Estadística

1.     Probabilidades

1.1  Objetivos de la estadística

La estadística es una ciencia que tiene por objeto:

A)    diseñar las investigaciones con el objeto de extraer el máximo de información de los datos numéricos disponibles.

B)     Recoger, clasificar, resumir y analizar esos datos para obtener conclusiones científicas a partir de ellos.

C)    Determinar el grado de confiabilidad de esas conclusiones.

Para tratar estadísticamente un fenómeno científico debemos primero construir un modelo matemático adecuado, que se utilizará para explicar ese fenómeno de la mejor manera posible.

1.2  Modelos determinísticos y aleatorios

En las ciencias experimentales el hombre busca modelos matemáticos adecuados que le permiten simplificar y esquematizar los fenómenos observados y luego sacar conclusiones. Veamos un ejemplo: para un gas ideal, el modelo adecuado es P.V = n.R.T. Cualquier otro modelo que ensayemos no estará de acuerdo con los resultados experimentales. Esto quiere decir que n₀ moles de un gas a una temperatura T_0, que ocupan un volumen V₀ y si P₀ es su presión medida experimentalmente, esta será igual a n₀R T₀/V₀ y no a otro valor. Los modelos como éste en que, fijadas la condiciones de la experiencia, hacen posible predecir el resultado sin necesidad de realizarla se denominan determinísticos.

Se denomina entonces modelo determinístico a aquel que permite determinar el resultado de un experimento cuando se conocen las condiciones en que se lo realiza.

Existen infinidad de fenómenos físicos, químicos o biológicos par los cuáles los científicos han hallado modelos determinísticos adecuados, pero lamentablemente hay otros fenómenos a los que, por su naturaleza, no se les puede adaptar un modelo determinístico. Por ejemplo, si el experimento consiste en arrojar un dado y el resultado es el número que sale, evidentemente no podemos hallar ningún modelo matemático para predecir cual será el resultado.

¿Cuál es entonces la diferencia entre el experimento del gas y el del dado por la cual para uno podemos hallar un modelo determinístico y para el otro no?

Supongamos que repetimos muchas veces la experiencia. En el caso del gas ideal si mantenemos las mismas condiciones iniciales de presión, temperatura y cantidad de gas y repetimos la medición de presión, obtendremos siempre el mismo valor, salvo pequeñas variaciones experimentales. Pero en el caso del dado, aunque mantengamos constantes las condiciones de la experiencia, los resultados no serán iguales. Sin embargo, en la experiencia del dado, si bien no podemos predecir el resultado, sabemos que será un número del 1 al 6. Si además repetimos un gran número de veces la experiencia de tirar el dado, podríamos observar que el número de veces que aparece cada resultado será igual a 1/6 del total de tiradas.

En general un fenómeno o experimento aleatorio se caracteriza por:

A)    Es posible repetirlo indefinidamente bajo las mismas condiciones.

B)     El resultado de una repetición no se puede predecir pero se conoce el conjunto de todos los posibles resultados.

C)    Si se lo repite una gran número de veces, cada uno de los resultados aparece en una proporción definida, es decir que hay cierta regularidad en los resultados.

Cuando queremos un modelo que nos permita la interpretación esquemática y simplificada de un fenómeno aleatorio necesitamos dar un modelo aleatorio o no determinístico. Esto nos permite dar una descripción del comportamiento probabilistico de los distintos resultados observables.

Así como para enunciar un modelo determinístico nos bastaba con una fórmula, para poder dar un modelo aleatorio necesitamos conocer nuevos conceptos estadísticos.

1.3  Espacio de resultados

Una característica de los fenómenos aleatorios es que se conoce el conjunto de todos los resultados posibles, aunque no se puede predecir cada resultado particular.

Llamaremos espacio muestral o espacio de resultados asociado a un experimento aleatorio al conjunto formado por todos los posibles resultados del mismo. A este conjunto lo designamos con la letra S.

En el experimento de tirar el dado será:

S= {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Vemos que en este caso el espacio de resultados es un subconjunto de los números naturales (N).

Tomando como ejemplo otro experimento: Contar la cantidad de glóbulos rojos contenidos en un ml. de sangre.

S₂= {1; 2; 3; 4; ……..}= N (conjunto de números naturales)

Otro ejemplo: en una línea de envasado de medicamentos se toma un envase y se pesa para su control.

S₃= {}

Si se sabe que aunque se llenase completamente el envase su contenido no superaría los 80 g. , podríamos asignar como espacio de resultados:

       {}

Como se puede observar, a un experimento se le puede asignar más de un espacio de resultados, usualmente se toma el más grande, en éste ejemplo es S₃.

Nótese que el espacio de resultados puede ser un conjunto finito como S₁, infinito numerable, S₂, o infinito no numerable, S₃.

1.4  Sucesos

Si arrojamos un dado, “que salga un número par” es un suceso. En éste caso es {2; 4; 6}. No tiene sentido poner el número 8 como elemento de éste conjunto, pues aunque es par, nunca puede obtenerse arrojando un dado. Luego observamos que siempre debe estar contenido en el espacio de resultados S.

Dado un experimento aleatorio llamamos suceso a un subconjunto del espacio de resultados.

Por analogía con la notación de los conjuntos, se indica a los sucesos con letras mayúsculas de imprenta.

Si el experimento consiste en arrojar un dado son sucesos:

A= { 2; 4; 6 }

B= { 2 }

C= { 5; 6 }

D= {1; 3 }

E= { 1; 2; 3; 4; 5; 6 }

El suceso A ocurre si sale un número par.

El suceso B ocurre si sale el número 2.

El suceso C ocurre si sale un número ≥ 5.

El suceso D ocurre si sale el número 1 o el número 3.

El suceso E ocurre si sale algún número entero del 1 al 6, es decir que ocurre siempre.

Se van a dar a continuación una serie de definiciones para algunos sucesos particulares y relaciones entre ellos.

Llamamos suceso cierto al suceso que ocurre siempre.

En nuestro ejemplo E = S es el suceso cierto. Resulta que el espacio de resultados S es un suceso que llamamos suceso cierto.

Llamaremos suceso imposible a aquel que nunca puede ocurrir.

Si consideramos el suceso: “que salga el número 20”, evidentemente nunca puede ocurrir.

Al suceso que tiene un solo resultado posible se lo llama suceso elemental.

En el ejemplo dado, B es un suceso elemental.

Dados dos sucesos A y B, decimos que el suceso A está contenido en el suceso B, si y sólo si toda vez que ocurre A también ocurre B. Se indica .

En nuestro ejemplo  pues toda vez que ocurre B quiere decir que sale el número 2 y en consecuencia ocurre A porque 2 es par.

Dado un suceso A llamamos suceso complementario de A al suceso que ocurre si y sólo si no ocurre A. Lo indicamos A’.

En el ejemplo, A’ es el suceso que ocurre si no sale un número par, es decir si sale un número impar. Luego:

                                    A’ = { 1; 3; 5 }

Análogamente:

                                    B’ = { 1; 3; 4; 5; 6 }

                                    C’ = { 1; 2; 3; 4}

                                    E’ =  S’ =  o (conjunto vacío)

La última igualdad indica una propiedad general: el complementario del suceso cierto es el suceso imposible y viceversa, es decir:

             S’= o                          ;                     o’= S

Se va a definir a continuación dos operaciones básicas, la unión y la intersección.

Dados dos sucesos A y B se llama suceso unión al que ocurre si y sólo si ocurre A o B. Lo indicamos .

Son válidas las siguientes propiedades generales:

                                 o =A

Dados los sucesos A y B se llama suceso intersección al suceso que ocurre si y sólo si ocurren simultáneamente A y B. Lo indicamos .

Valen las siguientes propiedades generales:

                                   o

                                  o = o

Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes si y sólo si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, A y b son mutuamente excluyentes si y sólo si o.

Para cualquier suceso A se cumple que A y A’ son mutuamente excluyentes.

1.5  Frecuencia relativa

Si consideramos un determinado suceso A y repetimos el experimento n-veces, podemos contar de esas veces ocurrió el suceso A.

Se llama frecuencia del suceso A y se indica f(A) al número de veces que ocurre A.

Se llama frecuencia relativa del suceso A al cociente f(A)/n, siendo n el número de veces que se repite el experimento. Se indica f_r(A)=f(A)/n.

Propiedades de la frecuencia relativa:

1)      0 ≤ fr(A) ≤ 1 cualquiera sea el suceso A. Esto se cumple porque  0 ≤ f(A) ≤ n y dividiendo por n resulta: 0 ≤ fr(A)/n ≤ 1, es decir 0 ≤ fr(A) ≤ 1.

2)      Fr(S)= 1. Esto vale porque f(S)= n, luego fr(S)= n/n= 1.

3)      Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes es: fr()= fr(A) + fr(B).

4)      Si A y B no son mutuamente excluyentes, fr()= fr(A) + fr(B) – fr(). Esta fórmula de cálculo es general y se aplica al caso de que A y B sean mutuamente excluyentes.

Observamos que la frecuencia relativa de un suceso no tiene un valor único sino que depende del número n de repeticiones.  Pero a medida que aumenta n las frecuencias relativas difieren poco entre sí. Es decir que a medida que aumenta el número de repeticiones del experimento las frecuencias relativas se aproximan a un valor determinado. En éste ejemplo es 1/6. A ésta propiedad se la llama estabilidad de la frecuencia relativa.

1.6  Probabilidad

A cualquier suceso A se le debe asignar un número que sea una “medida” de su posibilidad de ocurrencia y que lo llamamos probabilidad de que ocurra el suceso A, o simplemente probabilidad de A, y lo indicamos P(A).

Vimos que cuando un experimento se repite indefinidamente las frecuencias relativas de un suceso A se acercan a un número. A ese número lo llamamos probabilidad del suceso A, P(A). Esto quiere decir que la probabilidad de un suceso indica con que frecuencia se producirá el suceso en un gran número de repeticiones del experimento aleatorio.

Puesto que la probabilidad de A es el número al que tienden las frecuencias relativas de A, es lógico que la probabilidad cumpla las mismas propiedades que la frecuencia relativa. Luego podemos decir que la probabilidad cumple con las siguientes propiedades:

1) 0≤ P(A) ≤ 1     Cualquiera sea el suceso A.

2) P(S)= 1

3) Si A y B son mutuamente excluyentes

4) Si A y B no son mutuamente excluyentes

Esta definición de probabilidad es bastante intuitiva y presenta el problema que para determinarla debemos realizar el experimento un gran número de veces hasta que se estabilicen las frecuencias relativas en un valor. Como esto es prácticamente imposible de realizar se buscó una definición que no necesite de la experimentación.

Definición axiomática de probabilidad:

Sea S el espacio de resultados de un experimento, A cada suceso A se le asigna un número real llamado probabilidad del suceso A e indicado P(A), que cumple con las siguientes propiedades:

1)      0≤ P(A) ≤ 1    

2)      P(S)= 1

3)      Si A y B son mutuamente excluyentes

4)      Si A₁,…….,A_n son sucesos mutuamente excluyentes de a pares, entonces

Esta definición nos dice como se calcula la probabilidad de un suceso, sino que nos da sus propiedades básicas llamadas axiomas. A partir de éstas se deben obtener todas las demás propiedades necesarias par el calculo de probabilidades.

Propiedad 1.1 : P(o)= 0

Propiedad 1.2 : P(A’)= 1 – P(A)

Propiedad 1.3 : Si

Propiedad 1.4 : Si A y B son dos sucesos cualesquiera:

Propiedad 1.5 : En un experimento aleatorio con un número finito de resultados posibles y dónde éstos resultados son igualmente probables, la probabilidad de un suceso A se puede calcular según:

P(A)= número de resultados favorables a A

               número de resultados posibles

Luego  P(A)= k/n= número de elementos de A

                                                  número de elementos de S

                  Antiguamente ésta fórmula de cálculo se daba como definición de probabilidad,

                  pero hay que tener cuidado porque debe aplicarse sólo a experimentos en los que se sepa de antemano que todos los posibles resultados tienen igual probabilidad de ocurrencia.

1.7  Probabilidad condicional

A veces, la probabilidad de que ocurra un suceso depende de la ocurrencia o no de otro suceso. Por ejemplo, se tiene una bolsa que contiene 10 pelotas. 4 son negras con puntos rojos, 2 son negras con puntos verdes, 2 son blancas con puntos verdes y 2 son blancas con puntos rojos. Si el experimento es sacar una pelota al azar de la bolsa se tiene:

S= { negra con puntos verdes, negra con puntos rojos, blanca con puntos verdes, blanca con puntos rojos}

A= {blanca}

B= {negra}

C= {con puntos verdes}

D= {con puntos rojos}

Siendo S el espacio de resultados y A, B, C, y D sucesos que pueden ocurrir entre otros.

Se pide hallar la probabilidad de que:

a)      Salga una pelota blanca

b)      Salga una pelota con puntos rojos si la pelota que salió es blanca.

a)      P(A) = 4/10 = 2/5

b)      Acá no es tan sencillo: sabemos que en total hay 4 pelotas blancas y de ellas 2 tienen puntos rojos, por lo tanto, la probabilidad de éste suceso es 2/4 o sea ½.

A ésta probabilidad que está condicionada a la ocurrencia de otro suceso se la llama probabilidad condicional del suceso A dado que ocurrió el suceso B y la anotamos P(A/B).

P(A/B)= 2/4= ½

Otra manera de expresar la misma probabilidad es P(A/B)= 2/10 / 4/10 =

Si B es un suceso tal que P(B) > 0, se llama probabilidad condicional del suceso A dado B a:

De esto se desprende la regla de la multiplicación:

1.8  Sucesos independientes

Se dice que dos sucesos son independientes si la ocurrencia de un suceso es independiente de la ocurrencia del otro. Por ejemplo, si tenemos una jaula con 5 ratones blancos y 5 ratones negros, y nuestro experimento consiste en sacar un ratón para ver de que color es, sacamos el primer ratón, y luego sacamos otro sin reponer el primero, la probabilidad de que el primer ratón sea blanco o negro depende del resultado del primer intento, es decir que si el primer ratón es negro, en el segundo intento la probabilidad de que el segundo ratón sea negro es menor que la probabilidad de que sea blanco, por lo tanto éstos dos sucesos no son independientes, porque el resultado de el segundo de alguna manera depende del primero. Pero si repetimos el experimento reponiendo al ratón en la jaula luego de sacar el primero, ahora los sucesos que pueden ocurrir son independientes entre sí, dado que el resultado del primer experimento no interfiere en el resultado del segundo.

Dos sucesos A y B son independientes si y sólo si

Autor: Gustavo Carlos Di Iorio

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