ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES
CON COEFICIENTES CONSTANTES

por Marcelo Valdéz, Feb-2003

ECUACIÓN DIFERENCIAL: Hay una FUNCIÓN conocida que actúa como entrada o excitación a un sistema, y una función desconocida, que hay que calcular, que es la salida o solución del sistema.

El sistema está representado por la forma en que la función entrada y la función solución están relacionadas a través de la ecuación, que incluye derivadas de cualquier orden, coeficientes, etc.

Para escribir en forma general, a la entrada se la suele indicar como x(t).

A la salida o solución de la ecuación diferencial, se la escribe como y(t).

ORDINARIAS: cuando son Totales, es decir, hay una sola variable independiente. Es una igualdad donde aparecen las variables dependientes, la independiente y derivadas de cualquier orden de las variables dependientes con respecto a la variable independiente.

En una ecuación diferencial ordinaria pueden aparecer varias funciones (variables dependientes), pero todas ellas son función de la misma variable (independiente):

Aquí v(t) y f(t) son variables dependientes de la misma variable t (independiente)

La función f(t) puede considerarse como la entrada (debe ser una función conocida) y v(t) será la salida, o solución de la ecuación diferencial.

LINEALES: cuando los términos de la ecuación diferencial son de primer grado con respecto a las variables dependientes y sus derivadas. O sea que no pueden aparecer multiplicadas la función y sus derivadas, ni elevadas al cuadrado, ni como argumento de otras funciones no lineales.

Por supuesto, las funciones entrada y/o salida sí pueden ser funciones no lineales de la variable independiente t. Por ejemplo, dy(t)/dt = t^2*sen(t) es una ecuación diferencial LINEAL, ya que puede considerarse a t^2*sen(t) = x(t).

En cambio, la ecuación: y(t)*dy(t)/dt = 2t no es lineal, ya que el primer miembro es de segundo grado para la variable dependiente y(t) y sus derivadas. Aquí, x(t) = 2t es función lineal de t, pero eso nada tiene que ver con la definición de linealidad de la ecuación diferencial.

FORMA GENERAL DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA LINEAL INVARIANTE EN EL TIEMPO

donde D=d/dt

Aquí la función x(t) es la entrada conocida, e y(t) es la función desconocida o solución, que hay que averiguar mediante la solución de esta ecuación diferencial.

EJEMPLO: Si el sistema es un cuerpo con masa, y deseo averiguar cómo responderá (posición en función del tiempo) al aplicar una excitación (fuerza en función del tiempo), necesito conocer previamente:

• El sistema "cuerpo libre con masa" a través de la ley física que relaciona excitación con respuesta -o sea, la Segunda Ley de Newton: f(t) = m.a(t), es decir, la forma que tiene la ecuación diferencial.

• La función excitación que voy a aplicar (fuerza), por ejemplo f(t) = k*t^3.

Comparar esta ecuación con la forma general. Puede verse claramente que tiene la forma

Donde a1=m y b0=1

SOLUCION DE ESTE TIPO DE ECUACIONES

Hay que dividir la función "respuesta" en dos "respuestas parciales": la respuesta libre y la respuesta forzada.

RESPUESTA LIBRE

La respuesta libre, es la que resultaría si al sistema se lo "suelta" en la posición en que se encuentra inicialmente, y no se aplica ninguna excitación externa.

Hay que conocer las condiciones iniciales para averiguar como responderá al soltarlo.

"Conocer" las condiciones iniciales, es como saber "cuánto está valiendo la respuesta del sistema al momento de soltarlo". Es decir, conocemos la respuesta para t=0, pero no conocemos la "función respuesta" para cualquier otro tiempo futuro.

Por ejemplo, si era una masa que estaba siendo (o estaba por ser) acelerada por una fuerza, se anula la fuerza y se observa como se comporta a partir de su posición y velocidad iniciales. Es conocido que el comportamiento será mantener su velocidad y aumentar su posición linealmente con el tiempo. Esta será la respuesta libre.

Si era un capacitor que estaba por ser cargado a través de una resistencia por una batería, para obtener la respuesta libre habrá que quitar la batería (cerrando el circuito). Entonces la respuesta libre será la descarga exponencial del capacitor a través de la resistencia a partir de la carga inicial hasta cero.

Para encontrar la respuesta libre, hay que resolver la ecuación característica:

Se obtienen así las soluciones D1, D2... Dn.

La respuesta libre tendrá la forma:

"Conocer" las condiciones iniciales al momento de "soltar" el sistema, significa saber cuánto vale la posición y(t) en el momento de soltarlo (t=0), es decir, y(0), como así también cuánto valen la velocidad y'(0), aceleración y''(0), derivada tercera, cuarta... hasta la derivada n-1, siempre en el momento de soltar el sistema.

Obviamente esta NO es la solución que buscamos, ya que nos obliga a quitar la excitación. Por lo tanto, si reemplazamos esta solución en la ecuación original (con excitación), no verificará, excepto para el momento t=0.

Cada conjunto "respuesta libre - condiciones iniciales", en cierto modo "caracteriza" al sistema, tal como lo haría su ecuación diferencial homogénea.

Dado un conjunto "respuesta libre - condiciones iniciales", se podría sintetizar o adivinar de qué sistema se trata, es decir, componer su ecuación diferencial homogénea.

EJEMPLO: Sea el caso del cuerpo con masa al que se le aplica una fuerza f(t) como excitación. Para calcular la respuesta libre, se quita la fuerza, y se obtiene:

cuya ecuación característica es mD^2=0, de donde se obtienen las dos raices reales iguales D1=0 y D2=0.

La respuesta libre toma entonces la forma:

es decir:

Suponiendo que cuando "soltamos" la masa, esta se hallaba posicionada a

y tenía una velocidad (inicial) de

entonces, reemplazando la primera condición en la respuesta libre, queda:

De donde se deduce que c1=x0.

Reemplazando la segunda condición en la respuesta libre, resulta:

De donde se deduce que c2=v0

Insertando estos valores, la respuesta libre resulta ser:

Que corresponde a la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme, como se esperaba de una masa a la que se le ha quitado toda excitación (fuerza aplicada) externa.

Se puede pensar en la respuesta libre como la solución debida exclusivamente a las condiciones iniciales, sin tener en cuenta la excitación, o para una excitación f1(t)=0

Resta ahora encontrar la respuesta forzada, que sería aquella debida exclusivamente a la excitación, sin tener en cuenta las condiciones iniciales, es decir, igualando todas ellas a cero.

RESPUESTA FORZADA

La respuesta forzada es una de las posibles soluciones de la ecuación original: aquella para la cual todas las condiciones iniciales son nulas. En sí misma es una solución, pero no es es conjunto fundamental COMPLETO, ya que siempre hay que agregar el conjunto de soluciones para una excitación x(t)=0, que no es el conjunto vacío (respuesta libre).

Recordar el teorema de superposición para los sistemas lineales, que dice que si un sistema responde con y1(t) ante una excitación x1(t), y responde con y2(t) ante una excitación x2(t), entonces, si se lo excita con c1.x1(t)+c2.x2(t), entonces el sistema responderá con c1.y1(t)+c2.y2(t).

Entonces lo que se hace es buscar la respuesta para x1(t)=0, a la que llamamos <y_L(t)>. Luego buscar una solución particular cualquiera (como ser, aquella para la que todas las cc.ii. son nulas, que es más fácil de calcular) aplicando la excitación especificada x2(t)=f(t), a la que llamamos y_F(t), y luego seleccionar de ese conjunto fundamental <y_L(t)>+y_F(t), aquella solución que cumple con las condiciones iniciales especificadas.

Para encontrar esta solución particular llamada respuesta forzada, se utiliza la integral de convolución:

donde w(t) es la función de peso de la ecuación diferencial, y es igual a la respuesta libre pero con las siguientes condiciones iniciales:

Esto hará que luego de efectuar la integral, resulte:

X(t) es el polinomio de excitación:

X(t) = a₀.x(t)+a₁.x'(t)+...+a_m.x^m(t)

EJEMPLO: Para el caso de la masa, la función de peso será: w(t)=c₁+c₂.t con c₁ y c₂ tales que w(0)=0 y w'(0)=1, entonces c₁=0 y c₂=1, con lo que resulta para este ejemplo:

w(t)=t

La integral de convolución queda entonces como:

donde t debe considerarse como una constante cualquiera. Resolviendo, resulta:

[para T entre 0 y t]

y resolviendo para T, obtenemos la respuesta forzada como:

Que unida a la respuesta libre antes calculada, nos da la respuesta total como:

<SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN>

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