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Zenon's Paradoxon |
Zenon von Elea, griechischer
Philosoph, lebte um 490-430 v. Chr. und wurde durch seine Paradoxien bekannt.
Der Wettkampf zwischen Achilles und Schildkr�te ist wahrscheinlich sein ber�hmtes
Paradoxon.
Held Achilles versucht die
Schildkr�te einholen, die allerdings einen Vorsprung vor ihm hat. Wenn er die
urspr�ngliche Distanz zur�cklegt, ist sie schon ein St�ck weiter gegangen. L�uft
er auch noch diese Strecke, ist sie wieder ein St�ckchen voran gegangen. Usw.
Zenon's Schlussfolgerung: Achilles wird nie die Schildkr�te einholen.
Die Mathematiker behaupten
Zenon's Paradoxon schon l�ngst zu l�sen. Mit einem L�cheln benutzen sie daf�r
beinah die Schulmathematik, sogenannte geometrische Reihe (Vsk - Geschwindigkeit der Schildkr�te, Va - Achilles
Geschwindigkeit, D - Vorsprung der Schildkr�te).
0.D0 = D
1.t1 = D0/Va; D1 = Vsk*t1 = D0(Vsk/Va)
2.t2 = D1/Va; D2 = Vsk*t2 = D0(Vsk/Va)^2
...............
Also, wir haben die
geometrische Reihe:
D0[1 +
(Vsk/Va)^1 + (Vsk/Va)^2 + ... + (Vsk/Va)^n + ...] = D0/(1-Vsk/Va), 0 < Vsk/Va < 1
Ist Vsk/Va = 1/2, holt Achilles die Schildkr�te im Punkte x = 2*D ein.
Aber d�rfen wir Zenon's
Paradoxon tats�chlich unter der Lupe gesunden Menschenverstandes betrachten?
Vielleicht verwirrte den Philosoph doch etwas anderes als nur die Mathematik.
Mit Hilfe eines imagin�ren
Computers lassen wir uns das Paradoxon programmieren:
...............................
for(i = 1; i < ...; i++){
t(i) = D(i-1) / Va;
D(i) = Vsk * t(i);
x(i) = x(i-1) + D(i);
}
...............................
Stellt man den Ablauf des
Programms in Kartesischen Koordinaten dar - Abszissenachse f�r x(i) und Ordinatenachse f�r i - bekommt man ungef�hr folgendes
Bild:
Angenommen, dass eine
einzelne Berechnung f�r ihre Ausf�hrung den gleichen Zeitabschnitt T braucht. Dann k�nnen wir die vertikale Ordinate wieder als Zeitordinate
T*i betrachten. So verl�uft die Computerzeit. F�r den Computer
wird der Wettlauf immer langsamer und langsamer passieren. Da die
Geschwindigkeiten der Sportler konstant sind, kann es nur um die scheinbare
Verlangsamung der Zeit handeln (so etwa wie die Zeitdilatation in der Relativit�tstheorie).
Das Problem von Zenon ist
es also, dass er sein Paradoxon als physikalisches Gedankenexperiment
darstellte allerdings dabei die Zeit misshandelte: Im Laufe werden die
Zeitabschnitte immer kleiner, trotzdem behandelte er sie, als wenn sie genauso
gross w�ren wie von Anfang an. Selbstverst�ndlich hatte er deshalb einfach
keine Zeit, um das Gedankenexperiment im Kopf bis zum Ende abzuspielen.
Zenon's Irrtum zeigt uns
aber, dass die konvergierte Reihe ihren Summenwert nie erreichen werden, wenn
ein ihrer Parameter die Zeit ist. Als Folge kann eine unendliche Reihe mit
Hilfe von einem Computer nie vollst�ndig berechnet werden, da der Computer in
physikalischer Realit�t arbeitet und f�r die L�sung solcher Aufgabe unendlich
viel Zeit ben�tigt.
Was aber die Mathematiker
machen, ist es, dass sie im Gedanken erst Million Schritten �berspringen, dann
Billion und schlie�lich die Unendlichkeit selbst, was eher zur idealistischen
Weltanschauung geh�ren d�rfte, als der solchen strengen Naturwissenschaft - der
Mathematik ;-).
Applet zum Thema
von Igor Yurev
