CALCULO DE PROBABILIDADES

Experimento aleatorio

Es un fenómeno empírico que se caracteriza por una propiedad fundamental y propia: su observación repetida, en condiciones constantes, no produce siempre el mismo resultado porque no existe regularidad determinísitca sino regularidad estadística o aleatoria.

Experimento aleatorio: realizado dentro de un plan experimental.
Fenómento aleatorio: ocurre espontáneamente sin la acción del hombre.

Regularidad estadística

Si para cada conjunto de repeticiones u observaciones del fenómeno se calcula la frecuencia relativa de la aparición de una cierta propiedad, ésta tiende a estabilizarse alrededor de un valor fijo a medida que el el número de repeticiones aumenta.

Suceso aleatorio

Es el resultado de un experimento aleatorio.

Probabilidad del suceso

Es el límite hacia el cual converge la frecuencia relativa cuando el número de observaciones o repeticiones del fenómeno o experimento aleatorio es suficientemente grande. Siempre es un número entre 0 y 1.

Definición clásica:

Dado un experimento aleatorio y un resultado de interés A, se llama probabilidad de que ocurra A al cociente entre el número de veces que A se presenta (resultado favorable) y el número de resultados posibles, con la condición de que éstos sea todos igualmente posibles.

Punto muestral

Cada uno de los resultados de un experimento aleatorio.

Espacio muestral

La totalidad de los puntos muestrales.

El espacio muestral es un conjunto de puntos tal que cada punto representa uno y sólo uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Espacio muestral discreto: si contiene un número finito o infinito numerable de puntos muestrales.
Ejemplo: se tiene una urna con bolillas del 1 al 20. Se extrae una. S = { 1, 2, 3 ..., 20 } (finito)
Espacio muestral contínuo: si contiene una infinidad no numerable de puntos muestrales.
Ejemplo: su utiliza una balanza de presición para pesar partículas metálicas. 
S= { X : 0 < X < infinito )

Suceso

Cualquier subconjunto de puntos del espacio muestral S. 
La probabilidad de que el suceso A ocurra es la probabilidad de que ocurra algún punto que pertenece al subconjunto A.

Suceso imposible: tiene probabilidad de ocurrir igual a cero (no es equivalente a decir que si un proceso tiene probabilidad de ocurrir igual a acero entonces sea imposible de que ocurra). El suceso C es un ejemplo de suceso imposible.

Suceso cierto: tiene probabilidad de ocurrir igual a uno (no es equivalente a decir que si un suceso tiene probablidad de ocurrir igual a uno entonces es seguro que ha de ocurrir). El suceso D es un ejemplo de suceso cierto, y D = S.

Sucesos mutuamente excluyentes: cuando no tienen elementos o puntos comunes (los conjuntos que los representan son disjuntos). Se verifica cuando la aparición u ocurrencia de uno de ellos impide la aparición u ocurrencia del otro, en una misma repetición del experimento aleatorio. 
Ejemplo: nacimiento de un bebé: si es varón no puede ser mujer.

Sucesos independientes: cuando la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad de ocurrencia del otro, al considerarse por lo menos dos repeticiones sucesivas del experimento aleatorio. Por lo tanto es condición necesaria y suficiente para que dos sucesos sean estadísticamente independientes que:

P(A|B) = P(A)  y  P(B|A) = P(B)

o sea que la probabilidad de un suceso condicionado sea igual a la probabilidad del mismo sin condición alguna (probabilidad marginal)

Probabilidad axiomática

Dado el espacio muestral S y un suceso A en el experimento aleatorio E la probabilidad de A es, por definición, una función de conjunto P(.) que asigna a cada suceso A un número real no negativo, P(A), llamado la probabilidad de que ocurra A.
La función P(.) debe satisfacer los axiomas siguientes:

1) P(A) ³ 0 para cualquier suceso A
2) P(S) = 1 para el suceso cierto S
3) P( A₁ È A₂ È ... ) = P( A₁ + A₂ + ... ) = P( A₁) + P( A₂ ) + ... 
    si A1, A2, ... es una sucesión finita o infinita numerable de sucesos mutuamente excluyentes.
    (La probabilidad de la unión o suma de sucesos mutuamente excluyentes es igual a la suma de sus       
    probabilidades). 

Probabilidad marginal: es la probabilidad de un suceso sin ningún tipo de condición. 

Teorema de la suma de probabilidades

Teorema 1

Sea S un espacio muestral con función de probabilidad P(.). Si A y B son dos sucesos pertenecientes a S (no se especifica si son mutuamente excluyentes) la probabilidad de que ocurra A o B o ambos en la misma repetición está dada por:

P(A o B) = P(A È B) = P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)

P(AB) = P(A Ç B)

Para tres sucesos A, B y C:

P(A o B o C) = P(A È B È B) = P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)

Cuando los sucesos son mutuamente excluyentes:

P(A o B o C) = P(A) + P(B) + P(C)

Teorema 2

Si A₁, A₂, ... A_k constituye una partición de un espacio muestral finito se tiene que

P(A1) + P(A2) + ... + P(A_k) = 1

Teorema del producto de probabilidades

Sea S un espacio muestral con función de probabilidad P(.) y A y B dos sucesos pertenecientes a S. La probabilidad de que ocurra A y B simultáneamente es igual a:

P(A y B) = P (A Ç B) = P(AB) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B)

donde P(B|A) representa la probabilidad de B habiendo ocurrido A.

En el caso de sucesos independientes:

como P(A|B) = P(A) (por ser independientes), entonces

P (AB) = P(A) P(B)

Variable aleatoria

Se llama variable aleatoria a una función real valorada definida en S tal que hace corresponder valores numéricos reales a cada punto muestral.

Si s es un punto en el espacio muestral S, y X es una variable aleatoria, entonces X(s) es el valor de la variable aleatoria X en S. Nótese que sería más preciso hablar de "función aleatoria" en lugar de variable aleatoria por cuanto X(.) hace corresponder a cada punto del espacio muestral en valor del conjunto de los números reales, siendo aquellos el argumento y éstos el valor de la función.

Esta asignación de una probabilidad a cada Xi se puede realizar valor por valor, como en el ejemplo, o bien mediante la determinación de una función cuyo argumento sea X y que precisamente asigne a cada Xi el valor P(Xi) correspondiente, como ser P(Xi = k) para k = 0,1,...,10. La función P(.) que debe ser especificada en cada problema particular, recibe el nombre de función de probabilidad de la variable aleatoria X.

Variable aleatoria discreta: cuando solamente puede tomar un número finito o infinito de valores de un cierto intervalo. La función de probabilidad correspondiente se llama función de cuantía o discreta y se simboliza con p(Xi).

Variable aleatoria contínua: cuando puede tomar cualquier valor de un cierto intervalo. La función de probabilidad correspondiente se llama función de densidad de probabilidad y se simboliza con f(X).

    Condiciones para una función de densidad:

1. f(x) ³ 0   para todo x (R)
2. ò f(x) dx = 1     (que la integración de f(x) desde -¥ hasta +¥ sea igual a 1, esto es, que el área bajo la curva sea 1)
3. P(.) = 0    (la probabilidad en un punto es igual a 0)

Esperanza matemática

Sea X una variable aleatoria con función de probabilidad p(X) o f(X). La esperanza matemática de X, simbolizada E(X), es:

Si X es una variable aleatoria discreta:

E(X) = å X_i p(X_i)

Si X es una variable aleatoria contínua:

 E(X) = ò X . f(X) . dx

La esperanza matemática de una variable aleatoria no es ni el valor más frecuente ni el valor numérico que "esperamos que ocurra" en el sentido común de esta palabra, sino que es un promedio o media aritmética que se calcula ponderando a los valores de la variable aleatoria con las probabilidades o partículas de masa que les corresponden.

Permutaciones y Combinaciones

Por medio de factoriales es posible responder preguntas respecto al número de formas en que pueden acomodarse los objetos.

Factorial de 10 = 10! = 10 .9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3628800

Por definición:    0! = 1

Permutaciones:

Una permutación es un arreglo ordenado de objetos.
En ocaciones hay más objetos que posiciones para llenar.

_nP_r = n! / (n - r)!

Donde n=objetos y r=posiciones   

Combinaciones:

Una combinación es un arreglo de objetos sin importar el orden. No se hace distinción entre los arreglos AB y BA, por ejemplo.

_nC_r = n! / (r! (n - r)!)

Permutaciones de objetos que no son todos diferentes

En ocaciones algunos de los objetos a permutar son idénticos entre sí. Se utililza la fórmula:

_nP_n1,n2,...,nk = n! / (n₁! n₂! ... n_k!)