Meu Mundo

01. As prefeituras das cidades A, B e C construíram uma ponte sobre o rio próximo a estas cidades. A ponte dista 10 km de A, 12 km de B e 18 km de C. O custo da construção, R$ 8.600.000,00, foi dividido em partes inversamente proporcionais às distâncias das cidades à ponte. Com a construção, a prefeitura da cidade A teve um gasto de:
a) R$ 3.200.000,00 b) R$ 3.600.000,00 c) R$ 3.000.000,00
d) R$ 3.800.000,00 e) R$ 3.400.000,00
Solução: dividir o custo inversamente proporcional a 10,12 e 18, significa dividir o custo em partes diretamente proporcional a 1/10, 1/12, 1/18 ou 18, 15 e 10 (valores obtidos multiplicando as frações por 180).
Temos então: 18 + 15 + 10 = 43.
8.600.000 : 43 = 200.000.
Gasto da prefeitura A: 200.000 x 18 = 3.600.000,00. Resposta: letra (b)

02. Em determinado concurso, os candidatos fizeram uma prova contendo 25 questões. Pelas normas do concurso, os candidatos não poderiam deixar questões em branco e, na correção da prova, seriam atribuídos (+ 2) a cada resposta certa e (-1) a cada resposta errada. A nota da prova seria a soma dos valores atribuídos às questões. Se um candidato obteve nota 17, o número de questões que ele acertou foi:
a) 13 b) 11 c) 12 d) 10 e) 14
Solução: Sejam x e y os números das questões certas e erradas, respectivamente.
Temos então: x.2 + y.(-1) = 17 Û 2x – y = 17 e x + y = 25.
Somando as duas equações: 3x = 42 Þ x = 14. Resposta: letra (e).

03. Duas empresas dispõem de ônibus com 60 lugares. Para uma excursão, a Águia Dourada cobra uma taxa fixa de R$ 400,00 mais R$ 25,00 por passageiro, enquanto a Cisne Branco cobra uma taxa fixa de R$ 250,00 mais R$ 29,00 por passageiro. O número mínimo de excursionistas para que o contrato com a Águia Dourada fique mais barato que o contrato com a Cisne Branco é:
a) 37 b) 41 c) 38 d) 39 e) 40
Solução: custo na empresa Águia Dourada = 400 + 25x. Custo na empresa Cisne Branco = 250 + 29x.
Devemos ter 400 + 25x < 250 + 29x Þ 4x > 150 Þ x > 150/4 = 37,5.
Como x deve ser inteiro e o menor possível, x = 38. Resposta:letra (c).

04. Uma das maneiras de se resolver a equação exponencial 2^x - 2^-x = 3 consiste em multiplicá-la, membro a membro, por 2^x . Isto resulta em uma equação quadrática cujo discriminante é:
a) 12 b) 14 c) 11 d) 13 e) 10
Solução: (2^x).2^x – (2^x).(2^-x)= 3.2^x Û (2^x)² – 3.(2^x) – 1 = 0.
O discriminante dessa equação é: D = b² – 4.a.c = (-3)² – 4.(1).(-1) = 9 + 4 = 13. Resposta: letra (d)

05. Simplificando-se a expressão

onde x e y são números positivos e distintos, obtém-se:

a) 1/x b) 2y c) xy d) 1/ y e) 2x
Solução: decompondo o numerador e o denominador da primeira fração teremos:
(x² + xy) = x.(x + y) e x²– y² =(x + y).(x – y).
Simplificando resulta x/(x – y).
Dos termos entre parênteses pode-se obter: (x – y)/xy.
Assim, a expressão é equivalente a [x/(x – y)].[(x – y)/xy] = 1/y. Resposta: letra (d)

06. Éder e Vando, alunos de 7a série, brincam de modificar polinômios com uma Regra de Três Passos (R₃P). No 1º passo, apagam o termo independente; no 2º passo, multiplicam cada monômio pelo seu grau; e, no 3º passo, subtraem 1 no grau de cada monômio. Pela aplicação da R₃P ao polinômio p(x) = (2x +1).(x -3) obtém-se o polinômio:
a) 4x –5 b) 2x + 3 c) 4x + 5 d) 4x + 3 e) 2x - 5
Solução: (2x +1).(x -3) = 2x² –5x – 3.
Primeiro passo: tirando o termo independente: 2x² – 5x
Segundo passo: multiplicando cada monômio pelo seu grau, resulta 2x².2 – 5x.1 = 4x² – 5x.
Portanto, o polinômio permanece 2x² – 5x.
Terceiro passo: subtraindo 1 no grau de cada monômio, resulta 4x – 5. Resposta: letra (a)

07. A sorveteria Doce Sabor produz um tipo de sorvete ao custo de R$ 12,00 o quilo. Cada quilo desse sorvete é vendido por um preço de tal forma que, mesmo dando um desconto de 10% para o freguês, o proprietário ainda obtém um lucro de 20% sobre o preço de custo. O preço de venda do quilo do sorvete é:
a) R$ 18,00 b) R$ 22,00 c) R$ 16,00 d) R$ 20,00 e) R$ 14,00
Solução: de acordo com o enunciado, 90%PV = 120%.PC Þ 0,9.PV = 1,2*12,00 Þ
Þ PV = 14,4/0,9 = 16,00. Resposta: letra (C).

08. Sejam as matrizes

onde x e y são números reais e M é a matriz inversa de A. Então o produto x y é:
a) 3/2 b) 2/3 c) ½ d) ¾ e) 1/4
Solução: Se M é a inversa de A, então det(M) = 1/det(A).
Como det(A) = 1.6- 2.2 = 2 e det(M = xy – (-1).(-1) = xy – 1.
Da relação entre os determinantes: xy – 1 = ½ Þ xy = ½ + 1 = 3/2. Resposta: letra (a)

09. Considere as seguintes afirmativas:
I. A expressão x² + 0,2 x + 0,01 é um quadrado perfeito.
II. As retas de equações y = 2x + 1 e y = 0,5x + 2 são perpendiculares.
III. Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47 , então log 18 = 1,32 .
IV. Dividir um número não-nulo por 0,025 equivale a multiplicá-lo por 40.
Atribuindo V às afirmações verdadeiras e F às falsas, tem-se a seguinte seqüência de símbolos:
a) V, F, V, V. b) F, V, V, F. c) V, F, F, V. d) V, V, F, V. e) F, V, F, F.
Solução:
I. Verdadeiro pois x² + 0,2 x + 0,01 = (x + 0,1)².
II. Falso. Para que duas retas sejam perpendiculares, o produto das declividades (coeficientes de x) deve ser igual a –1. No caso, o produto é 2.0,5 = 1 ¹ -1.
III. Log 18 = log.2.3² = log 2 + 2.log 3 = 0,30 + 2.0,47 = 0,30 + 0,94 = 1,24 ¹ 1,32. Falso.
IV. x/0,025 = x/(25/1000) = x/(1/40) = x.40. Verdadeiro. A ordem é VFFV. Resposta: letra (c).

10. Há diversas maneiras de se calcular a dose infantil de um medicamento, sendo conhecida a do adulto. Entre outras, é conhecida a fórmula de Young, dada, em função da idade da criança (em anos), por:

Para André e seu irmão Paulo, cinco anos mais novo, são calculadas as doses infantis, para um dado medicamento, através desta fórmula. Sabendo-se que a dose para André é o dobro da dose para seu irmão, a idade de Paulo (em anos) é:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 2 e) 6
Solução: Sejam A e P as doses de André e Paulo, x_A e x_P as respectivas idades e D a dose para adulto.
Temos: A = [x_A/(x_A + 12)].D e P =[x_P/(x_P + 12)].D.
Dividindo membro a membro as igualdades, resulta: A/P = [x_A.(x_P + 12)]/[x_P.(x_A+12)].
Como A = 2P e x_A = x_P + 5,
2/1 = [x_A.(x_A- 5 + 12)]/[(x_A– 5).(x_A+12)] Û x_A.(x_A+ 7) = 2. (x_A– 5).(x_A+12) Û
Û x_A² + 7x_A = 2x_A² + 14x_A – 120 Û x_A²+ 7 x_A – 120 = 0.
Resolvendo a equação obtém-se: x_A = 8 e x_A = - 15 (não serve pois não há idade negativa)
A idade de Paulo é então 8 – 5 = 3 anos. Resposta: letra (a)

11. A figura abaixo representa o gráfico de uma função f .
O total de elementos x tais que f(f(x)) = 2 é:
a) 2 b) 4 c) 0 d) 3 e) 1
Solução: do gráfico f(0) = 2. Portanto, f(x) = 0. Os pontos onde f(x) = 0 são aqueles onde o gráfico corta o eixo horizontal. Como o gráfico corta o eixo horizontal em 3 pontos, o número de elementos é 3. Resposta: letra (d).

12. O interior de uma jarra é um cilindro circular reto e contém V litros de água. Se fosse retirado 1 litro desta água, o raio, o diâmetro e a altura da água, nesta ordem, formariam uma progressão aritmética. Se, ao contrário, fosse adicionado 1 litro de água na jarra, essas grandezas, na mesma ordem, formariam uma progressão geométrica. O valor de V é:
a) 6 b) 4 c) 9 d) 7 e) 5
Solução: O volume da jarra é V = pR².h.
Sejam R, D e H os elementos para o volume V. Tem-se então: V = pR².H.
Sejam R, D e h os elementos para o volume quando retirado 1 litro. Os três formam uma PA de razão r = 2,
pois D = 2R e r = 2R – R = R. Assim, h = 2R + R =3R.
Temos então V - 1 = pR².h = pR².3R Þ V – 1 = 3pR³. (1)
Sejam R, D e h’ os elementos para o volume quando acrescentado 1 litro.Os três formam uma Pg de razão q = 2, pois D = 2r e q = 2R/R = 2. Assim, h’ = 2R.2 = 4R.
Nesta situação: V + 1 = pR².4R Þ V + 1 = 4pR³. (2).
Subtraindo as duas expressões para o volume: 2 = pR³.
Levando este valor em (2), V + 1 = 4.2 Þ V = 8 – 1 Þ V = 7. Resposta: letra (d)

13. Na figura abaixo, que representa um triângulo retângulo isósceles DABC, os catetos medem 4. Os segmentos paralelos a BC dividem AB em 4 partes iguais; e os segmentos que partem do vértice A fazem o mesmo com o cateto BC .
A área do trapézio hachurado é:
a) 9/8 b) 5/8 c) 3/8 d) 7/8 e) 1/8
Solução: Por semelhança conclui-se que:
(1) base maior do trapézio = ¾ de ¼ do cateto BC = (¾).1 = 3/4.
(2) base menor do trapézio = 2/4 de ¼ do cateto BC = (2/4).(1) = 1/2.
(3) altura do trapézio = distância entre duas verticais = ¼ do cateto AB = (1/4).4 = 1.

A área do trapézio é então: (3/4 + 1/2).(1/2) = (5/4).(1/2) = 5/8. Resposta:letra (b)

14. Considere A = {x Î Z / x² = 2 | x |} e B = {p ÎZ / C_6,p= C_6,2}, onde C_n,pindica o número de combinações simples de n elementos tomados p a p . O total de subconjuntos de AÈB que contêm três elementos é:
a) 4 b) 7 c) 6 d) 3 e) 5
Solução:
Para o conjunto A: Se x > 0; x² = 2x Þ x² – 2x = 0 Þ x.(x – 2) = 0 Þ x = 0 ou x = 2.
Se x < 0, x2 = 2.(-x) Þ x2 + 2x = 0 Þ x(x + 2) = 0 Þ x = 0 (não serve) ou x = - 2.
O conjunto A é então:A = {-2, 0, 2}.
Para o conjunto B: p = 2 ou p + 2 = 6 Þ p = 4. Portanto: B = {2, 4}.
Assim, AÈB = {-2, 0, 2, 4} . O número de subconjuntos com 3 elementos é C4,3 = 4![(3!.(4 – 3)!] = 4.3.2.1/3.2.1.1 = 4. Resposta: letra (a).

15. O número complexo i (i² = -1) é uma das raízes do polinômio de coeficientes inteiros
p(x) = 2x³ + ax² + bx - 1. A única raiz real deste polinômio é:
a) 1/3 b) ¼ c) 1/5 d) 1/6 e) 1/2
Solução: se i é raiz então o conjugado de i, que é –i, também é raiz.
O produto das três raízes é – (-1)/2 = ½.
Assim, i.(-i).x₃ = ½ Þ - i².x₃ = ½ Þ x₃ = ½. Resposta: letra (e)

Resolvido e editado por Cesário José Ferreira