El fundamento de este método para la solución de sistemas de ecuaciones no lineales se basa en la serie de Taylor en función del número de variables que aperecen el las ecuaciones.

Para el caso de dos funciones con dos variables independientes la solución se basa en la aproximación funcional que la serie de Taylor hace para un polinomio lineal.

Por ejemplo para dos funciones (X,Y) se hace una aproximación a la serie de taylor truncando después del término de primer grado. Se dice que ésta función lineal de la serie es lo suficientemente exacta cuando la tendencia de las variables nos lleva muy cerca de la solución en pocas iteraciones, 
obteniendose valores muy exactos de las raices, de tal forma, que al sustituir los valores calculados de X y Y esten lo suficientemente cerca del valor real.
 

Algoritmo:

1. Encuentre las derivadas parciales de las funciones F(X,Y) =0 y G(X,Y)=0
2. Seleccione valores Iniciales para Xo,Yo
3. Calcule el diferencial de corrección para los valores de Xn, Yn. 
   Construyendo y resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones:

    ¦ Fx(Xn, Yn)    Fy(Xn,Yn)¦ ¦ dx ¦ = -F(Xn, Yn)
    ¦ Gx(Xn, Yn)   Gy(Xn, Yn)¦ ¦ dy ¦ = -G(Xn, Yn)

4. Calcular los nuevos valores para la Xn+1 y para Yn+1
    
    Xn+1 = Xn + dx   Yn+1 = Yn + dy

5. Evalua la apriximación relativa para cada nuevo valor y hasta que todas 
   las variables cumplan con la tolerancia al error deseada se ha encontrado 
   la solución al sistema.
 

Ejemplo:

Encuentre la intersección en el primer cuadrante de un circulo y la elipse que
a continuación se describen:
     Círculo:  X^2+ Y^2 = 4     Elipse: (X^2)/9 + Y^2 = 1

Solución:   tercera iteración  Xn=1.8374  Yn=0.79055