NOVENA PARTE
ACERTIJOS
MISCEILÁNEOS
Acertijos misceláneos.
Hay tantas ramas diferentes de la matemática que, si incluimos un problema extraído de cada una de ellas, este libro sería cincuenta veces más extenso de lo que es. Los cinco acertijos siguientes no corresponden muy bien a ninguna de las secciones previas, pero se incluyen aquí porque son especialmente interesantes y porque introducen importantes ideas matemáticas.
El primer acertijo involucra una rama de la geometría llamada geometría combinatoria. Demuestra cómo hacer una suerte de acertijo de encastre que ha despertado el interés de muchos matemáticos de primer nivel. El segundo y el quinto acertijos involucran la lógica. Desde la época de Aristóteles hasta hace un siglo, la lógica era considerada parte de la filosofía; ahora se la considera el estudio de las leyes más fundamentales de la matemática. El tercer acertijo señala una divertida trampa del campo de la matemática llamado estadística
El cuarto acertijo demuestra de qué modo el razonamiento matemático puede incrementar con frecuencia la eficiencia del trabajo, incluso del trabajo de una persona que está tomando el desayuno. Actualmente, la aplicación de la matemática a la industria y a la estrategia bélica, para lograr que sean más eficientes, es conocida con el nombre de investigación operativa. Es uno de los campos de la matemática que se desarrolla con mayor rapidez.
Dibuja las cinco formas que muestra la figura 1 sobre un papel rígido o sobre cartón, y recórtalas. ¿Puedes acomodarlas como para formar el rectángulo de 4 x 5 que aparece en la figura 2? Las piezas pueden rotarse y ponerse con cualquier lado hacia arriba.
Esas cinco formas se llaman tetrominós. Un dominó se forma juntando dos cuadrados pequeños. Los tetrominós se forman con la unión de cuatro cuadrados pequeños. Las formas constituidas por tres cuadrados se llaman triminós, y las que están constituidas por cinco cuadrados se llaman pentominós.
El nombre general de esas formas es poliominós. Hay cientos de acertijos interesantes que se basan en ellas.
SOLUCIÓN
No hay manera de resolver este acertijo. Tal vez te convenciste de ello después de haber intentado mucho tiempo formar el rectángulo, pero sin ningún éxito. Sin embargo, un matemático jamás se contenta con la simple sospecha de que algo es imposible. Quiere probarlo. En este caso, hay un medio sorprendentemente simple de hacerlo.
Primero colorea los pequeños cuadrados del rectángulo de modo que parezca un tablero de ajedrez (figura 3). Si intentas situar los tetrominós A, B, C, y D sobre este tablero, verás que, los sitúes cómo los sitúes, cada uno debe cubrir dos cuadrados negros y dos blancos. Los cuatro en conjunto, entonces, deben cubrir un área total de ocho cuadrados blancos y ocho cuadrados negros.
Esto no ocurre, sin embargo, en el caso del tetrominó E. Siempre cubre tres cuadrados de un color y un cuadrado del otro color.
El rectángulo tiene diez cuadrados blancos y diez cuadrados negros. No importa dónde situemos los tetraminós A, B, C y D, tendremos que cubrir ocho cuadrados de cada color. Esto dejaría sin cubrir dos cuadrados blancos y dos cuadrados negros para el tetrominó E. Pero E no puede cubrir dos cuadrados blancos y dos negros. En consecuencia, el acertijo no tiene solución.
La figura 4 muestra una figura con la forma de un rascacielos, en la que hay dos cuadrados negros más que cuadrados blancos, de modo que nuestra prueba de imposibilidad ya no se aplica en este caso. Intenta formar esta figura con tus cinco piezas. ¡Esto sí es posible!
Una isla está habitada por dos tribus. Los miembros de una tribu siempre dicen la verdad, los miembros de la otra tribu mienten siempre.
Un misionero se encontró con dos de estos nativos, uno alto y otro bajo.
"¿Eres de los que dicen la verdad?", preguntó al más alto.
"Upf”, respondió el nativo alto.
El misionero reconoció la palabra como el término nativo que significa sí o no, pero no podía recordar cuál de los dos. El nativo bajo hablaba español, así que el misionero le preguntó qué era lo que había dicho su compañero. "Dijo sí”, replicó el nativo bajo, “¡pero él gran mentirosol”.
¿A qué tribu pertenecía cada uno de los nativos?
SOLUCIÓN
Cuando el misionero preguntó al nativo alto si era de los que decían la verdad, la respuesta "Upf " debe significar "sí". Si el nativo es de la tribu de los que dicen la verdad, debe decir la verdad y responder que sí; si es uno de los mentirosos, debe mentir, ¡pero la respuesta seguiría siendo sí!
De modo que cuando el nativo más bajo dijo al misionero que su compañero había dicho "sí", estaba diciendo la verdad. En consecuencia, también debe haber dicho la verdad cuando agregó que su amigo era un mentiroso.
Conclusióón: el hombre alto es menntiroso, el bajo es de la tribu de los que dicen la verdad.
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"Perro no tengo tiempo para lla escuela", explicaba Eddie al preceptor. "Duermo ocho horas diarias que, sumadas, dan 122 días por año, suponiendo que cada día es de 24 horas. Noo hay clases los sábados ni los domingos, que suman 104 días por año. Tenemos 60 días de vacaciones de verano. Necesito tres horas diarias para comer... esto es más de 45 días al aaño. Y necesito al menos dos horas diarias de recreación... que suman más de 30 días al año."
Eddie esccribió estas cifras mienttras hablaba, después sumó todos los días. La suma daba 361.
Sueño (8 horas diarias) 122
Sábados y domingos 104
Vacacionees de verano 60
Comidas ((3 horas diarias) 45
Recreacióón (2 horas diarias) 30
Total 361 días
"Ya ve",
El precepptor se rascó la cabeza. "Algo no anda bien aquí", murmuró.
Pero por más que se esforzó, no puudo encontrar nada equivocado en las cifras de Eddie. ¿Puedes explicar dónde está el error?
SOLUCIÓN<
La trampaa de las cifras de Eddie es que las categorías de tiempo se superponen de modo que los mismos períodos de tiempo se cuentan más de una vez. Para dar un ejemplo, durante su período de vacaciones de 60 días también comió y durmió. El tiempo de comer y dormir se cuenta en el periodo de vacaciones y también aparte, en el tiempo insumido para comer y dormir durante todo el año.
La falaciia de superponer categoríías es muy común en las estadísticas, especialmente en el caso de las estadísticas médicas. Podemos leer que en ciertas. comunidades, el 30 por ciento de las personas tienen una deficiencia de vitamina A, e1 30 por ciento tiene deficiencia de vitamina B, y e1 30 por ciento tiene deficiencia de vitamina C. Si a partir de esto sacamos la conclusión de que sólo el 10 por ciento de la población no tiene deficiencia de estas tres vitaminas, habremos realizado el mismo razonamiento defectuoso que Eddie utilizó en su charla con el preceptor: Es posible que e1 30 por ciento de la población tenga deficiencias de las tres vitaminas, lo que dejaría a1 70 por ciento de la población en la categoría de los que no tienen ninguna deficiencia.
Los Smithh tienen una anticuada toostadora que sólo admite dos rebanadas de pan por vez y que tuesta sólo un lado de la rebanada por vez. Para tostar el otro lado, hay que sacar las rebanadas, darles vuelta y volverlas a poner en la tostadora. La tostadora demora exactamente un minuto para tostar un lado de cada rebanada de pan que contenga.
Una mañanna, la señora Smith deseaaba tostar ambas caras de tres rebanadas. El señor Smith la observaba por encima de su periódico y sonrió al ver el procedimiento de su esposa. Demoró cuatro minutos.
"Poddrías haber tostado esas tres rebanadas en menos tiempo, querida", dijo, "y hubieras gastado menos electricidad".
¿Tenía raazón el señor Smith, y sii así fuera, cómo podría haber tostado su esposa esas tres rebanadas en menos de cuatro minutos?
SOLUCIÓN<
Es simplee tostar las tres rebanaddas, de ambos lados, en tres minutos. Llamemos A, B y C a las rebanadas. Cada una de ellas tiene la cara 1 y la cara 2. El procedimiento es éste:
Primer miinuto: Tostar caras A1 y B 1. Quitar las rebanadas, dar vuelta a B y volverla a poner en la tostadora. Poner aparte a A y colocar C en la tostadora.
Segundo mminuto: Tostar B2 y C 1. Quitar las rebanadas, dar vuelta a C y volverla a poner en la tostadora. Dejar aparte a B (que ya está tostada por ambas caras) y poner a A otra vez en la tostadora.
Tercer miinuto: Tostar las caras AA2 y C2. Todas las caras de las tres rebanadas están tostadas ahora.
El señor Pardo, el señor Verde y el señor Negro estaban almorzando juntos. Uno de ellos llevaba una corbata parda, otro una corbata verde y otro una corbata negra.
"¿Se han dado cuenta", dijo el hombre de la corbata verde, "de que aunque nuestras corbatas son de colores iguales a nuestros nombres, ninguno de nosotros lleva la corbata que correspondería a su nombre?"
"iPor Dios que tienes razónl", exclamó el señor Pardo.
¿De qué color era la corbata de cada uno?
SOLUCIÓN
El señor Pardo tenía corbata negra. El señor Negro tenía corbata verde. El señor Verde tenía corbata parda.
Pardo no podía tener una corbata parda, pues entonces correspondería a su nombre. No podía tener corbata verde, pues ése, era el color de la corbata del hombre que le hizo la pregunta. Por lo tanto, la corbata de Pardo debe ser negra. Esto deja las corbatas verde y parda para el señor Negro y el señor Verde.