Como Matemáticas podemos encontrar muchas definiciones, pero la más exacta deduce que es una ciencia que estudia los cálculos numéricos, sus formas, variaciones y propiedades. Es una de las denominadas Ciencias Exactas.

DIFERENCIA ENTRE QUÉ ES ESTUDIAR MATEMÁTICAS, CON QUÉ ESTUDIA UN MATEMÁTICO:

La definición de Matemáticas, es la que se acaba de dar... Un matemático define e investiga estructuras y conceptos abstractos por razones puramente internas a la matemática. Muchos de ellos consideran la matemática como una forma de arte en vez de una ciencia práctica o aplicada. Sin embargo, las estructuras que los matemáticos investigan frecuentemente sí tienen su origen en las ciencias naturales, y muchas veces encuentran sus aplicaciones en ellas, particularmente en la Física. Es decir, investigan estructuras abstractas definidas a partir de axiomas, utilizando la lógica y la notación matemática.

RAMAS DE LA MATEMÁTICA:

Las numerosas ramas de la matemática están muy interrelacionadas. He aquí una lista de secciones que podemos considerar en su estudio.

FUNDAMENTOS Y MÉTODOS: Teoría de conjuntos - Lógica matemática - Teoría de categorías.

INVESTIGACIÓN OPERATIVA: Investigación operativa - Teoría de grafos - Teoría de juegos - Programación entera - Programación lineal - Simulación - Optimización - Método simplex - Programación dinámica.

NÚMEROS: Números - Número natural - Número entero - Número racional - Número irracional - Número real - Número complejo - Cuaterniones - Octoniones - Sedeniones - Números hiperreales - Números infinitos - Dígito - Sistema de numeración - Número p-ádico.

MATEMÁTICA DE LA CONTINUIDAD Y EL CAMBIO: Cálculo - Cálculo vectorial - Análisis - Ecuación diferencial - Sistemas dinámicos y teoría del caos - Funciones - Logaritmo.

ANÁLISIS: Sucesiones - Series - Análisis real - Análisis complejo - Análisis funcional - Álgebra de operadores.

ESTRUCTURAS MATEMÁTICAS: Álgebra abstracta - Teoría de números - Álgebra conmutativa - Geometría algebraica - Teoría de grupos - Monoides - Análisis - Topología - Álgebra lineal - Teoría de grafos - Teoría de categorías.

ESPACIOS: Topología - Geometría - Teoría de haces - Geometría algebraica - Geometría diferencial - Topología diferencial - Topología algebraica - Álgebra lineal - Cuaterniones y rotación en el espacio.

MATEMÁTICA FINITA: Combinatoria - Teoría de conjuntos - Probabilidad - Estadística - Teoría de la computación - Matemática discreta - Criptografía - Teoría de grafos - Teoría de juegos.

MATEMÁTICA APLICADA: Mecánica - Cálculo numérico - Optimización - Matemática discreta - Estadística - Lógica difusa.

TEOREMAS Y CONJETURAS FAMOSAS: Teorema de Fermat - Hipótesis de Riemann - Hipótesis del continuo - clases de complejidad P y NP - Conjetura de Goldbach - Conjetura de los números primos gemelos - Teoremas de incompletitud de Gödel - Conjetura de Poincaré - Argumento de la diagonal de Cantor - Teorema de Pitágoras - Teorema fundamental del cálculo - Teorema Fundamental del Álgebra - Teorema de los cuatro colores - Lema de Zorn - Identidad de Euler.

MATEMÁTICA RECREATIVA: Cuadrado mágico - Papiroflexia.

CATEGORÍAS QUE COMPRENDEN LAS MATEMÁTICAS:

Una división básica de las ramas de la Matemática establece las siguientes categorías:

- Aritmética, estudia las operaciones con números.

- Geometría, se encarga de las formas, el espacio y sus relaciones.

- Topología, estudia relaciones de cercanía en los espacios (llegando de esta forma a otro tipo de estudio de las formas distinto del que se analiza en la geometría).

- Análisis o cálculo, trata las funciones y el calculo diferencial e integral.

- Cálculo numérico, trata de la resolución numérica o aproximada de problemas particulares (mediante algoritmos llamados métodos numéricos).

- Álgebra, o estudio de las estructuras, conjuntos, lenguajes simbólicos, ecuaciones, etc.

- Probabilidad y Estadística que abarcan, respectivamente, el estudio teórico del azar y la descripción matemática de poblaciones.

Cada una de estas categorías se divide a su vez en pura o abstracta, en donde se consideran las magnitudes o cantidades sin relación a la materia, y en aplicada, la cual trata las magnitudes como substancia de cuerpos materiales y, por consecuencia, se relaciona con consideraciones físicas.

Los profesionales de la Matemática suelen considerar esta división simplista, sesgada e ingenua. También parece desfasada la categorización "a la Kant" de decir que la Matemática se puede describir en la Matemática de la Estructura, la Matemática del Espacio y la Matemática del Cambio. Hoy en día las interrelaciones y los objetos de estudio dentro de la Matemática son tan amplios que tiende a considerarse que las distintas ramas no son categorías estancas, independientes unas de otras, sino que hasta las ramas más puras toman prestados conocimientos y resultados de otras. Así, la Matemática moderna empieza a perfilarse como una unidad de contenido, en el que las diversas ramas no son otra cosa que colecciones de herramientas distintas para afrontar sus problemas (es precisamente esta unidad lo que hace que cada vez se empiece a usar más el término "Matemática" frente a "Matemáticas").

No obstante, las facultades de Matemática tienden a distinguir entre Matemática Pura y Matemática Aplicada. Por Matemática Pura se entiende el estudio de la Lógica matemática, el Álgebra, la Topología, la Geometría, el Análisis y la Estadística (entendiendo como tal el estudio de la Probabilidad). Por Matemática Aplicada se entiende al uso de los conocimientos de las ramas anteriores para la resolución de problemas susceptibles de describirse en términos matemáticos, incluidos algunos problemas matemáticos de la Matemática Pura. La principal diferencia entre Matemática Aplicada y Matemática Pura es el uso de las soluciones aproximadas. Muchos problemas no pueden resolverse de forma exacta en un número finito de pasos (ya sea calcular, por ejemplo la raíz cuadrada del número 2 o resolver una ecuación en derivadas parciales).

En la Matemática Pura no se tiene en cuenta esta limitación, y su dedicación es la de determinar si los problemas tienen solución, si esta solución (en caso de que exista) es única, y si es posible determinar algún método para determinar cuál es esa solución. La Matemática Aplicada, por el contrario, asumiendo los resultados de las ramas puras, intenta encontrar métodos de aproximación a la solución ya que, como se ha apuntado antes, en la inmensa mayoría de los casos, los métodos de la Matemática Pura (cuando existen) exigen una cantidad infinita de pasos. La Matemática Pura, entonces, intenta encontrar una solución exacta, aun cuando en la práctica es imposible dar explícitamente esa solución. La Matemática Aplicada prefiere tomar una solución aproximada, que no es la solución exacta, pero que puede hallarse mediante una cantidad finita de pasos.

Estrictamente hablando, una solución aproximada no es una solución. Se comete un error, y una de las principales tareas de la Matemática Aplicada es controlar ese error cometido, es decir, determinar procedimientos que permitan calcular o acotar el error cometido. Es esto lo que da por bueno un método o no, que el error cometido pueda ser asumido por el problema que se está estudiando sin representar una gran desviación del problema original.

LINKS:

Departamento de Matemáticas: FCEyN.

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