SEPTIMA PARTE
ACERTIJOS DE
PROBABILIDADES.
Acertijos de probabilidades.
Todo lo qque hacemos, todo lo que ocurre a nuestro alrededor, obedece a las leyes de las probabilidades. No podemos escaparnos de ellas, de la misma manera que no podemos escaparnos de la ley de gravedad. Suena el teléfono. Lo contestamos porque pensamos que alguien ha discado nuestro número, pero siempre existe una posibilidad de que el que llama haya discado el número equivocado por error. Abrimos un grifo porque creemos que es probable que de él salga agua, pero tal vez no salga. "La probabilidad", dijo una vez un filósofo, "es la guía de la vida". Somos todos jugadores que pasamos por la vida haciendo incontables apuestas acerca de los resultados de incontables acciones.
La teoríaa de las probabilidades ees esa rama de la matemática que nos dice cómo estimar los grados de probabilidad. Si es seguro que un acontecimiento se producirá, su grado de probabilidad es 1. Si es seguro que no se producirá, su grado de probabilidad es 0. Todas las otras probabilidades que se sitúan entre 1 y 0 se expresan con fracciones. Si es tan probable que un acontecimiento se produzca como que no se produzca, decimos que su grado de probabilidad es 1/2. En todos los campos de la ciencia se utiliza la estimación de probabilidades. Un físico calcula el probable trayecto de una partícula. Un genetista calcula las probabilidades de que una pareja tenga un hijo de ojos azules. Las aseguradoras, los comerciantes, los agentes de bolsa, los sociólogos, los políticos, los expertos militares... todos ellos deben ser expertos en calcular la probabilidad de los sucesos que les conciernen.
Joe: «Voyy a arrojar tres monedas al aire. Si todas caen cara, te daré diez centavos. Si todas caen cruz, te daré diez centavos. Pero si caen de alguna otra manera, tú me das cinco centavos a mí."
Jim: &quoot;Déjame pensarlo un minnuto. A1 menos dos monedas tendrán que caer igual porque si hay dos diferentes, la tercera tendrá que caer igual que una de las otras dos. (Ver el problema de los zoquetes de colores de la primera sección de este libro). Y si hay dos iguales, entonces la tercera tendrá que ser igual o diferente de las otras dos. Las probabilidades están parejas con respecto a que la tercera moneda sea igual o diferente. Por lo tanto, hay las mismas probabilidades de que las monedas muestren el mismo lado, como que no. Pero Joe está apostando diez centavos contra cinco que no serán todas iguales, de modo que las probabilidades están a mi favor. ¡Bien, Joe, acepto la apuesta!"
¿Fue buenno para Jim haber aceptaddo la apuesta?
SOLUCIÓN<
No es muyy bueno para Jim haber acceptado esa-apuesta. Su razonamiento de la situación es completamente erróneo.
Para descubrir las probabilidades de que las tres monedas caigan de la misma
manera o no, primero debemos consignar todas las maneras en las que las tres
monedas pueden caer. Hay ocho maneras, que se ven en la ilustración. Con una
A está indicado "cara" y con una Z, "cruz".
Cada una de estas maneras tiene taanta probabilidad de darse como cualquiera de las otras. Advierte que sólo dos de ellas muestran todas las monedas iguales. Esto signiflca que las probabilidades de que todas las monedas caigan iguales son de dos sobre ocho, ó 2/8, fracción que puede simplificarse a 1/4.
Hay seis maneras en las que las moonedas pueden caer sin ser iguales. Por lo tanto, las chances de que esto ocurra son de 6/8 ó 3/4.
En otras palabras, Joe espera, a lla larga, ganar tres veces de cada cuatro. Por esas vecees, Jim tendrá que pagarlle quince centavos.. Pero la vez que Jim ganará, Joe le pagará diez centavos. Esto da a Joe un beneficio de cinco centavos cada cuatro tiros -buen beneficio si la apuesta se repite varias veces.
Un dado ccomún (como los que se ussan en juegos de azar) tiene seis caras, de modo que la probabilidad de que aparezca alguna de ellas es uno sobre seis, ó 1/6. Supongamos que tiras un dado nueve veces. Cada una de ellas cae con la cara del 1 hacia arriba.
¿Cuál es la probabilidad de que laa cara del l vuelva a aparecer en la tirada siguiente? ¿Es más de 1/6 o sigue siendo 1/6?
SOLUCIÓN<
Si sabemoos positivamente que el ddado no está cargado, entonces no importa cuántas veces se lo tire ni qué es lo que aparece, la probabilidad de la siguiente tirada seguirá siendo de 1/6 para cada una de las seis caras. ¡Un dado no tiene manera de recordar las tiradas anteriores!
A mucha ggente le resulta difícil creerlo. Toda clase de necios sistemas para jugar a la ruleta y otros juegos de azar se basan en la superstición de que cuanto más frecuentemente algo ocurre por azar, menos probable será que se repita. Los soldados, durante la Primera Guerra Mundial, pensaban que si se escondían en los agujeros recientemente hechos por las granadas estarían más seguros que si se ocultaban en los viejos, porque, razonaban, era poco probable que una granada explotara dos veces en el mismo sitio en tan poco tiempo. Una madre con cinco hijos, todas nenas, cree que las probabilidades de que el próximo sea varón son mejores de 1/2. Estas creencias son infundadas.
Ahora veaamos la otra cara de la ccuestión. Al arrojar un dado real, es difícil estar seguro de que no es un dado cargado, o tal vez controlado por imanes ocultos. De modo que si en las primeras nueve tiradas nos sale un as, tenemos buenas razones para sospechar que ese dado es lo que las estadísticas llaman un dado tendencioso. Por lo taanto, ¡la probabilidad dee que salga otro as en la décima tirada es mayor que 1/6!
Hay seis naipes boca abajo en la mmesa. Te han dicho que dos y sólo dos entre ellos son reyes, pero no sabes en qué posición están.
Eliges doos cartas al azar y las ppones boca arriba.
¿Qué es más probable?
(1) Que hhaya al menos un rey entrre esas dos cartas
(2) Que nno haya ningún rey entre esas dos cartas
SOLUCIÓN<
Para resoolver este problema, numeeremos los seis naipes de 1 a 6, y supongamos que los naipes 5 y 6 son los dos reyes.
Hagamos aahora una lista de las diiferentes combinaciones de dos cartas que pueden resultar de la elección. Hay 15 combinaciones posibles:
Advierte que los reyes (naipes 5 yy 6) aparecen en nueve de los 15 pares. Como un par es tan probable como-otro, esto signiflca que, a la larga, sacarás un rey en nueve de cada quince intentos. En otras palabras, la probabilidad de sacar un rey es de 9/15, una fracción que puede simplificarse a 3/5. Por supuesto, esto es mejor que 1/2, de modo que la respuesta es que es más probable que uno saque al menos un rey y no ninguno.
¿Cuáles sson tus probabilidades dee sacar ambos reyes al dar vuelta dos naipes? Sólo una de las quince combinaciones contiene a ambos reyes, de modo que la respuesta es 1 / 1 5.
George Gaamowy Marvin Stern, en suu estimulante librito, Puzzle-Math, cuentan acerca de un sultán que pensó en aumentar el número de mujeres de su país, con respecto al número de hombres, para que los hombres pudieran tener harenes más grandes. Para lograr su propósito, formuló la siguiente ley: en cuantoo una madre de a luz su pprimer hijo varón, se le prohibirá tener más niños.
De esta mmanera, argumentaba el suultán, algunas familias tendrían varias mujeres y sólo un varón, pero ninguna familia podría tener más de
un varón.. No pasaría mucho tiempoo sin que el número de mujeres fuera mayor que el de
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¿Crees quue la ley del sultán daráá resultados?
SOLUCIÓN<
No, la leey del sultán no dará ressultados. Obedeciendo las leyes del azar, el primer niño recién nacido a todas las mujeres tendrá tantas posibilidades de ser varón como de ser mujer. Las madres de varones no tendrán más hijos. Las madres de mujeres tendrán entonces sus segundos hijos, y otra vez la probabilidad se repartirá equitativamente entre mujeres y varones. Una vez más, las madres de varones no podrán tener más hijos, y las otras, madres de mujeres, tendrán una tercera oportunidad. En cada una de esas oportunidades, la cantidad de mujeres tenderá a ser igual que la cantidad de varones, de modo que la proporción existente entre varones y mujeres jamás cambiará.
“Ya ven”,, escriben Gamow y Stern en la respuesta que dan al problema del sultán, “que la proporción se mantiene. Como en cada turno de nacimientos la proporción de varones y mujeres es de uno a uno, cuando se suman los resultados de todos los turnos, se observará que esa proporción sigue siendo de uno a uno.”
Pos supueesto que mientras todo essto ocurra, las niñas crecerán y se convertirán también en madres, pero a ellas se les aplica de todos modos la misma argumentación.