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Ensayos sobre lógica
La Filososofía de la Matemática
del Tratactus.
Numa Tortolero
Contenido:
La Teoría Pictórica de la Representación
Si bien es cierto que en el Tratactus Wittgenstein mantiene una actitud logicista con respecto a la matemática, debemos tener por moderada y crítica dicha actitud. Aunque Wittgenstein asuma que la matemática es un método de la lógica [T. L. P., 6.2; 6.22]14 y aunque interprete las proposiciones de la matemática como proposiciones lógicas, es decir, como proposiciones analíticas, como unas proposiciones que no dicen nada sobre el mundo, que no expresan ningún pensamiento [T. L. P., 6.1; 6.11, 6.21, 6.22], sin embargo Wittgenstein toma distancia respecto al logicismo de Frege.
Wittgenstein, además de dar una definición constructivista de número que toma bastante de la establecida por Frege, no considera, como éste, que la teoría de clases sea indispensable en matemática [T. L. P., 6.031].15 Para el Wittgenstein del Tratactus: "El número es el exponente de una operación" [T. L. P., 6.21].
El rechazo parcial del logicismo de Frege por parte de Wittgenstein se ve en la actitud antiplatonista que siempre caracterizó a Wittgenstein desde su obra temprana. Wittgenstein niega la existencia de objetos matemáticos y sostiene que no es tarea de la matemática establecer hechos sobre entidades de ningún tipo. Los términos matemáticos no denotan y las proposiciones de la matemática no nos dicen nada, sólo nos proveen de una estructura lingüística en la cual podemos inferir una proposición de otra.
Vimos que, por el contrario, Frege acepta la existencia sin restricción de clases sobre una base definitoria: si se da una propiedad, queda constituida una clase con esa propiedad. Para Frege las clases tienen objetividad y su verdad no depende para nada de la existencia de los objetos que tienen la propiedad asignada por la función que define la clase. Según el procedimiento aplicado por Frege para definir número, se puede construir un objeto (una clase de clases) a partir de un concepto (una clase) cuya extensión no es vacía, desde el momento en el cual puede definirse sobre esta extensión una relación de equivalencia.
La crítica a Frege en este punto por parte de Wittgenstein será radical.
En el Tratactus se rechaza la idea de que los enunciados de la matemática sean enunciados acerca de objetos matemáticos. Los únicos enunciados que denotan objetos son proposiciones elementales, las cuales consisten en combinaciones de nombres de objetos, o funciones verdadaderas de proposiciones elementales, y los enunciados de la lógica y de la matemática no caen en esa categoría.
De acuerdo a la teoría pictórica que expone el Tratactus, una proposición afirma algo en la medida que es una pintura de un estado de hechos [T. L. P., 4.03], y esta posibilidad de ser una pintura está basada en la noción de representación de objetos por símbolos [T. L. P., 4.0312].
La condición de que una proposición represente un hecho es que tanto a ella como al hecho les sea común la misma forma lógica: la representación es posible sobre la base de un supuesto isomorfismo entre lenguaje y realidad.
Sin embargo, lo que es común a la proposición y a los hechos, la forma lógica, no representa nada en ningún momento, ella sólo es simple condición de representación. "La lógica de los hechos no puede ser representada" [T. L. P., 4.0312]. Pero aunque la forma lógica, no pueda ser representada, sin embargo sí puede ser mostrada; y este será el papel que cumplirán las proposiciones de la lógica y de la matemática: mostrar la forma lógica [T. L. P., 4.121].
Las proposiciones lógicas carecen de contenido, nada dicen, pues sólo son tautologías, es decir, proposiciones analíticas. "El hecho de que las proposiciones de la lógica sean tautologías muestra las propiedades formales —lógicas— del lenguaje, del mundo" [T. L. P., 6.12]. Lo mismo podemos decir de las proposiciones de la matemática, puesto que, como hemos visto, para Wittgenstein la matemática es un tipo de lógica: "La lógica del mundo que las proposiciones lógicas muestran tautologías, la matemática la muestra en ecuaciones" [T. L. P., 6.22].
Para Wittgenstein las proposiciones de la matemática son proposiciones analíticas: "Las proprosiciones de lógica y matemática son carentes de contenido fáctico, ellas no tratan de nada" [T. L. P., 6.124].
Decir y Mostrar
Podemos ver cuán importante es la distinción entre decir y mostar. De las proposiciones de la lógica y de la matemática nada puede decirse porque lo que ellas expresan es lo que ellas mismas son; ellas tampoco dicen nada, sólo muestran su propia forma (lógica), y de esta nada podemos decir, sólo podemos mostrarla y esto únicamente puede hacerse mediante las proposiciones mismas. En este sentido es que Wittgenstein considera a las proposiciones de la lógica y la matemática como proposiciones analíticas.
Wittgenstein establece entonces que las reglas de la lógica deben ser enteramente sintácticas, deben ser reglas acerca de la manipulación de símbolos. En lógica no se pueden formular reglas semánticas, reglas acerca del significado de los símbolos, ni tampoco dar una justificación sintáctica basada en significados de símbolos [T. L. P., 3.33-3.331]. Para dar cuenta de las propiedades lógicas de un lenguaje tendríamos que emplear un lenguaje sin esas propiedades, pero un lenguaje tal sería un lenguaje ilógico, lo cual es imposible. Además, la condición de representación es la comunidad de la forma lógica entre la representación y lo representado.
Entonces ¿de qué depende el valor veritativo de las proposiciones de la lógica y de la matemática? Wittgenstein dice [T. L. P., 4.46] que entre los posibles grupos de condiciones de verdad,16 hay dos casos extremos; uno de ellos corresponde a las tautologías, es decir, proposiciones verdaderas para todas las condicones de verdad de las proposiciones elementales;17 el otro grupo corresponde a las contradicciones, proposiciones falsas para todas las posibilidades de verdad. Ambos grupos de proposiciones muestran que no dicen nada. "La tautología no tiene condiciones de verdad, pues es incondicionalmente verdadera; y la contradicción, bajo ninguna condición es verdadera" [T. L. P., 4.461]. Como las condiciones de verdad determinan el campo que la proposición deja libre para los hechos, la tautología deja a la realidad todo el espacio lógico, la contradicción no deja ninguno [T. L. P., 4.463]. "La verdad de las tautologías es cierta; la de las proposiciones posible; la de las contradicciones, imposible" [T. L. P., 4.464].
Ahora bien, las proposiciones de la lógica son tautologías [T. L. P., 6.1]. Ellas no dicen nada, son proposiciones analíticas [T. L. P., 6.11]. Para hallar su verdad no necesitamos recurrir a nada distinto del símbolo. Lo que determina que ciertas maneras de unión de proposiciones den tautologías son algunas propiedades de estructura. Si las proposiciones, al unirse de cierta manera dan una tautología, entonces esto nos muestra que poseen estas propiedades de estructura. "El hecho de que las proposiciones de la lógica sean tautologías muestra las propiedades formales —lógicas— del lenguaje" [T. L. P., 6.12]. "Las proposiciones de la lógica demuestran las propiedades lógicas de las proposiciones que no dicen nada" [T. L. P., 6.121].
Lo mismo puede decirse de las proposiciones de la matemática. "La lógica del mundo, que en las proposiciones de la lógica aparece en tautologías, aparece en matemáticas en ecuaciones" [T. L. P., 6.22]. Por lo tanto, las proposiciones de la matemática carecen de contenido facual. "Y que las proposiciones de la matemática puedan probarse, no significa otra cosa que su exactitud es reconocible sin necesidad de comparar los hechos, en cuanto a su exactitud, lo que ellas expresan" [T. L. P., 6.2321].
Por otra parte, el que a las proposiciones de la lógica y la matemática no corresponda ningún contenido, sino que ellos son la mera exhibición de la forma lógica del lenguaje, indica que no hay manera de hacer factualmente significante a ningún tipo de observación acerca de estructuras lógicas o matemáticas. En definitiva, para Wittgenstein no existen entidades, ni lógicas ni matemáticas, de ningún tipo.
Naturaleza de los Enunciados Matemáticos
El rechazo de la idea de que hay una realidad matemática sobre la cual se fundamenta nuestra práctica matemática no es mero prejuicio contra las entidades abstractas. Colocar un grupo de objetos en correspondencia con nuestras teorías no serviría para ningún propósito, cualquiera que sea. Supuestamente, la función de tales entidades debería ser la de proporcionarnos un criterio de exactitud en matemática; entonces sería verdad sólo en el caso de que registre exactamente el estado de cosas en el mundo matemático, y falso si realiza una exigencia para la cual no habría ningún hecho correspondiente. Según Wittgenstein, una teoría correspondiente a la verdad simplemente no funcionaría en matemática: un dominio de entidades matemáticas simplemente no puede proveernos del criterio necesario de "correcto".
Según, Wittgenstein, el que en un proceso de inferencia un paso correcto o no depende de las propiedades formales de las proposiciones que "entran en juego" dentro de la inferencia, de la semejanza interna de sus formas [T. L. P., 5.23 - 5.231]. Aquello que expresa una relación entre las estructuras de un resultado y sus bases es la operación [T. L. P., 5.22]. "La operación es aquello que hay que hacer con una proposición para obtener otra de ella".
La prueba de una proposición lógica debe ser obtenida desde otras proposiciones lógicas por la aplicación sucesiva de ciertas operaciones con las cuales se continúa obteniendo desde las primeras proposiciones nuevas tautologías. La proposición lógica se forma a partir de otras según reglas simbólicas, sin necesidad de significado [T. L. P., 6.126].
Ya habíamos asomado que Wittgenstein consideraba a la matemática como un método de la lógica [T. L. P., 6.234]. La matemática será un método mediante el cual podremos mostrar que una proposición es analítica. Ahora bien, lo esencial del método matemático consiste en trabajar con ecuaciones [T. L. P., 6.2341]. "el método por el cual la matemática obtiene sus ecuaciones es el método de sustitución: las ecuaciones expresan la sustituibilidad de dos expresiones, y procedemos de un número dado de ecuaciones a otras nuevas ecuaciones, sustituyendo las expresiones por otras, de acuerdo con las ecuaciones" [T. L. P., 6.24]. Es evidente que para Wittgenstein es inecesaria la existencia de entidades matemáticas.
La serie de números naturales, por ejemplo, es una serie formal y, como tal, es ordenada por relaciones internas [T. L. P., 4.1252]. Estas relaciones internas son expresadas, como hemos visto, presentando una proposición como resultado de una operación que la produce a partir de otras proposiciones [T. L. P., 5.21]. La realación interna que ordena una serie es equivalente a lamoperación por la cual un término alcanza a otro [T. L. P., 5.232; 5.252; 4.1273]. Más que el establecimiento de objetos abstractos, la serie de numerales es simplemente una serie formal de términos ganerada por operaciones.
Las funciones de verdad lógica, también tienen que ser vistas en términos de operaciones que las expresan, y estas reglas deben concebirse fuera de la noción de objetos lógicos o constantes [T. L. P., 5.32]. Las relaciones internas y las operaciones que las expresan son una función de la estructura de las proposiciones, y la operación no caracteriza una forma sino solamente la diferencia entre formas [T. L. P., 5.241; 5.2 - 5.21]. Aparentemente, Wittgenstein está de acuerdo con la idea de que la lógica es la teoría de las formas y de la inferencia [T. L. P., 6.1224].
Se hace evidente entonces que no hay criterio ni patrón independiente sn contra del cual la lógica y la matemátikca tengan que ser juzgadas. La lógica debe bastarse a sí misma [T. L. P., 5.473]. Por ejenplo, no poseemos leyes que sirvan para justificar nuestras inferencias. Las leyes de inferencia no tienen sentido y son superfluas [T. L. P., 5.132].
En resuman, los enunciados de la lógica y de la matemática, más que describir una realidad abstracta, proveen un tipo de esbozo de descripción del mundo físico. Wittgenstein establece que las proposiciones lógicas describen el armazón del mundo, o más bien la presentan [T. L. P., 6.124]. Los enunciados de la matemática nos proveen de estructuras de inferencia que nos permiten ir de una proposición (empírica o no) a otra; pero no nos dan ningún tipo de información significante ellas mismas. "En la vida no es una proposición matemática lo que necesitamos, sino que utilizamos éstas para inferir de proposiciones que nopertenecen a la matemática otras proposiciones, las cuales tampoco pertenecen a la matemática" [T. L. P., 6.211]. El rol de los enunciados formales es proveer una estructura para nuestro lenguaje, así como unñímite a lo que podemos pensar. "Que la lógica es a priori consiste en que no podemos pensar ilógicamente" [T. L. P., 5.4731]. "Los límites de mi lenguaje significan los límites del mundo" [T. L. P., 5.6].
La matemática y la lógica no nos proveen de hechos sino de una figura (marco) o estructura para los hechos, y son básicamente objeto de técnica u operaciones. Ellas no son precedidas por ninguna otra especie de realidad abstracta, sino que debemos considerarlas como auto-justificadas.
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