TERCERA PARTE
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ACERTIJOS
DE VELOCIDAD
Acertijos de velocidad
Vivimos en un mundo en el que todo está en permanente cambio, aunque de diez mil maneras diferentes y a diferentes velocidades. El cielo puede oscurecerse en unas pocas horas, una banana sé oscurece en unos días. Los colores del empapelado se destiñen tan lentamente que pueden pasar años antes de que advirtamos el cambio. Algunos cambios son extremadamente irregulares, como las maneras en las que cambias de posición mientras duermes. Otros cambios, como los de la luna o la vibración de un átomo en una molécula, son más regulares que un reloj.
La rama de la matemática más dedicada al cambio se llama cálculo. Es imposible ser físico actualmente sin saber cálculo, pero antes de entenderlo, debes saber primero muchísimo acerca de la matemática de los tipos de cambios simples y regulares que pueden resolverse por medio de la aritmética común. El ejemplo más común de ese tipo de cambio es el cambio de posición que denominamos velocidad constante. Se expressa por medio de la propporción entre la distancia y el tiempo:
Teniendo presente esta fórmula, y con una idea clara, tal vez puedas resolver los cuatro inusuales problemas de velocidad que aquí te presento.
Dos muchaachos en bicicleta, a 220 kilómetros de distancia entre sí, empiezan a andar para reunirse. En el momento en que parten, una mosca que está en el volante de una de las bicicletas empieza a volar directamente hacia el otro ciclista. En cuanto llega al otro volante, da la vuelta y vuela de regreso al primero. La mosca voló ida y vuelta de volante a volante hasta que las dos bicicletas se reunieron.
Si cada bbicicleta marchó a una velocidad constante de 10 kms. por hora, y la mosca voló a una velocidad constante de 151uns. por hora, ¿qué distancia voló la mosca?
SOLUCIÓN<
Cada biciicleta marcha
Muchas peersonas tratan de resollver el problema de la manera más difícil. Calculan la longitud del primer recorrido de la mosca entre ambos volantes, después la longitud del recorrido de regreso y así sucesivamente para recorridos cada vez más cortos. Pero ese procedimiento involucra lo que se llama la suma de una serie infinita, y es matemática muy compleja y avanzada.
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Se dice qque al matemático húngaaro John von Neumann, tal vez el más grande matemático del mundo cuando murió en 1957, se le planteó este problema una vez en un cocktail. Pensó un momento y luego dio la respuesta correcta. La persona que había planteado el problema pareció un poco decepcionada. Explicó que la mayoría de los matemáticos pasaban por alto la manera más simple de resolverlo y lo hacían por medio del complejo proceso de sumar una serie infinita.
Von Neumann se sorprendió. "Pero si así lo resolví yo", dijo.
Un pescador que llevaba un gran sombrero de paja estaba pescando desde un bote en un río que fluía a una velocidad de tres kilómetros por hora. "Creo que remaré corriente arriba unos pocos kilómetros", se dijo. "Aparentemente, aquí no hay pique".
Justo en el momento en que empezó a remar, el viento le voló el sombrero, que cayó al agua junto al bote. Pero el pescador no advirtió que su sombrero se le había volado hasta que no estuvo a cinco kilómetros de su sombrero, corriente arriba. Entonces advirtió lo que había pasado, de modo que empezó a remar corriente abajo hasta que llegó hasta el sombrero que flotaba.
En aguas quietas, la velocidad con que rema el pescador es siempre de cinco kilómetros por hora. Cuando remaba corriente arriba, lo hacía a esta misma velocidad constante, pero por supuesto que esa no era su velocidad con respecto a la costa del río. Por ejemplo, cuando remaba corriente arriba a cinco kilómetros por hora, el río lo llevaba corriente abajo a tres kilómetros por hora, de modo que pasaba junto a los objetos de la costa a sólo dos kilómetros por hora. Y cuando remaba corriente abajo, la velocidad del río combinada con su propia velocidad lo hacía avanzar a una velocidad de ocho kilómetros por hora con respecto a la costa. Si el pescador perdió su sombrero a las dos de la tarde, ¿qué hora era cuando lo recuperó?
SOLUCIÓN<
Como la vvelocidad del río ejercce el mismo efecto sobre el bote y el sombrero, puede ignorársela completamente para resolver este problema. En vez de pensar que el agua se mueve y que la costa permanece fija, imagina que el agua está perfectamente quieta y que la que se mueve es la costa. En lo que se refiere al bote y al sombrero, esta situación es exactamente igual que la anterior. Como el hombre se aleja remando cinco kilómetros del sombrero, y luego recorre esos mismos cinco kilómetros de regreso, eso significa que ha remado una distancia total de diez kilómetros con respecto al agua.. Rema a una velocidad de cinco kilómetros por hora con respecto al agua, así que le habrá llevado dos horas recorrer diez kilómetros. Por lo tanto, recuperará su sombrero a las cuatro de la tarde.
Esta situuación es comparable a la de calcular velocidades y distancias en la superficie de la tierra. La tierra se desplaza en el espacio, pero como ese movimiento ejerce el mismo efecto sobre todos los objetos de la superficie, puede ignorárselo completamente en casi
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Cuando see viaja en auto, sin duuda el auto viajará a velocidades diferentes en diferentes momentos. Si la distancia total se divide por el tiempo total de manejo, el resultado es la velocidad promedio de ese viaje.
El señor Smith quería viajar de Chicago a Detroit y luego regresar. Deseaba hacer una velocidad promedio de 60 kilómetros por hora en todo el viaje de ida y vuelta. A1 llegar a Detroit descubrió que la velocidad promedio, hasta ese momento, era de 30 kilómetros por hora.
¿Cuál debe ser la velocidad promedio en el viaje de vuelta para que el promedio del viaje completo sea de 60 kilómetros por hora?
SOLUCIÓN
No es neccesario saber la distanncia entre Chicago y Detroit para resolver este problema. Cuando Smith llegó a Detroit, había recorrido cierta distancia y le había insumido cierta cantidad de tiempo. Si lo que desea es duplicar su velocidad promedio, es necesario que recorra el doble de esa diistancia en la <misma cantidad de tiempo. Resulta clarro que, para lograrlo, ¡debe volver a Chicago sin insumir ningún tiempo! Como eso ess imposible, no hay mannera en la que Smith pueda aumentar su velocidad promedio a 60 kilómetroos por hora. No importa con cuánta rapidez haga el viaje de regreso, siempre logrará un promedio menor de 60 kilómetros por hora.
Será más fácil comprenderlo si aatribuimos una cierta distancia para que Smith recorra, digamos 30 kilómetros de ida y 30 de vuelta. Como su velocidad promedio es de 30 kilómetros por hora, Smith completará la primera mitad de su viaje en una hora. Desea hacer el viaje completo a una velocidad promedio de 60 kilómetros por hora, lo que significa que debe completar el viaje entero en una hora. Pero ya ha usado esa hora. No importa con cuánta rapidez retorne, pues el tiempo total será de más de una hora, por lo que habrá
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Un aeroplano vuela de la ciudad A a la ciudad B, luego regresa a A. Cuando no hay viento, su velocidad promedio a tierra (velocidad con respecto a la tierra) de todo el viaje es de 100 kilómetros por hora. Supongamos que un viento constante sopla en línea recta desde la ciudad A a la ciudad B. ¿De qué modo afectará este viento la velocidad promedio a tierra del aeroplano, suponiendo que vuela en todo momento a la misma velocidad de máquina que antes?
El señor White argumenta: ";Eso no afectará en nada la velocidad promedio. El viento aumentará la velocidad del aeroplano durante su vuelo de A a B, pero en el viaje de regreso la disminuirá en la misma medida".
"Eso suena ,razonable";, asiente el señor Brown, "pero supongamos que el viento es de 100 kilómetros por hora. El aeroplano volará de A a B a 200 kilómetros por hora, ¡pero su velocidad de retorno será cero! El aeroplano no podrá volver."
¿Puedes explicar esta aparente pparadoja?
SOLUCIÓN
E1 señor White está en lo ciertoo al decir que el viento aumenta la velocidad del aeroplano en una dirección tanto como la disminuye cuando el aeroplano vuela en dirección opuesta. Pero está equivocado cuando dice que el viento no afectará la velocidad promedio a tierra del aeroplano en el viaje de ida y vuelta.
Lo que el señor White no ha conssiderado es la cantidad de tiempo. que el aeroplano vuela a una u otra velocidad. El viaje de regreso, contra el viento, demorará mucho más que el viaje realizado a favor del viento. Como resultado, toma más tiempo el vuelo a velocidad reducida, así que la velocidad promedio con respecto a la tierra de ambos viajes será menor que si no hubiera viento. Cuantto más fuerte el viento, tanto mayor será la reducción de la velocidad. Cuando la velocidad del viento iguala o excede la velocidad del aeroplano, la velocidad promedio del viaje completo es cero porque el aeroplano no puede regresar.
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