CUARTA PARTE
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ACERTIJOS DE
GEOMETRIA PLANA
Acertijos de geometría plana
Si quisiééramos ser muy técnicos yy estar actualizados, podríamos hablar de la geometría citando esta definición: "El estudio de las propiedades invariantes de elementos dados sometidos a grupos de transformaciones específicas". Para comprenderla, tendrías que saber qué significa cada una de las palabras, y algunas de ellas no son fáciles de explicar. Así que utilizaremos un enfoque menos técnico y diremos simplemente que la geometría estudia las dimensiones y las formas de las cosas.
La geomettría plana es la rama máss elemental de la geometría. Se ocupa de las propiedades matemáticas de las figuras planas tales como líneas, ángulos, triángulos, cuadrados y círculos, que pueden dibujarse en una hoja de papel con la ayuda de un regla y un compás. Se inició en el antiguo Egipto, pero fueron los griegos los que primero la convirtieron en una ciencia. Los griegos estaban interesados en la geometría plana no sólo porque fuera útil para la carpintería y la arquitectura, sino también a causa de su gran belleza. Los griegos creían que ningún hombre podía creerse verdaderamente educado si no entendía algo de geometría.
Los cuatrro problemas que siguen nno requieren ningún conocimiento especial de geometría plana, pero pondrán a prueba tu habilidad con respecto a la clase de pensamiento gráfico que tan útil resulta para resolver problemas geométricos.
Muchas veces un problema geométrico es terriblemente difícil si se lo enfoca de manera equivocada. Se lo enfoca de otra manera y resulta absurdamente simple. Este problema es un caso clásico.
Dadas las dimensiones (en centímetros) que muestra la ilustración, ¿con qué rapidez puedes calcular la longitud de la diagonal del rectángulo que va de la esquina A a la esquina B?
SOLUCIÓN
Dibuja la otra diagonal del rectángulo e inmediatamente verás que es el radio del círculo. Las diagonales de un rectángulo son siempre iguales, por lo tanto, la diagonal que va de la esquina A a la B es igual al radio del círculo, ¡que mide 10 centímetros!
¿Cuántos cuadrados distintos puedees contar en el dibujo del joven hindú con turbante?
Cuántos ttriángulos distintos pueddes contar en el dibujo del gato?
Observa aatentamente. ¡Los problemmas no son tan fáciles como podría parecer!
SOLUCIÓN<
A1 resolvver problemas de este tippo siempre es mejor contar las figuras de algún modo sistemático. En el dibujo del joven hindú, tomemos los cuadrados por orden de tamaño:
Los triánngulos del gato pueden coontarse así:
Con un soolo corte recto puedes diividir un pastel en dos partes. Un segundo corte que atraviese el primero producirá probablemente cuatro partes, y un tercer corte (ver la ilustración) puede llegar a producir siete partes.
¿Cuál es el mayor número de partess que puedes lograr con seis cortes rectos?
SOLUCIÓN<
En vez de resolver este problema ppor medio del ensayo y el error, una manera mejor es descubrir la regla que nos dará el mayor número de partes que pueden obtenerse con cualquier número de cortes.
El pastel sin cortar es una sola parte, de modo que cuando se hace el corte nº 1 se suma una parte más, lo que da dos partes en total.
El corte nº 2 suma dos partes más,, totalizando 4.
El corte nº 3 suma tres partes máss, totalizando 7.
Parece quue cada corte suma un númmero de partes que es igual al número del corte. Esto es cierto, y no resulta difícil observar por qué. Considérese, por ejemplo, el tercer corte. Atraviesa dos líneas previas. Esas dos líneas dividen a la tercera en tres secciones. Cada una de esas tres secciones divide un pedazo de pastel en dos partes, de modo qué cada sección agregará un pedazo extra, y las tres secciones, naturalmente, agregarán tres pedazos.
Lo mismo ocurre en el caso de la ccuarta línea. Puede marcarse de manera que cruce las otras tres líneas. Esas tres líneas dividirán a la cuarta en cuatro secciones. Cada sección agrega un pedazo extra, de modo que las cuatro secciones agregarán cuatro pedazos más. y lo mismo ocurre en el caso de la quinta línea, de la sexta y de todas las que deseemos agregar. Este tipo de razonamiento, que va desde el caso particular hasta un número infinito de casos, se conoce como inducción matemática.
Si se tiene en cuenta esta regla, resulta fácil hacer una tabla que muestre el mayor número de partes que producirá cada corte:
¿Cuántas partes pueden hacerse con siete cortes? Sólo tenemos que sumar 7 a 22 para saber que la respuesta es 29. La ilustración muestra cómo puede lograrse que seis cortes produzcan 22 partes, que es la respuesta del problema original.
Paul Curry, un mago aficionado de la ciudad de Nueva York, fue el primero que descubrió que un cuadrado puede cortarse en unas pocas partes, y que estas partes pueden reacomodarse y formar un cuadrado de la misma medida, ¡pero con un agujero!
Hay muchas versiones de la paradoja de Curry, pero la ilustrada en las figuras 1 y 2 es la más simple de todas. Pega una hoja de papel sobre un pedazo de cartón. Dibuja el cuadrado que muestra la figura 1, después corta siguiendo las líneas para formar cinco partes. Cuando reacomodas esas cinco partes de la manera que se ve en la figura 2... ¡aparecerá un agujero en el centro del cuadrado!
El cuadrado de la figura 1 está compuesto
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SOLUCIÓN<
A1 cambiaar de lugar las dos partees más grandes, cada uno de los cuadrados pequeños cortados por la línea diagonal se torna un poquito más alto que ancho. Esto significa que el cuadrado mayor ya no es un cuadrado perfecto. Su altura ha aumentado en un área exactamente igual al área del agujero.
