ACERTIJOS
TOPOLOGICOS
Acertijos topológicos.
La topología es una de las ramas más nuevas y complejas de la geometría moderna. Algunas de sus curiosas figuras - superficies de un solo lado, botellas cerradas sin "adentro", tubos interiores que se dan vuelta como un guante- son tan extrañas que parecen haber sido inventadas por escritores de ciencia ficción y no por matemáticos de mente sobria.
¿Qué es la topología? Es el estudio de propiedades que permanecen invariables independientemente de la manera en la que se retuerza, extienda o comprima una figura. Para un topólogo, un triángulo es lo mismo que un círculo porque si imaginamos que ese triángulo está hecho con hilos, podemos con toda facilidad estirar ese hilo hasta formar un círculo. Supongamos que tenemos un anillo (un topólogo lo llama toro) hecho de una sustancia plástica que puede moldearse de cualquier manera que se nos antoje, pero que no se pega ni puede romperse. Puedes pensar que no quedará ninguna característica original del anillo si lo estiramos, lo doblamos y deformamos lo suficiente. Pero hay muchas características que sobrevivirán. Por ejemplo, siempre tendrá un agujero. Esas propiedades invariables son las propiedades topológicas. No tienen nada que ver con el tamaño, ni con la forma en el sentido en el que habitualmente se entiende la forma. Son las más profundas de todas las propiedades geométricas.
Hay muchos acertijos de naturaleza topológica. Los siguientes son cuatro de los mejores.
Este es uuno de los más antiguos yy famosos acertijos topológicos. Es posible que tu abuelo haya intentado resolverlo en la escuela mientras se suponía que estudiaba su libro de historia. Sin embargo, no hay ni una persona entre mil que sepa con seguridad si puede o no resolverse.
El probleema es éste: ¿Puedes dibuujar el diagrama de la figura 1 con tres trazos? No se permite pasar dos veces por la misma línea. Es fácil dibujar toda la figura salvo un pequeño segmento (se muestran algunos intentos en la figura 2), pero, ¿es posible dibujar toda la figura con tres trazos? Si no es posible, ¿por qué?
El acertiijo es topológico porque las dimensiones y formas reales 'de los ladrillos no tienen importancia. Por ejemplo, si distorsionamos la figura tal como sé ve en la figura 3, el problema
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SOLUCIÓN<
Es imposible dibujar los cinco ladrillos con tres trazos; hay una manera simple
de probarlo. Cuando tres segmentos de línea se reúnen en un punto, como lo muestra
la figura 4, es obvio que ese punto debe señalar el final al
menos de un trazo. También podría ser el
final de tres trazos, pero eso no nos interesa. Sólo nos importa el hecho de
que al menos una línea debe terminar en-el punto P de la ilustración.
Cuenta ell número de puntos de la figura 1, que muestra los ladrillos, donde se unen tres segmentos de líneas. Hay ocho puntos de ésos. Cada uno de ellos debe señalar el final de al menos un trazo, de modo que la figura completa contiene como mínimo ocho finales de trazos. Ningún trazo puede tener más de dos extremos, por lo que la figura no puede dibujarse con menos de cuatro trazos.
Este es uun ejemplo simple de lo qque los matemáticos llaman una prueba de imposibilidad. Con muchaa frecuencia, en la histooria de las matemáticas, se desperdicia una gran cantidad de tiempo intentando resolver un problema, como el de trisecar un ángulo con sólo un compás y una regggla, que no tiene solución. Por eso es muy importante investigar las pruebas de imposibilidad. Otro excelente ejemplo de ese tipo de prueba se encontrará en el acertijo de los cinco tetrominós de la sección siguiente.
Uno de loos teoremas fundamentaless de la topología es el teorema de la curva de Jordan (Así llamado por el matemático francés - Camille JordaN). Este teorema postula que cualquier curva simple cerrada (una curva unida en los extremos y que no se cruza a sí misma). divide la superficie del plano en dos regiones, un adentro y un afuera (figura 1). El teorema parece bastante obvio, pero en realidad es de difícil demostración.
Si trazammos una curva simple cerrrada muy sinuosa, como la que muestra la figura 2, no es fácil decir de inmediato si cierto punto, como el señalado por medio de la crucecita, está adentro o afuera. Por supuesto que podemos descubrirlo si seguimos con un lápiz el trayecto desde este punto hasta el borde de la curva para ver si conduce o no afuera.
La figuraa 3 muestra sólo una pequueña porción interior de una curva simple cerrada. El resto de la curva, por los cuatro lados, está oculta a la vista por hojas de papel, de modo que no hay manera de seguir con el lápiz el trayecto que va desde las regiones visibles hasta el borde de la curva, para ver si conduce o no afuera. Se nos dice que la región marcada como A está adentro de la curva.
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SOLUCIÓN<
La regiónn B está adentro.<
Esto puedde decirse a causa de otrro interesante teorema acerca de las curvas simples cerradas. Todas las regiones de "adentro" de esas curvas están separadas entre sí por un número par de líneas. Lo mismo es cierto en el caso de todas las regiones de "afuera". Y cualquier región de adentro está separada de cualquier región de afuera por un número impar de líneas. El cero se considera número par, de modo que si no hay líneas entre dos regiones, por cierto que éstas serán parte del mismo "lado", y nuestro teorema seguirá siendo válido.
Cuando paasamos de cualquier partee de la región A a cualquier parte de la región B, por cualquier camino, cruzamos un número par de líneas. En la figura 4 se muestra uno de esos caminos por medio de una línea de puntos. Como ves, cruza cuatro líneas, un número par. De modo que podemos decir con certezaa que, sin importar cómo sea el resto de la línea, ¡la región B también está adentro!
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Actualmennte mucha gente sabe qué es la cinta de Moebius. Es una cinta de papel retorcida
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Mucha gennte sabe también que si uuno trata de cortar una cinta de Moebius por la mitad, cortando a lo largo por el medio de la cinta, no se formarán dos cintas como uno esperaba que ocurriera. Se abre en una cinta larga. Y si se empieza a cortar a un tercio del borde, puede cortarse dos veeces alrededor de la cintta para lograr una cinta larga que tiene unida a ella, como un eslabón, otra más corta.
Si la cinnta se retuerce dos mediaas vueltas antes de engomar los extremos (figura 2), un corte por
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Hay dos mmaneras de hacer una cintta con un retorcimiento de tres medías vueltas. Podemos retorcerla en el sentido de las agujas del reloj o en sentido opuesto a las agujas del reloj. En ambos casos, si cortamos la cinta, formamos un nudo. Ahora la pregunta: ¿son esos dos nudos exactamente iguales?
SOLUCIÓN<
A primeraa vista, se puede suponerr que los dos nudos son iguales, pero si se los examina con mayor detenimiento, se advertirá una curiosa diferencia. Un nudo es la imagen en espejo del otro. No importa cómo tratemos de alterar la forma de un nudo, jamás lograremos que sea exactamente igual al otro.
Las estruucturas geométricas que nno son idénticas a sus imágenes especulares son llamadas asirnétricas. Cuando hicimos las dos cintas, retorciendo una en una dirección y la otra en dirección opuesta, formamos dos cintas asimétricas, cada una de las cuales es la imagen especular de la otra. Esta asimetría pasa a la asimetría de los dos nudos que resulten al cortarlas.
Estamos ttan habituados a atar nuddos de la misma manera que no advertimos que hay dos modos muy diferentes de atarlos. Tal vez las personas zurdas tienden a atarlos de una manera y las diestras de otra manera. Si es así, Sherlock Holmes hubiera tenido unaa buena manera de deducir, a partir del modo en que el criminal ató a su víctima, si ese criminal era zurdo o diestro.
Imagina qque tienes las muñecas attadas con un pedazo de soga, tal como se ve en la ilustración, y un sweater de cuello cerrado.
¿Hay alguuna manera de que puedas quitarte el sweater, darlo vuelta del revés y volvértelo a poner? Recuerda que el sweater no tiene botones y que no puedes cortar ni desatar la soga.
SOLUCIÓN<
Sí, el swweater puede darse vueltaa del revés de la siguiente manera:
(1) Pásallo por encima de tu cabezza, volviéndolo del revés mientras lo haces y déjalo colgar, al revés, sobre la soga, como se ve en la figura 1.
(2) Vuelvve a dar vuelta el sweateer pasándolo por una de las mangas. Ahora cuelga de la cuerda con el lado bueno para afuera (figura 2).
(3) Vuelvve a ponértelo pasándolo por la cabeza., invirtiendo todas las acciones que te permitieron quitártelo. Esto vuelve a dejar el sweater del revés, y te lo deja puesto con el lado interno hacia afuera.
Antes de intentarlo, ve si puedes visualizar el proceso mentalmente. Si tu sweater tiene la inicial de tu escuela cosida en la parte delantera, ¿esta letra te tocará el pecho o la espalda cuando hayas acabado con los tres pasos?
