercado Financeiro caso você aplique o capital.

 

Exercícios:

 

Todos os exercícios devem ser demonstrados matematicamente completos e seus cálculos realizados com a HP12C.

 

     

  1. Suponha que você deva receber hoje a quantia de $5.000, em decorrência de uma operação de crédito efetuada anteriormente. Se o devedor lhe propuser a repactuação desse compromisso, prorrogando o pagamento por um período determinado e oferecendo em troca a importância de $5.350 ao final do mesmo período, você aceitará tal proposta? Que quantia oferecida pelo devedor tornaria a decisão irrelevante para você? (Considere o seu custo de oportunidade igual a 10%, no período em questão.)
  2.  

     

  3. Um ativo, cujo preço à vista é de $2.500, pode ser negociado para pagamento em 30 dias, pelo valor de $2.600. Se o seu custo oportunidade for de 2% ao mês, pergunta-se:

 

a) qual seria a sua opção? Pagamento à vista ou em 30 dias?

 

b) Qual seria o valor mínimo que você estaria disposto a desembolsar, no caso de liquidação em 30 dias?

 

c) Se o seu custo de oportunidade fosse de 6% ao mês, você mudaria a sua decisão? Neste caso, qual seria a quantia máxima que você estaria disposto a desembolsar, no final do referido período?

 

     

  • Comparação e Equivalência de Capitais

 

O Capital no momento zero é equivalente no tempo,

em função a uma determinada taxa,

ao Capital no momento um.

 

Exercícios:

 

Todos os exercícios devem ser demonstrados matematicamente completos e seus cálculos realizados com a HP12C.

 

     

  1. Quanto você pagaria hoje por um título que, ao final de certo período, será resgatado pelo valor de $5.775, caso deseje obter uma rentabilidade de 10%, nesse período? Refaça o cálculo para o caso dessa rentabilidade ser de 5%.
  2.  

     

  3. Suponha que você seja possuidor de um título, cujo valor de resgate, ao final de certo período, é de $8.600. Se alguém lhe propuser a negociação desse título hoje, pelo valor de $7.900, e o seu custo de oportunidade no período for de 7,5%, você realizará a operação? Qual seria o valor mínimo pelo qual você estaria disposto a realizar essa operação?

 

     

  • Operações de Desconto

 

Nas operações de desconto trabalharemos com novas nomenclaturas. Porém é importante ressaltar que o conceito continua o mesmo. A seguir demonstramos uma legenda dos termos utilizados:

 

VD = Valor Descontado = Capital = C

 

VN = Valor Nominal = Montante = M

 

D = Desconto = Juros = J

 

Desconto Comercial

 

As características do Desconto Comercial são:

 

Valor Nominal = VN = Em operações de descontos valor nominal é o montante ( M ) – valor no título no futuro (na data do vencimento).

 

Taxa Nominal = rp ou ru = Em operações de desconto comercial a taxa utilizada, sempre, é a nominal. A taxa incide sobre o valor nominal.

 

 

 

 

 


 

 

 


 

Valor Descontado = VD = Valor Nominal Desconto

 

Conforme descrito anteriormente, no desconto comercial, a taxa nominal incide sobre o valor nominal; desta forma, temos:

 

Dc = VN ´ ru

 

 

 

 

Exercícios:

 

Todos os exercícios devem ser demonstrados matematicamente completos e seus cálculos realizados com a HP12C.

 

     

  1. Um título de valor nominal igual a $1.500.000, no seu vencimento, é descontado hoje, à taxa de 20%, sobre o valor nominal. Determinar o valor descontado (valor de liquidação) nesta data, bem como o valor do desconto praticado.
  2.  

     

  3. Um título é descontado em 36% sobre o valor nominal. Determine o valor descontado bem como o desconto praticado.

 

Desconto Racional

 

As características do Desconto Racional são:

 

Valor Nominal = VN = Em operações de descontos valor nominal é o montante ( M ) – valor no título no futuro (na data do vencimento).

 

Taxa Efetiva = rpL ou ruL = Em operações de desconto racional a taxa utilizada, sempre, é a efetiva. A taxa incide sobre o valor descontado ( Capital = C ).

 

 

 

 

 


 

 

 


 

Valor Descontado = VD = Valor Nominal Desconto

 

Conforme descrito anteriormente, no desconto racional, a taxa efetiva incide sobre o valor descontado; desta forma, temos:

 

Dr = VD ´ ruL

 

Exercícios:

 

Todos os exercícios devem ser demonstrados matematicamente completos e seus cálculos realizados com a HP12C.

 

     

  1. Um título de valor nominal igual a $1.500.000, no seu vencimento, é descontado hoje, à taxa efetiva de 20%, no período. Determinar o valor descontado (valor de liquidação) nesta data, bem como o valor do desconto praticado. Refaça os cálculos para uma taxa efetiva de 25%.
  2.  

     

     

     

  3. Um título é descontado em 36% sobre o valor nominal. Determine a taxa efetiva praticada nessa operação. Que taxa de desconto deveria incidir sobre o referido valor nominal, a fim de se obter uma taxa efetiva de 60%, no período da operação.

 

     

  • Efeito Inflacionário sobre uma Aplicação de Capital: Taxa Real x Taxa Aparente
  •  

  • Determinação da Taxa Real Associada a uma Operação Financeira.
  •  

  • Determinação da Taxa Aparente Associada a uma Operação, com base na Estimativa de Inflação do Período.

 

Taxa Nominal = Taxa de Mentira

Taxa Efetiva = Taxa de Verdade

Taxa Aparente = Taxa de Mentira sem Inflação

Taxa Real = Taxa de Verdade sem Inflação

 

Fluxo Nominal

Fluxo Efetivo

   

O Fluxo Nominal apresenta as seguintes variáveis:

O Fluxo Efetivo apresenta as seguintes variáveis:

Capital = C

Capital = C

Montante = M

Montante = M

Juros = J

Juros = J

ru = taxa nominal unitária

Imposto de Renda = IR

rp = taxa nominal percentual

Taxa de Abertura de Crédito = TAC

 

Saldo Médio = SM

 

Imposto Operações Financeiras = IOF

 

Juros Antecipados

 

Contribuição Provisória Movimentação Financeira = CPMF

 

taxa efetiva unitária = ruL

 

taxa efetiva percentual = rpL

   

Fluxo Aparente

Fluxo Real

   

O Fluxo Aparente apresenta as seguintes variáveis:

O Fluxo Real apresenta as seguintes variáveis:

Capital = C

Capital = C

Montante = M

Montante = M

Juros = J

Juros = J

ru = taxa nominal unitária

Imposto de Renda = IR

rp = taxa nominal percentual

Taxa de Abertura de Crédito = TAC

 

Saldo Médio = SM

Inflação

Imposto Operações Financeiras = IOF

 

Juros Antecipados

Capital Corrigido = Cc

Contribuição Provisória Movimentação Financeira = CPMF

Juros Aparente = Ja

Taxa efetiva unitária = ruL

rua = taxa aparente unitária

Taxa efetiva percentual = rpL

rpa = taxa aparente percentual

 
 

Inflação

   
 

Capital Corrigido = Cc

 

Juros Real = Jr

 

rur = taxa real unitária

 

Rpr = taxa real percentual

 

 

 

 

Exercícios:

 

Todos os exercícios devem ser demonstrados matematicamente completos e seus cálculos realizados com a HP12C.

 

     

  1. O capital de $500.000, aplicado durante um certo período, proporciona um montante de $900.000, ao final do mesmo. Determinar a renda aparente e a rentabilidade aparente obtidas nessa aplicação, admitindo-se uma inflação de 50% no período considerado. Refazer os cálculos para uma inflação de 100%.
  2.  

     

  3. O capital de $300.000 rende juros de $285.000, ao final de certo período. Determinar a renda e a rentabilidade aparente dessa aplicação, supondo-se, para esse período, uma inflação de: a) 50% e b) 150%.
  4.  

     

  5. Um fundo de investimento rende 12,75%, em dado período. Determinar o retorno aparente proporcionado por esse fundo, supondo-se uma inflação de 10% no período considerado.
  6.  

     

  7. Compare as duas alternativas de aplicação abaixo apresentadas, ambas associadas a um mesmo período:
  8.  

    a) título com remuneração bruta e prefixada em 18,50%, tributada em 20%, no final do período.

     

    b) título com remuneração bruta prefixada em 16,75%, tributada em 8% antecipadamente.

     

    Determine a rentabilidade real oferecida por esses dois títulos, considerando-se uma inflação de 25% no período.

     

     

  9. Na aplicação de $10.000, durante um certo período, deseja-se obter uma remuneração real de 10%. Supondo-se que a correção monetária associada a esse período seja de 80%, pede-se determinar:
  10.  

    a) a renda real, a renda efetiva e o montante que deverão ser proporcionados por essa aplicação.

     

    b) a rentabilidade efetiva dessa aplicação.

     

     

  11. Para se obter uma rentabilidade real de 15% em dado período, ao qual está vinculada uma expectativa inflacionária de 100%, que rentabilidade efetiva deverá ser demandada?
  12.  

     

  13. Qual deverá ser a remuneração efetiva proporcionada por uma aplicação mensal em Caderneta de Poupança (rentabilidade real de 0,5% ao mês), se a correção monetária for de: a) 4% ao mês; b) 10% ao mês; c) 20% ao mês.
  14.  

     

     

     

     

  15. Uma aplicação em depósito a prazo oferece remuneração nominal (pós-fixada) de 33,25%, para um dado período. Sabendo-se que a remuneração aparente é tributada em 30%, no final do período, e que a correção monetária associada a esse período foi estimada em 30%, pede-se determinar
  16.  

    a) a remuneração real dessa aplicação.

     

    b) a renda líquida aparente, a renda líquida real e o valor de resgate proporcionados pela aplicação de $500.000, nessa operação.

     

     

  17. Uma aplicação em depósito a prazo, no valor de $500.000,00, oferece remuneração prefixada em 44,20%, para um dado período. Sabendo-se que o rendimento aparente dessa operação é tributado em 30%, pede-se determinar a remuneração real líquida aí obtida, caso a correção monetária do período seja de 20%.
  18.  

     

  19. Considere um título com valor de resgate igual a $826.200, ao final de um dado período. Qual seria o valor máximo pelo qual você compraria esse título hoje, considerando-se um custo de oportunidade de 2% (taxa real) e uma expectativa inflacionária de 35%, nesse período.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

QUINTA PARTE

MATEMÁTICA FINANCEIRA – JUROS SIMPLES

 

     

  • Regime de Apropriação de Juros – Juros Simples

 

Quando o período (tempo) for igual a 1, o juros simples é igual ao juros compostos.

 

Até o momento só trabalhamos com períodos unitários (Fluxos Binários). A partir de hoje estaremos trabalhando com períodos compostos - Fluxos Periódicos.

 

Dica muito importante:

 

Juros simples - sempre incide sobre o capital inicial.

 

Juros compostos - sempre incide sobre o capital acrescido dos juros (Montante).

 

A partir de agora vamos entender o que é um cálculo de juros simples, em um fluxo periódico.

 

O que diferencia uma fluxo binário de um periódico?

 

O Tempo; isto é, a partir de agora trabalharemos com períodos diferentes de 1.

 

Vamos trabalhar com alguns exemplos para que possamos visualizar corretamente a sistemática de juros simples em fluxos periódicos.

 

Lembrança importante:

 

Juros simples - sempre incide sobre o capital inicial.

 

Exemplo:

 

Aplicação de $1.000 durante certo período paga um rendimento de 10%. Calcular o montante.

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

Se, quando do resgate do título, o aplicador quiser reaplica-lo por mais um período, a mesma taxa; como fica o fluxo?

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 



Poderia dizer que estes dois fluxos são iguais ao fluxo abaixo demonstrado:

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

Poderia dizer que este fluxo é igual ao fluxo abaixo demonstrado:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Resposta: 20%. Como esta taxa foi calculada?

 

Vamos rever juros simples.

 

Todos nossos exercícios até agora as taxas eram descritas como sendo para um certo período, para um tempo já designado, durante um certo tempo, para x dias, para x meses etc..

 

Qual é a fórmula para calcular o Juros pela metodologia de juros simples?

 

J = ru x C

 

 

 

 

 

Lembremos no sistema de juros simples o juros incide sempre sobre o capital inicial.

 

J1 = C ´ ru = 1.000 ´ 0,10 = 100

J2 = C ´ ru = 1.000 ´ 0,10 = 100

ou

Jtotal = J1 ´ n = 100 ´ 2 = 200

então

M = C + J = 1.000 + 200 = 1.200

 

Se:

J1 = C ´ ru e Jtotal = J1 ´ n e Jtotal = J

Então:

J = C ´ ru ´ n

 

Se:

M = C + J e J = C ´ ru ´ n

Então:

M = C + C ´ ru ´ n = C ( 1 + ru ´ n )

 

Se:

ru = J / (C ´ n) ou ru ´ n = J / C e J = M - C

Então:

ru ´ n = ( M - C ) / C = M / C - 1

Então:

ru ´ n = M / C - 1

 

Exemplo:

 

Um capital de 500.000 é aplicado a taxa mensal de 50% durante três meses. Calcular o juros e o montante.

 

 

 

 


 

 

 

 

Lembremos no sistema de juros simples o juros incide sempre sobre o capital inicial.

 

J1 = C x ru = 500.000 x 0,50 = 250.000

J2 = C x ru = 500.000 x 0,50 = 250.000

J3 = C x ru = 500.000 x 0,50 = 250.000

ou

Jtotal = J1 x n = 250.000 x 3 = 750.000

Então

 

M = C + J = 500.000 + 750.000 = 1.250.000

 

Vejamos uma demonstração através de um quadro de sistema de amortização.

 

Tempo

Prestação

Juros

Amortização

S. Devedor

         

0

-

-

-

500.000

1

-

250.000

-

750.000

2

-

250.000

-

1.000.000

3

-

250.000

-

1.250.000

Exercícios:

 

     

  1. capital de 500.312 é aplicado a juros de 20% ao trimestre, durante 270 dias. Determinar a renda e o montante proporcionados por essa aplicação, ao final do prazo mencionado, no R.J.S. .
  2.  

     

  3. Um fundo de investimentos proporciona rentabilidade de 2,5%, 4,0%, 7,5% e 5,0% durante quatro meses consecutivos. Determinar a renda e o montante proporcionados pela aplicação de $400.000 nesses fundo, ao final do quadrimestre.
  4.  

     

  5. Qual é o capital que, aplicado a juros de 10% ao mês, proporciona um montante de $43.575, ao final de 3 meses?
  6.  

     

  7. A aplicação do capital de $62.500 proporciona, ao final de um ano, juros de $67.100. Determinar a taxa trimestral associada a essa aplicação.
  8.  

     

  9. Ao final de quanto tempo, um capital aplicado a juros de 2,5% ao mês dobrará de valor?
  10.  

     

  11. Aplicando-se determinado capital a juros simples de 5% ao mês, obteve-se um montante de $960.000, ao final de 4 meses. Calcular o capital.
  12.  

     

  13. Uma aplicação financeira proporciona uma remuneração mensal de 8%. Determinar a taxa proporcional relativa a um período trimestral, semestral e anual.
  14.  

     

  15. Determinar as taxas mensal, quadrimestral e semestral proporcionais a 60% ao ano.
  16.  

     

  17. Uma aplicação financeira proporciona remuneração de 4,25% no período de 40 dias, calcular a taxa proporcional para: 1 dia, um mês, um bimestre, um trimestre, um semestre, um ano e dez anos.
  18.  

     

  19. Considere um financiamento de $7.000 com prazo de 12 meses e juros de 10% ao mês, a serem pagos no vencimento do contrato, juntamente com a amortização do principal. Determinar o montante a ser liquidado nessa ocasião.
  20.  

     

  21. Considere uma operação de financiamento com prazo de 30 dias, sujeito a juros de 108% ao ano. Calcular o montante.
  22.  

     

  23. Considere uma operação de empréstimo com prazo de 80 dias e juro de 4,5% ao mês, liquidada mediante um único desembolso, no vencimento do contrato. Calcular o montante a ser pago ao emprestador.
  24.  

     

  25. Uma instituição bancária capta recursos através de depósitos a prazo, oferecendo uma remuneração de 50% ao ano. Tais recursos são repassados através de operações de empréstimo com prazo de 60 dias, sujeitas à cobrança de juros de 45% ao ano, além da cobrança de uma comissão de 1,0% sobre o valor nominal da operação, na abertura do crédito. Determinar o ganho obtido pela instituição, admitindo-se que a mesma realize operações casadas (prazo de captação igual ao prazo de aplicação).
  26.  

     

  27. Uma aplicação financeira com prazo de 60 dias proporciona remuneração de 54,33% ao ano. Sabendo-se que a renda dessa aplicação é tributada em 20%, no seu vencimento, pede-se:

 

     

  1. rentabilidade efetiva proporcionada pela aplicação.
  2.  

     

  3. valor de resgate proporcionado pela aplicação de $5.000.

 

     

  1. Considere uma aplicação financeira com prazo de 90 dias, que ofereça juros reais de 21,55% ao ano, tributados em 20% no seu vencimento, além da correção monetária do período. Supondo-se uma inflação mensal de 2,5%, pede-se:

 

     

  1. calcular as taxas efetiva, aparente e real.
  2.  

     

  3. calcular o valor de resgate proporcionado pela aplicação de $5.000.
  4.  

     

  5. refazer os cálculos para uma inflação mensal de 40%.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SEXTA PARTE

MATEMÁTICA FINANCEIRA – JUROS COMPOSTOS

 

     

  • Regime de Apropriação de Juros – Juros Compostos

 

Fluxos Periódicos.

 

Dica muito importante:

 

Juros compostos - sempre incide sobre o capital acrescido dos juros (Montante).

 

A taxa e o tempo sempre devem estar na mesma unidade de tempo.

 

A partir de agora vamos entender o que é um cálculo de juros composto, em um fluxo periódico.

 

Vamos trabalhar com alguns exemplos para que possamos visualizar corretamente a sistemática de juros compostos em fluxos periódicos.

 

Exemplo:

 

Empréstimo de $500.000 durante três meses cobra uma taxa de juros de 50% ao mês.

 

Calcular o montante, pelo Regime de Juros Simples

 

Tempo

Prestação

Juros

Amortização

Saldo Devedor

0

-

-

-

500.000,00

1

-

250.000,00

-

750.000,00

2

-

250.000,00

-

1.000.000,00

3

-

250.000,00

-

1.250.000,00

 

O que fizemos até agora com o juros simples em fluxo periódico?

 

Pegamos o Tempo (n), multiplicamos pela Taxa (ru) e multiplicamos pelo Capital (C), e encontramos os Juros (J).

 

n ´ ru = J / C ou n ´ ru ´ C = J ou n ´ ru = M / C - 1

 

3 x 0,50 = J / 500.000 ou 3 x 0,50 x 500.000 = J

 

J = 750.000

 

M = C + J = 500.000 + 750.000 = 1.250.000

ou

3 x 0,50 = M / 500.000 - 1 ou (1,50 + 1) x 500.000 = M

 

M = 1.250.000

 

 

Pelo Regime de Juros Compostos

 

Tempo

Prestação

Juros

Amortização

Saldo Devedor

0

-

-

-

500.000,00

1

-

250.000,00

-

750.000,00

2

-

375.000,00

-

1.125.000,00

3

-

562.500,00

-

1.687.500,00

 

Como calculamos o Saldo devedor e os juros?

 

J1 = 500.000 x 0,50 = 250.000

M1 = 500.000 + 250.000 = 750.000

 

J2 = 750.000 x 0,50 = 375.000

M2 = 750.000 + 375.000 = 1.125.000

 

J3 = 1.125.000 x 0,50 = 562.500

M3 = 1.125.000 + 562.500 = 1.687.500

 

Desta maneira é muito trabalhoso. Podemos calcular de outra maneira mais fácil?

 

Vejamos outra forma de calcular o Montante.

 

Se estamos trabalhando com uma Progressão Geométrica, então o número anterior vezes a razão é igual ao número atual. Em termos de matemática financeira podemos dizer que o Capital vezes uma razão da taxa é igual ao Montante.

 

Em Progressão Geométrica a razão é calculada dividindo-se o número atual pelo número anterior.

 

Em Matemática Financeira o cálculo é igual: divide-se o Montante pelo Capital.

 

Vejamos:

 

razão = M / C ou razão = 750.000 / 500.000 = 1,50

 

razão = M / C ou razão = 1.125.000 / 750.000 = 1,50

 

razão = M / C ou razão = 1.687.500 / 1.125.000 = 1,50

 

então

 

M1 = 500.000 x 1,50 = 750.000

M2 = 750.000 x 1,50 = 1.125.000

M3 = 1.125.000 x 1,50 = 1.687.500

 

O que é a razão?

 

 

 

Muito simples: é o número índice da taxa.

 

Isto é: a taxa dividida por 100 mais 1

 

ou

 

(rp / 100) + 1 = i

 

No juros compostos a taxa será chamada de i (i, iL, ia, ir).

 

Então como fica nossa fórmula para os cálculos dos juros compostos:

 

M = C x ( 1 + i )

 

M = C + J ou J = M - C

 

J = C x ( 1 + i ) - C ou, colocando o Capital em evidência:

 

J = C [ ( 1 + i ) - 1]

 

Exercícios:

 

     

  1. capital de 500.312 é aplicado a juros de 20% ao trimestre, durante 270 dias. Determinar a renda e o montante proporcionados por essa aplicação, ao final do prazo mencionado, no R.J.C. .
  2.  

     

  3. Um fundo de investimentos proporciona rentabilidade de 2,5%, 4,0%, 7,5% e 5,0% durante quatro meses consecutivos. Determinar a renda e o montante proporcionados pela aplicação de $400.000 nesses fundo, ao final do quadrimestre.
  4.  

     

  5. Qual é o capital que, aplicado a juros de 10% ao mês, proporciona um montante de $43.575, ao final de 3 meses?
  6.  

     

  7. A aplicação do capital de $62.500 proporciona, ao final de um ano, juros de $67.100. Determinar a taxa trimestral associada a essa aplicação.
  8.  

     

  9. Ao final de quanto tempo, um capital aplicado a juros de 2,5% ao mês dobrará de valor?
  10.  

     

  11. Aplicando-se determinado capital a juros compostos de 5% ao mês, obteve-se um montante de $960.000, ao final de 4 meses. Calcular o capital.
  12.  

     

  13. Uma aplicação financeira proporciona uma remuneração mensal de 8%. Determinar a taxa equivalente relativa a um período trimestral, semestral e anual.
  14.  

     

  15. Determinar as taxas mensal, quadrimestral e semestral equivalentes a 60% ao ano.
  16.  

     

     

     

     

  17. Uma aplicação financeira proporciona remuneração de 4,25% no período de 40 dias, calcular a taxa equivalente para: 1 dia, um mês, um bimestre, um trimestre, um semestre, um ano e dez anos.
  18.  

     

  19. Considere um financiamento de $7.000 com prazo de 12 meses e juros de 10% ao mês, a serem pagos no vencimento do contrato, juntamente com a amortização do principal. Determinar o montante a ser liquidado nessa ocasião.
  20.  

     

  21. Considere uma operação de financiamento com prazo de 30 dias, sujeito a juros de 108% ao ano. Calcular o montante.
  22.  

     

  23. Considere uma operação de empréstimo com prazo de 80 dias e juro de 4,5% ao mês, liquidada mediante um único desembolso, no vencimento do contrato. Calcular o montante a ser pago ao emprestador.
  24.  

     

  25. Uma instituição bancária capta recursos através de depósitos a prazo, oferecendo uma remuneração de 50% ao ano. Tais recursos são repassados através de operações de empréstimo com prazo de 60 dias, sujeitas à cobrança de juros de 45% ao ano, além da cobrança de uma comissão de 1,0% sobre o valor nominal da operação, na abertura do crédito. Determinar o ganho obtido pela instituição, admitindo-se que a mesma realize operações casadas (prazo de captação igual ao prazo de aplicação).
  26.  

     

  27. Uma aplicação financeira com prazo de 60 dias proporciona remuneração de 54,33% ao ano. Sabendo-se que a renda dessa aplicação é tributada em 20%, no seu vencimento, pede-se:

 

     

  1. rentabilidade efetiva proporcionada pela aplicação.
  2.  

     

  3. valor de resgate proporcionado pela aplicação de $5.000.

 

     

  1. Considere uma aplicação financeira com prazo de 90 dias, que ofereça juros reais de 21,55% ao ano, tributados em 20% no seu vencimento, além da correção monetária do período. Supondo-se uma inflação mensal de 2,5%, pede-se:

 

     

  1. calcular as taxas efetiva, aparente e real.
  2.  

     

  3. calcular o valor de resgate proporcionado pela aplicação de $5.000.
  4.  

     

  5. refazer os cálculos para uma inflação mensal de 40%.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SÉTIMA PARTE

MATEMÁTICA FINANCEIRA – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

 

     

  • Sistema de Amortização Constante – SAC

 

Trabalha com Regime de Juros Compostos e equivalência de taxas. Como o próprio nome indica, tem como característica principal serem as amortizações sempre iguais (constantes).

 

Amortização = Capital / Tempo de Amortização

 

Dois Tipos:

 

Sem carência - pagamento imediato conforme contrato.

 

Com carência:

juros pagos durante a carência.

juros capitalizados e pagos totalmente quando do vencimento da primeira amortização.

juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor gerando um fluxo de amortizações e prestações de maior valor.

 

     

  • Sistema de Amortização Americano – SAA

 

Pouco difundido no mercado nacional mas bastante adotado internacionalmente, estipula que a devolução do capital emprestado seja efetuada ao final do período contratado da operação de uma só vez. Os juros costumam ser pagos periodicamente; desta forma o cálculo é realizado pelo Regime de Juros Simples.

 

     

  • Sistema de Amortização Francês – SAF

 

Amplamente adotado no mercado financeiro do Brasil, estipula, ao contrário do Constante, que as prestações devem ser iguais, periódicas e sucessivas. Os juros são decrescentes e as parcelas de amortização assumem valores crescentes. Em outras palavras, no Francês, os juros decrescem e as amortizações crescem ao longo do tempo. A soma dessas duas parcelas permanece sempre igual ao valor da prestação.

 

Dois Tipos:

 

Sem carência - pagamento imediato conforme contrato.

 

Com carência:

juros pagos durante a carência.

juros capitalizados e pagos totalmente quando do vencimento da primeira amortização.

juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor gerando um fluxo de amortizações e prestações de maior valor.

 

 

 

 

Nomenclaturas utilizadas:

 

Prestação = P = PMT

 

Capital = C = PV = Valor Presente

 

Fator de Valor Presente = FPV

 

Tempo = n

 

Taxa = i

 

Como são determinadas as Prestações:

 

PMT = PV / FPV

 

FPV = [1 – ( 1 + i )-n] / i

 

     

  • Sistema de Amortização Tabela Price

 

Mesmo procedimento do sistema de amortização francês; porém a taxa é capitalizada.

 

Exercícios:

 

     

  1. Um financiamento de $6.375 deverá ser liquidado em duas prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira, 30 dias após a data do contrato, no valor de $2.880. Supondo-se que a taxa de juros cobrada nessa operação seja de 4% ao mês, pede-se determinar o valor da segunda prestação, bem como elaborar o quadro de amortização da dívida.
  2.  

     

  3. Admitindo-se que o financiamento acima referido seja liquidado em duas prestações mensais iguais e consecutivas, qual deverá ser o valor de cada prestação, se o vencimento da primeira ocorrer 30 dias após a assinatura do contrato?
  4.  

     

  5. Admitindo-se que o financiamento acima referido seja liquidado em duas prestações mensais iguais e consecutivas, qual deverá ser o valor de cada prestação, se o vencimento da primeira ocorrer no ato de assinatura do contrato?
  6.  

     

  7. Um financiamento de $35.000 é liquidado em quatro pagamentos trimestrais e consecutivos, os quais incluem parcelas de amortização crescentes em progressão aritmética de razão igual a $2.500, além de juros trimestrais de 10% sobre o saldo devedor. Elaborar o quadro de amortização da dívida, bem como o diagrama financeiro associado a essa operação.
  8.  

     

  9. Um financiamento de $60.000 deverá ser liquidado em doze prestações mensais e consecutivas, de acordo com o sistema de amortização constante. Supondo-se que essa operação esteja sujeita a juros de 2,5% ao mês, pede-se esquematizar o quadro de amortização da dívida.

 

 

OITAVA PARTE

MATEMÁTICA FINANCEIRA – FLUXO DE CAIXA

 

     

  • Valor Presente Líquido de um Fluxo de Caixa Descontado

 

É a soma algébrica dos valores das entradas e saídas de caixa descontadas a uma mesma taxa de juros compostos. Para se determinar o VALOR PRESENTE LÍQUIDO (NPV) de um determinado fluxo de caixa, leva-se à data focal todas as saídas e entradas descontadas a uma mesma taxa de juros compostos e soma-se os valores descapitalizados. Normalmente a data focal é a data zero.

 

Exemplo:

 

Toninho emprestou R$928.200,00 a um amigo a uma taxa mensal de 12%. Ficou combinado que o empréstimo seria pago em uma parcela de R$292.820,00 daqui 1 mês, R$292.820,00 daqui a 2 meses, de R$292.820,00 daqui 3 mês e R$292.820,00 daqui a 4 meses . Toninho ganhou ou perdeu na operação?

 

Resolução:

 

Construir o Fluxo de Caixa.

 

Cálculo do NPV

 

NPV = -928.200 + 292.820/1,12 + 292.820/1,122 + 292.820/1,123 + 292.820/1,124

NPV = -928.200 + 261.446 + 233.434 + 208.423 + 186.092

NPV = - 38.803

 

Resolução na HP12C:

 

928.200 CHS g CFo

292.820 g CFj

292.820 g CFj

292.820 g CFj

292.820 g CFj

12 i

f NPV

running

-38.803

 

Exercício:

 

Qual será o ganho se a taxa for de 8% ao mês?

 

     

  • Taxa Interna de Retorno

 

É a taxa de juros compostos para a qual o valor atual do fluxo de caixa é zero; isto é, descontando-se o fluxo de caixa à taxa interna de retorno, o valor atual líquido é nulo.

 

Existe uma taxa i para a qual o NPV = 0. Esta é a IRR.

 

 

Exemplo:

 

Qual a IRR para a operação de Toninho?

 

IRR=-928.200 + 292.820/(1 + i) + 292.820/(1 + i)2 + 292.820/(1 + i)3 + 292.820/(1 + i)4

 

Se a IRR gera um valor presente líquido igual a zero, então:

 

0 = -928.200 + 292.820/(1 + i) + 292.820/(1 + i)2 + 292.820/(1 + i)3 + 292.820/(1 + i)4

 

Vamos resolver matematicamente:

 

928.200 = 292.820 (1/(1 + i) + 1/(1 + i)2 + 1/(1 + i)3 + 1/(1 + i)4)

 

É uma Progressão Geométrica de razão igual a 1/(1 + i). O Somatório de uma PG com a razão descrita é:

 

Sn = 1 – [(1 + i)-n / i] como n = 4

 

(928.200 / 292.820) = 1 – [(1 + i)-4 / i]

 

anù i = 1 – [(1 + i)-n / i]

 

anù i = 3,169865446

 

a4ù i = 3,169865446

 

Procurar tabela para n = 4 e a4ù i = 3,169865446, encontraremos: i = 10%

 

Se não encontrássemos esse valor na tabela

 

Resolveremos por semelhança de triângulos

 

Pegaríamos os valores imediatamente inferior e superior. Por exemplo:

 

a4ù 9 = 3,239721

 

a4ù 11 = 3,102444

 

Construir gráfico onde:

 

Eixo x = taxa unitária

 

Eixo y = a4ù i

 

Três pontos para construir a curva. Visualizar os ângulos q 1 e q 2.

 

q 1 = q 2

 

tg q 1 = tg q 2

 

tg = co / ca

 

tg q 1 = (3,239721 – 3,169865) / (i – 0,09)

 

tg q 2 = (3,169865 – 3,102444) / (0,11 - i)

 

[0,069856 / (i – 0,09)] = [0,067421 / (0,11 – i)]

 

[0,069856 ´ (0,11 – i)] = [0,067421 ´ (i – 0,09)]

 

0,00768416 – 0,069856i = 0,067421i – 0,00606789

 

0,01375205 = 0,137277i

 

i = 0,01375205 / 0,137277

 

i = 0,100177379

 

i = 10,01773786%

 

Já pensou fazer todos estes cálculos a mão. Onde estará a tabela?

 

Resolveremos com a HP12C

 

928.200 CHS g CFo

292.820 g CFj

292.820 g CFj

292.820 g CFj

292.820 g CFj

f IRR

running

10,0000

 

Isto quer dizer que se Toninho emprestar a 10% não haverá ganho. Se a taxa que o mercado paga for superior a 10%, melhor será ele aplicar no mercado. Se a taxa que o mercado pagar for inferior a 10%, melhor será ele emprestar.

 

Exercícios:

 

     

  1. Mariano fez um investimento que teve a duração de 4 meses. Investimento R$8.000,00 e retorno de R$3.400,00 no primeiro ano, R$5.700,00 no segundo, não houve retorno no terceiro e R$6.300,00 no quarto ano. Qual o valor presente líquido se o fluxo for descontado a 25% e a 40%. Qual é a taxa interna de retorno da operação?
  2.  

     

     

  3. Carlitos participou de um projeto cujo fluxo de caixa é demonstrado abaixo. Qual o valor presente líquido a taxa de 22% e 25%? Qual é a taxa interna de retorno da operação? Qual seria a IRR, se o investimento inicial fosse R$960,00?
  4.  

    Data

    Retorno

       

    0

    -876,00

    1

    443,00

    2

    -230,00

    3

    520,00

    4

    520,00

    5

    520,00

     

     

  5. Um determinado projeto está sendo analisado. Sabe-se que a vida útil do mesmo é de 4 anos e o fluxo de caixa gerado esta abaixo demonstrado. Calcular: a) A IRR do projeto; b) Se a variação anual do dólar é de 11%, determinar se o projeto é viável e c) Para que a IRR fosse igual à taxa de mercado, o investimento inicial deveria ser de.....?

 

Data

Entradas

Saídas

Saldo Líquido

       

0

0,00

354,00

 

1

225,00

104,00

 

2

213,00

243,00

 

3

308,00

168,00

 

4

469,00

239,00

 

 

 

 

THE END

 

Wagner R. Rangel (0xx27) 9274-4670

 
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