EL TEOREMA DEL BOCADILLO DE JAMÓN

Si amigos, si que existe por muy poco creíble que sea su nombre, y a continuación lo tenéis. Eso si, si no lo comprendes no es mi culpa. Se suele dar en 4º de carrera.

En Cristiano es más o menos...  Un bocadillo de jamón, por muy irregular que sea, hay un plano que lo corta en 2 partes iguales.

En Matemático...

TEOREMA:

Sean A, B y C subconjuntos acotados de R³. Existe entonces un plano de R³ que divide cada región exactamente en dos partes de igual volumen.

Demostración. Podemos suponer que A, B y C están contenidos en S, la esfera R³ de diámetro 1 y centro el origen de coordenadas. Para todo x e S, denotemos por Dx el diámetro de S que pasa por x. Si t e I, denotemos por Pt el plano que es perpendicular a Dx y pasa por el punto de Dx a una distancia de t y x. Así Pt divide a A en dos partes A1  y A2 con A1 más próxima a x que A2. Definimos aplicaciones f1, f2 por

                                                f1 (t) = volumen (A1)            f2 (t) = volumen (A2 )

Obviamente,  f1 y  f2 son aplicaciones continuas de I en R, f1 es monótona creciente y f2 es monótona decreciente. Así pues, la aplicación f: I --> R definida por f(t) = f1(t) - f2(t) es continua y monótona creciente. Además f(0) = -f(1), con lo que, en virtud del teorema de valor medio, existe un t e I  tal que f(t) = 0. Puesto que f es monótona creciente, se anula o bien en un único punto a o en un intervalo cerrado [a, b]. En el primer caso denotamos a este único punto a por a (x), mientras que en el segundo caso denotamos a (a + b)/2 por a (x). Así pues, Pa(x) divide a A en dos partes iguales. Obsérvese que a: S-->R es una aplicación continua que cumple a (x) = 1 - a(-x).

De manera analóga podemos definir aplicaciones continuas b, g : S-->R con b (x) = 1 - b(-x), g (x) = 1 - g(-x) y con la propiedad de que Pb(x), Pg(x) divide a B, C, respectivamente, exactamente por la mitad. Utilizando las aplicaciones a, b, g podemos ahora definir j : S-->R² por

                                                                j (x) = (a (x) - b (x), a (x) - g (x))

Puesto que a, b y g son continuas, también lo es j. Además j (-x) = - j (x), con lo que, existe un punto y e S tal que
j (y) = 0. Pero esto significa que  a (y) = b (y) = g (y), con lo que el plano Pa(y)  divide cada una de las regiones A, B, C exactamente en dos partes de iguales volumen.

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