PRIMERA PARTE


 

ACERTIJOS

ARITMÉTICOS


Acertijos aritméticos

Los números que se usan para contaar (1, 2, 3. 4...) se llaman enteros. La aritmética es el estu­dio de los enteros con respecto a lo que se conoce como las ,cuatro operaciones fundamentales de la. aritmética: adición, sustracción, multiplica­ciiión y división: (La Falsa Tortuga de Lewis Ca­rroll; como recordarán, las llamaba Ambición, Distracción, Horripilación y Deprecación). La aritmética también incluye las operaciones de elevar un número a una potencia. más alta (multiplicándolo por sí mismo cierto número de veces), y de extraer una raíz (descubrir un número que, si se lo multiplica pooor sí mismo cierto número de veces, igualará un número determi­nado).

No hace falta decir que jamás aprenderás ál­gebra ni ninguna rama más elevada de la mate­mática si no sabes muy bien aritmética. Pero aun cuando nunca aprendas álgebra, verás que la aritmética es esencial para cualquier profesión que se te ocurra. Una camarera tiene que sumar una cuenta, un agricultor debe calcular los beneficios de su cosecha. Hasta un lustrabotas debe saber dar el vuelto correctamente, y eso es pura aritmética. Es tan importante para la vida diaria como saber atarse los cordones de los za­patos.

Los acertijos de esta sección y de las dos que siguen no requieren otra habilidad que no sea la más simple aritmética y pensar claramente en lo que estás haciendo.


LOS ZOQUETES DE COLORES

Hay diez zoquetes rojos y diez zoquetes azules mezclados en el cajón del armario. Los veinte zoquetes son exactamente iguales, salvo por el color. El cuarto está absolutamente a oscuras y tú quieres dos zoquetes del mismo color. ¿Cuál es el menor número de zoquetes que debes sacar del cajón para estar seguro de que tienes un par del mismo color?

SOLUCIÓN

Mucha gente, al tratar de resolver este acer­tijo, se dice: "Supongamos que el primer zoque­te que saco es rojo. Necesito otro rojo para hacer el par, pero el próximo puede ser azul, y el próximo, y el próximo, y así hasta sacar del cajón los diez zoquetes azules. El siguiente zoquete tiene que ser rojo, así que la respuesta debe ser doce zoquetes&quuuot;.

Pero este razonamiento pasa algo por alto. No es necesario que el par sea de zoquetes rojos. Sólo es necesario que los dos zoquetes sean de igual color. Si los dos primeros no son iguales, es seguro que el tercero será igual a uno de los otros dos, de modo que la respuesta correcta es tres zoquetes.


PROBLEMA DE PESO

Si una peelota de basket pesa ½ kiilo más la mitad de su propio peso, ¿cuánto pesa?

SOLUCIÓN<

Antes de responder a este acertijo, es ne­cesario saber exactamente qué significa cada pa­labra. Por ejemplo, se podría enfocar de esta manera: "La pelota de basket pesa ½ kilo. La mitad de su peso debe ser ¼ de kilo. Sumamos estos valores y obtenemos la respuesta de ½ + ¼ = ¾ de kilo."

Pero el problema consiste en descubrir el pe­so de la pelota, y si resulta ser de tres cuartos, en­

tonces no puede ser de medio kilo como se afir­ma al principio. Resulta claro que hay una con­tradicción en este punto, así que debemos haber interpretado mal la pregunta.

Hay solamente una interpretación que tiene sentido. El peso de la pelota de basket es igual a la suma de los dos valores: 1/2 kilo y un valor desconocido que es la mitad del peso de la pelo­ta de basket. Esto puede representarse en una balanza de platillos tal como se ve en la ilustra­ción.

Si se retira media pelota de basket de cada platillo de la balanza, ésta seguirá en equilibrio. Habrá un peso de 1/2 kilo en un platillo y media pelota de basket en el otro, de modo que media pelota de basket debe pesar 1/2 kilo y la pelota entera debe pesar el doble, o sea un kilo.

En realidad, sin saberlo, ¡hemos resuelto el problema por medio del álgebra! En vez de usar la ilustración, representemos media pelota de basket con la letra x. Y en vez de mostrar los dos platillos en equilibrio en una balanza, utilicemos el signo algebraico de igualdad. Ahora podemos escribir esta simple ecuación:

½ + x = x + x

Si se quita la misma cantidad de ambos la­dos de esta ecuación, seguirá "equilibrada". Así, si quitamos una x de cada lado, nos queda:

½ = x

Recordemos que x representaba la mitad de la pelota de basket. Si media pelota pesa ½ ki­lo, entonces la pelota entera debe pesar un kilo.


LA BARRA DE PLATA

Un buscador de plata no podía pagaar su alquiler de marzo por adelantado. Tenía una barra de plata pura de 31 centímetros de largo; de modo que hizo con su casera el siguiente arreglo: Le dijo que cortaría la barra en pedazos más peque­ños. El primer día de marzo le daría a la casera un centímetro de la barra, y cada día subsiguien­te le agregaría otro centímetro más. Ella conser­varía la plata en prenda. A fin de mes, el busca­dor esperaba estar en condiciones de pagarle la renta completa, y ella le devolvería los pedazos de la barra de plata.

Marzo tiene 31 días, de modo que una mane­ra de cortar la plata era dividirla en 3 1 partes, cada una de un centímetro de largo. Pero como era bastante laborioso cortarla, el buscador de­seaba cumplir el acuerdo dividiéndola en el me­nor número posible de partes. Por ejemplo, podía darle a la casera un centímetro el primer día, otro centímetro el segundo día, y el tercer día podía entregarle una parte de tres centímetros y reci­bir a cambio las dos partes anteriores de un cen­tímetro.

Suponiendo que las porciones de barra fue­ran entregadas y devueltas de esta manera, ve si puedes determinar el menor número posible de partes en las que el buscador debee dividir su ba­rra de plata.


 


SOLUCIÓN<

El buscador puede cumplir el trato cortando su barra de plata de 31 cm en cinco partes de 1, 2, 4, 8 y 16 cm de longitud. El primer día le da a la casera el pedazo de 1 cm, el día siguien­te ella se lo devuelve y él da el pedazo de 2 cm; el tercer día él vuelve a darle el pedazo de 1 cm., el cuarto día ella le devuelve ambas piezas y él le da el pedazo de barra de plata de 4 cm. Al dar y devolver de ésta manera, el buscador puede agregar un centímetro por día y cubrir así los 31 días del mes.

La solución de este problema puede expre­sarse muy simplemente en el sistema binario de la aritmética. Es un método para expresar nú­meros enteros utilizando solamente los dígitos 1 y 0. Recientemente se ha convertido en un siste­ma importante porque la mayoría de las compu­tadoras electrónicas gigantes operan sobre una base binaria. Así es como se escribiría el núme­ro 27, por ejemplo, si usamos el sistema binario:

11011

¿Cómo sabemos que éste es e127? La mane­ra de traducirlo a nuestro sistema decimal es la siguiente: sobre el dígito de la derecha del núme­ro binario, escribimos "1". Sobre el dígito si­guiente, hacia la izquierda, escribimos "2"; sobre el tercer dígito hacia la izquierda escribimos "4"; sobre el dígito siguiente, "8", y sobre el último dí­gito de la izquierda, "16". (Ver la ilustración). Es­tos valores forman la serie 1, 2, 4, 8, 16, 32... en la que cada número es el doble del que lo precede.


 


El paso siguiente consiste en sumar todos los valores que estén sobre los “l” del número bi­nario. En este caso, los valores son 1, 2, 8, 16 (4 no se incluye porque está sobre un 0). Sumados dan 27, de modo que el número binario 11011 es igual a127 de nuestro sistema numérico.

Cualquier número de 1 a 31 puede expresarse de esta manera con un número binario de no más de cinco dígitos. Exactamente de la misma manera, puede formarse cualquier número de centímetros de plata, de 1 a 31, con cinco peda­zos de plata si las longitudes de esas cinco pie­zas son de 1, 2, 4, 8 y 16 centímetros.

La tabla siguiente consigna los números binarios para cada día de marzo. Advertirás que para el 27 de marzo el número es 11011. Esto nos dice que los 27 cm de plata de la casera es­tarán formados por las piezas de 1, 2, 8 y 16 cm. Elige un día al azar y advierte con cuánta rapidez puedes calcular exactamente cuáles piezas de plata sumadas dan la cantidad que corresponde al número del día.


LOS TRES GATOS

Si tres ggatos atrapan tres ratas en tres minutos, ¿cuántos gatos atraparán 100 ratas en 100 mi­nutos?

SOLUCIÓN<

La respuesta usual de este viejo acertijo es la siguiente: si a tres gatos les lleva tres minutos atrapar tres ratas, debe llevarles un minuto atra­par, cada rata. Y si les lleva un minuto cazar una rata, entonces los mismos tres gatos cazarán 100 ratas en 100 minutos.

Desafortunadamente, no es tan simple; esa respuesta presupone algo que por cierto no está expresado en el problema. Supone que los tres gatos han concentrado su atención en la misma rata hasta cazarla en un minuto, para luego dedicarse en conjunto a otra rata. Pero supongamos que en vez de hacer eso cada gato cace una rata diferente, y le lleve tres minutos atraparla. En ese caso, tres gatos seguirían cazando tres ratas en tres minutos. Les llevaría seis minutos cazar seis ratas, nueve minutos cazar nueve ratas, y 99 minutos cazar 99 ratas.

Ahora debemos enfrentar una curiosa difi­cultad. ¿Cuánto tiempo les llevará a esos mis­

mos tres gatos cazar la rata númerro 100? Si les sigue insumiendo tres minutos la cacería, en­tonces los tres gatos demorarán 102 minutos para cazar las 100 ratas. Para cazar cien ratas en cien minutos - suponiendo que sea ésa la mane­ra en la que los gatos cazan a sus ratas- por cier­to necesitaremos más de tres gatos y menos de cuatro.

Por supuesto, es posible que cuando los tres gatos se concentran sobre la misma rata, talll vez puedan acorralarla en menos de tres minutos, pero nada en el enunciado del problema nos di­ce de qué modo podemos medir exactamente el tiempo que demandará esa operación. La única respuesta correcta al problema, entonces, es és­ta: la pregunta es

ambigua y no puede respon­derse si no se da más información acerca de la manera en que esos gatos cazan ratas.

LOS CIGARRILLOS DE LA SEÑORA PITA

La señora Pita, una gran fumadora durante mu­chos años, finalmente decidió dejar de fumar. "Acabaré los veintisiete cigarrillos que me que­dan", se dijo, «y jamás volveré a fumar".

La costumbre de la señora Pita era fumar exactamente dos tercios de cada cigarrillo. No tardó mucho en descubrir que con la ayuda de una cinta engomada podía pegar tres colillas y hacer otro cigarrillo. Con 27 cigarrillos, ¿cuántos cigarrillos puede fumar antes de abandonar el tabaco para siempre?

SOLUCION

Después de fumar 27 cigarrillos, la señora Pita juntó las colillas necesarias para hacer 9 cigarrillos más. Estos 9 cigarrillos dejaron coli­llas como para hacer otros 3; entonces con las últimas tres colillas hizo el último cigarrillo. En total: 40 cigarrillos. La señora Pita nunca volvió a fumar: jamás logró recuperarse de la pitada final.