Problema 1:

La altura h(t) del fluido del sistema hidráulico de la figura está caracterizada por la siguiente ecuación diferencial:
 

donde A es el área del fondo del tanque y K es una constante que depende de la viscosidad del fluido y de la apertura por la que sale. 

Figura de un sistema hidráulico:

Determinar la altura h(t) en el  t = t _final  como función del tiempo por el método de Runge-Kutta de cuarto orden empleado los siguientes valores:

h_o= 2 m   A = 1 m²  K = 0.1 seg^-1   t_o = 0 seg  t_final = 45 seg. h=0.5 seg.

Solución:   0.3288 m
 

Problema 2:

La ecuación diferencial que caracteriza el comportamiento de la corriente i(t) del circuito eléctrico ilustrado el la figura es:

donde A es un voltaje constante, R es la resistencia y L la inductancia. Obtener la solución numérica de la ecuación diferencial por el método de Runge-Kutta, utilizando los siguientes datos:

A=115 V   L=1H    R =10 ohms   w =38 rad/s   i_o=0 Amp  t_o=0 seg  t_final= 1 seg  h = 0.1

Solución: -0.2482 amp. 

Circuito Eléctrico:

Problema 3.

La temperatura inicial de una pieza metálica de masa de 0.1 kg es de 25 ºC. Dicha pieza se calienta internamente de forma eléctrica a razón de q = 3000 W. La ecuación de la temperatura es:
 
 

Calcule la temperatura hasta t = 2 Minutos utilizando el método de Runge-Kutta  con h =0.1 y h=1. 
Las constantes son las siguientes:

p= 300 kg/m³                          (Densidad del metal)
A = 0.25 m²                            ( área de la superficie del metal)
c = 900 J / kg K                       ( Calor específico del metal)
o =5.67 X 10-8 w/m²K⁴            ( constante de Stefan-Boltsmann)
e = 0.8                                     (Emisividad del metal)
v = 0.001 m³                           (Volumen del metal)
h_c= 30 J/m²K                           (coeficiente de transferencia de calor)
 
Problema 4.

Un liquido de baja viscosidad, como el agua, fluye de un tanque cónico invertido, por un orificio circular, a una razón de:
 

donde r es el radio del orificio, x es la altura del nivel del líquido desde el vértice del cono y A(x) es el área transversal del tanque x unidades arriba del orificio. Suponga que r = 0.1 pies, g = 32 pies/seg^2, que el tanque tiene un nivel inicial de agua de 8 pies y un volumen inicial de 512 pi/3 pies cúbicos.

1. Calcule A(x).
2. Calcule el nivel de agua después de 10 segundos usando el método de runge-kutta de cuarto orden con h = 0.1

Problema 5.
Dos moléculas de dicromato de potacio sólido, dos moléculas de agua y tres moléculas de azufre sólido se combinan mediante una reacción química irreversible para dar tres moléculas de dióxido de azufre gaseoso, cuatro moléculas de hidróxido de potacio sólido y dos moléculas de óxido crómico sólido. La reacción puede representar simbólicamente mediante la ecuación estequimétrica:

2 K₂Cr₂O₇  +  2H₂O + 3S ---------->  4KOH + 2Cr₂ O₃ + 3SO₂

Si se tiene n1 moléculas de K₂Cr₂O₇ , n₂ moléculas de H₂O y n₃ moléculas de S, presentes originalmente, la ecuación diferencial siguiente describe la cantidad x(t) de KOH en el tiempo t

donde k es la constante de la velocidad de la reacción. Si k = 6.22 x 10-19, n₁=n₂=1000, y n₃=1500, ¿ Cuántas unidades de hidróxido de potasio se formarán después de dos segundos? Use el método de Runge-Kutta de cuarto orden con h=0.1.