稜線，寬稜 by 蘇文政

沿著稜線走是登山的主要方式之一, 沿著寬稜容易迷失是大家共同經驗. 所謂寬稜不一定指平坦的山脊, 坡度陡的支稜仍有寬窄之分. 在中級山視野受森林阻擋, 在寬稜不易看到山兩側谷的下陷地勢. 如果寬稜也下降, 就不易看出那裡是往谷偏, 那裡是沿稜走了. 更何況有的山(兩谷所夾的高地)並沒有稜(連寬稜也沒有). 什麼是寬稜?山一定有稜嗎? 請給稜下一個定義. **稜的定義第一種嚐試: 任一點在其沿等高線之鄰近有等高線曲率極大值者, 為稜上一點. ** (00) (註: 等高線形成封閉曲線將高地或窪地圍在內部, 取動點M沿等高線跑, M跑的方向(切射線方向)會隨著等高線改變. 若內部為高地, 取內部一點K於M鄰近, 從K到M所作成的向量之方向也在改變. 若這兩個 “方向改變” 是一致的(同為逆時針或同為順時針), 則該處曲率為正, 若不一致(一逆時針, 另一順時針)則曲率為負, 這樣定義之下, 等高線曲率極大值者為稜, 極小值者為谷.) 疑慮: 若在鄰近曲率保持相等(等高線為一段圓弧), 則沿等高線鄰近每一點都是稜上一點. 如果一個山就長的像一個圓錐,那麼這座山沒有稜線; 如果一塊坡面就如同一圓錐面的一部份, 那麼走在上面的任一點, 都無法看出任何稜的形狀, 或者說, 到處都像稜, 都誤以為走在稜線上. 一般登山時, 判斷自己走在稜線上的法則, 常是這樣的: "當我面對一個方向時, 我的左手邊地勢比我低, 我的右手邊也比我低. 那麼, 我走在稜線上, 我面對的方向就是稜線." (01) 很不幸, 這是錯的! "當我走在稜線上, 我的左邊, 右邊都比我低." (02) 這是對的, 其逆命題卻不成立. 以下是對這一點的努力說明. 甚麼是稜線? 若以登山者的立場來想: 它最好是一條線, 容易遵循. 一條比兩側高起的線; 我們可依據(01)的精神, 嘗試給稜線下個定義: **稜的定義第二種嚐試: "把山的地表看成圓滑的曲面, 取曲面上一點, 經此點有許多垂直於水平面的平面, 各與該曲面交於一各不同的, 但皆經該點的曲線; 若該點在其中一曲線上為鄰近最高點, 則該點為稜上一點." ** (03) 這個定義所定義的稜上一點, 可集合成一條線嗎? 實際上, 凸坡上每一點, 都符合以上的定義, 因此集合成整個坡面, 而非一條線. 何以見得? 首先須給凸坡定義: "一個坡面, 若經其每一點均可作一平面與該坡面相切於該點, 且整個坡面(切點除外)保持在平面的下方(與天空相反的一側), 則坡面為凸坡" (04) 以下證明 “凸坡上每一點, 都符合 (03) 稜上一點的定義”: **考慮凸坡S上任一點P及與坡面S切於P點之平面T, 令H為通過P的水平面, H與T交於水平直線L, 考慮包含L且垂直H的另一平面V; V與S必交於一曲線C, 則C與L必相切於P. (因C包含於S, L包含於T, S與T相切於P, 故C與L若有交點則至多是P一點; 而P屬於T與H, 故P屬於L; 因L包含於V, 故P屬於V; 又P屬於S, 故P屬於V與S之交集, 即C; 故P屬於L與C之交集; 而前面已知C與L至多交於一點, 故P確實是C與L唯一之交點; 又, C與L都包含於同一平面V, 故C與L相切於P.) 且C必在L的低海拔那一側(因S是凸坡, L包含於切面T). 因此P為C的最高點. 依(03)之定義P為稜上一點. 但P為凸坡上任一點, 可集合成整個坡面. ** 因此(03)並非稜線的恰當定義, (01)的法則錯了, 至此已很明白. 誤信這一法則, 常偏離稜線而不自知, 造成迷途.