TERCERA PARTE


 

ACERTIJOS

DE VELOCIDAD


Acertijos de velocidad

Vivimos en un mundo en el que todo está en per­manente cambio, aunque de diez mil maneras diferentes y a diferentes velocidades. El cielo puede oscurecerse en unas pocas horas, una ba­nana sé oscurece en unos días. Los colores del empapelado se destiñen tan lentamente que pueden pasar años antes de que advirtamos el cambio. Algunos cambios son extremadamente irregulares, como las maneras en las que cam­bias de posición mientras duermes. Otros cam­bios, como los de la luna o la vibración de un áto­mo en una molécula, son más regulares que un reloj.

La rama de la matemática más dedicada al cambio se llama cálculo. Es imposible ser físico actualmente sin saber cálculo, pero antes de entenderlo, debes saber primero muchísimo acerca de la matemática de los tipos de cambios simples y regulares que pueden resolverse por medio de la aritmética común. El ejemplo más común de ese tipo de cambio es el cambio de po­sición que denominamos velocidad constante. Se expressa por medio de la propporción entre la distancia y el tiempo:

Teniendo presente esta fórmula, y con una idea clara, tal vez puedas resolver los cuatro inu­suales problemas de velocidad que aquí te pre­sento.


LAS BICICLETAS Y LA MOSCA

Dos muchaachos en bicicleta, a 220 kilómetros de distancia entre sí, empiezan a andar para reunir­se. En el momento en que parten, una mosca que está en el volante de una de las bicicletas empie­za a volar directamente hacia el otro ciclista. En cuanto llega al otro volante, da la vuelta y vuela de regreso al primero. La mosca voló ida y vuel­ta de volante a volante hasta que las dos bicicle­tas se reunieron.

Si cada bbicicleta marchó a una velocidad constante de 10 kms. por hora, y la mosca voló a una velocidad constante de 151uns. por hora, ¿qué distancia voló la mosca?

SOLUCIÓN<

Cada biciicleta marcha a 10 km por hora, por lo que se reunirán, en la mitad de la distan­cia de veinte kilómetros que las separa, en una hora. La mosca vuela a 15 km por hora, de mo­do que después de una hora habrá recorrido 15 kilómetros.

Muchas peersonas tratan de resollver el pro­blema de la manera más difícil. Calculan la lon­gitud del primer recorrido de la mosca entre am­bos volantes, después la longitud del recorrido de regreso y así sucesivamente para recorridos cada vez más cortos. Pero ese procedimiento involucra lo que se llama la suma de una serie infinita, y es matemática muy compleja y avan­zada.


 

Se dice qque al matemático húngaaro John von Neumann, tal vez el más grande matemático del mundo cuando murió en 1957, se le planteó es­te problema una vez en un cocktail. Pensó un momento y luego dio la respuesta correcta. La persona que había planteado el problema pa­reció un poco decepcionada. Explicó que la ma­yoría de los matemáticos pasaban por alto la manera más simple de resolverlo y lo hacían por medio del complejo proceso de sumar una serie infinita.

Von Neumann se sorprendió. "Pero si así lo resolví yo", dijo.


EL SOMBRERO FLOTANTE

Un pescador que llevaba un gran sombrero de paja estaba pescando desde un bote en un río que fluía a una velocidad de tres kilómetros por hora. "Creo que remaré corriente arriba unos po­cos kilómetros", se dijo. "Aparentemente, aquí no hay pique".

Justo en el momento en que empezó a remar, el viento le voló el sombrero, que cayó al agua junto al bote. Pero el pescador no advirtió que su sombrero se le había volado hasta que no es­tuvo a cinco kilómetros de su sombrero, co­rriente arriba. Entonces advirtió lo que había pasado, de modo que empezó a remar corriente abajo hasta que llegó hasta el sombrero que flo­taba.

En aguas quietas, la velocidad con que rema el pescador es siempre de cinco kilómetros por hora. Cuando remaba corriente arriba, lo hacía a esta misma velocidad constante, pero por supuesto que esa no era su velocidad con respecto a la costa del río. Por ejemplo, cuando remaba corriente arriba a cinco kilómetros por hora, el río lo llevaba corriente abajo a tres ki­lómetros por hora, de modo que pasaba junto a los objetos de la costa a sólo dos kilómetros por hora. Y cuando remaba corriente abajo, la ve­locidad del río combinada con su propia velocidad lo hacía avanzar a una velocidad de ocho kilómetros por hora con respecto a la costa. Si el pescador perdió su sombrero a las dos de la tarde, ¿qué hora era cuando lo recuperó?

SOLUCIÓN<

Como la vvelocidad del río ejercce el mismo efecto sobre el bote y el sombrero, puede ignorár­sela completamente para resolver este proble­ma. En vez de pensar que el agua se mueve y que la costa permanece fija, imagina que el agua es­tá perfectamente quieta y que la que se mueve es la costa. En lo que se refiere al bote y al sombre­ro, esta situación es exactamente igual que la an­terior. Como el hombre se aleja remando cinco kilómetros del sombrero, y luego recorre esos mismos cinco kilómetros de regreso, eso significa que ha remado una distancia total de diez ki­lómetros con respecto al agua.. Rema a una velo­cidad de cinco kilómetros por hora con respecto al agua, así que le habrá llevado dos horas reco­rrer diez kilómetros. Por lo tanto, recuperará su sombrero a las cuatro de la tarde.

Esta situuación es comparable a la de calcu­lar velocidades y distancias en la superficie de la tierra. La tierra se desplaza en el espacio, pero como ese movimiento ejerce el mismo efecto so­bre todos los objetos de la superficie, puede igno­rárselo completamente en casi

todos los proble­mas de velocidad y distancia.

VIAJE DE IDA Y VUELTA

Cuando see viaja en auto, sin duuda el auto viajará a velocidades diferentes en diferentes momen­tos. Si la distancia total se divide por el tiempo total de manejo, el resultado es la velocidad pro­medio de ese viaje.

El señor Smith quería viajar de Chicago a Detroit y luego regresar. Deseaba hacer una ve­locidad promedio de 60 kilómetros por hora en todo el viaje de ida y vuelta. A1 llegar a Detroit descubrió que la velocidad promedio, hasta ese momento, era de 30 kilómetros por hora.

¿Cuál debe ser la velocidad promedio en el viaje de vuelta para que el promedio del viaje completo sea de 60 kilómetros por hora?

SOLUCIÓN

No es neccesario saber la distanncia entre Chi­cago y Detroit para resolver este problema. Cuando Smith llegó a Detroit, había recorrido cierta distancia y le había insumido cierta can­tidad de tiempo. Si lo que desea es duplicar su velocidad promedio, es necesario que recorra el doble de esa diistancia en la <misma cantidad de tiempo. Resulta clarro que, para lograrlo, ¡debe volver a Chicago sin insumir ningún tiempo! Co­mo eso ess imposible, no hay mannera en la que Smith pueda aumentar su velocidad promedio a 60 kilómetroos por hora. No importa con cuánta rapidez haga el viaje de regreso, siempre logrará un promedio menor de 60 kilómetros por hora.

Será más fácil comprenderlo si aatribuimos una cierta distancia para que Smith recorra, di­gamos 30 kilómetros de ida y 30 de vuelta. Como su velocidad promedio es de 30 kilómetros por hora, Smith completará la primera mitad de su viaje en una hora. Desea hacer el viaje completo a una velocidad promedio de 60 kilómetros por hora, lo que significa que debe completar el via­je entero en una hora. Pero ya ha usado esa ho­ra. No importa con cuánta rapidez retorne, pues el tiempo total será de más de una hora, por lo que habrá

recorrido 60 kilómetros en más de una hora y su velocidad promedio será menor a 60 kilómetros por hora.

LA PARADOJA DEL AEROPLANO

Un aeroplano vuela de la ciudad A a la ciudad B, luego regresa a A. Cuando no hay viento, su ve­locidad promedio a tierra (velocidad con respec­to a la tierra) de todo el viaje es de 100 kilómetros por hora. Supongamos que un viento constante sopla en línea recta desde la ciudad A a la ciudad B. ¿De qué modo afectará este viento la velocidad promedio a tierra del aeroplano, suponiendo que vuela en todo momento a la misma velocidad de máquina que antes?

El señor White argumenta: ";Eso no afectará en nada la velocidad promedio. El viento aumen­tará la velocidad del aeroplano durante su vue­lo de A a B, pero en el viaje de regreso la dismi­nuirá en la misma medida".

"Eso suena ,razonable";, asiente el señor Brown, "pero supongamos que el viento es de 100 kilómetros por hora. El aeroplano volará de A a B a 200 kilómetros por hora, ¡pero su veloci­dad de retorno será cero! El aeroplano no podrá volver."

¿Puedes explicar esta aparente pparadoja?

SOLUCIÓN

E1 señor White está en lo ciertoo al decir que el viento aumenta la velocidad del aeroplano en una dirección tanto como la disminuye cuando el aeroplano vuela en dirección opuesta. Pero es­tá equivocado cuando dice que el viento no afec­tará la velocidad promedio a tierra del aeroplano en el viaje de ida y vuelta.

Lo que el señor White no ha conssiderado es la cantidad de tiempo. que el aeroplano vuela a una u otra velocidad. El viaje de regreso, contra el viento, demorará mucho más que el viaje rea­lizado a favor del viento. Como resultado, toma más tiempo el vuelo a velocidad reducida, así que la velocidad promedio con respecto a la tierra de ambos viajes será menor que si no hubiera vien­to. Cuantto más fuerte el viento, tanto mayor será la reducción de la velocidad. Cuando la velocidad del viento iguala o excede la velocidad del aero­plano, la velocidad promedio del viaje completo es cero porque el aeroplano no puede regresar.