PLANO DE AULA


Título: Interações fundamentais da natureza

 

Assunto: Forças de interação

 

Autor: Antônio Donizeti

 

Série: 3.º série do ensino médio

 

 

Tempo necessário: 2 aulas

 

Objetivo: Passar aos alunos uma visão ampla das forças naturais que atuam no seu cotidiano. Com isso deseja-se que os mesmos possam observar com maior senso crítico o universo que os cerca.

 

Introdução

 

As interações entre os constituintes mais elementares da matéria, conhecidos até o presente, podem ser classificadas em 4 tipos (em ordem crescente da intensidade da interação)

As interações nucleares operam somente na escala microscópica (nuclear e sub-nuclear), decaindo muito rapidamente para grandes distâncias. Fenômenos macroscópicos no domínio da física clássica, podem ser estudados levando-se em conta somente as interações gravitacional e eletromagnética. Embora estas duas interações possuam certas semelhanças qualitativas formais, do ponto de vista quantitativo elas diferem em várias ordens de grandeza. De fato, considerando a interação entre, por exemplo, dois elétrons,

\begin{displaymath} \frac{\hbox{Atração gravitacional}} {\hbox{Repulsão elétrica}}=\frac{1}{4,17\times 10^{42}}. \end{displaymath}


Apesar desta gigantesca diferença, os efeitos da interação gravitacional nos parecem mais perceptíveis do que a interação eletromagnética. Isto ocorre porque a força elétrica pode ser tanto atrativa como repulsiva. Já a gravitação atua em todos os corpos materiais (na verdade, em qualquer forma de energia) sempre de maneira atrativa. Entretanto, este mascaramento da interação eletromagnética, relativamente à gravitacional, desaparece totalmente (na verdade ele se inverte) quando consideramos efeitos não estáticos, como a interação da matéria com ondas eletromagnéticas.

Desenvolvimento:

Carga elétrica

A existência de atração e repulsão foi descrita pela primeira vez em termos de cargas elétricas por Charles François de Cisternay du Fay em 1773. Investigando-se a eletrização por atrito concluiu-se que existem dois tipos de carga: carga positiva e carga negativa, como mostra a figura 1.

\begin{figure}\begin{center} \epsfbox{cargas.eps}\end{center}\end{figure}

Figura 1:

 

Conservação da carga

Normalmente um corpo é neutro por ter quantidades iguais de cargas positivas e negativas. Quando o objeto I transfere carga de um dado sinal para o objeto II, o objeto I fica carregado com carga de mesmo valor absoluto, mas de sinal contrário. Esta hipótese, formulada pela primeira vez por Benjamin Franklin, é considerada a primeira formulação da lei de conservação de carga elétrica.

Quantização da carga

Em diversos problemas que serão abordados neste curso, assumiremos a existência de cargas distribuídas continuamente no espaço, do mesmo modo como ocorre com a massa de um corpo. Isto pode ser considerado somente uma boa aproximação para diversos problemas macroscópicos. De fato, sabemos que todos os objetos diretamente observados na natureza possuem cargas que são múltiplos inteiros da carga do elétron

\begin{displaymath} e=1,602177\times 10^{-19}C, \end{displaymath}


onde a unidade de carga $C$, o coulomb, será definida mais adiante. Este fato experimental foi observado pela primeira vez por Millikan em 1909.

A Lei de Coulomb

A primeira constatação de que a interação entre cargas elétricas obedece à lei de força

\begin{displaymath} F \propto \frac{1}{r^2}, \end{displaymath}

(1)


onde $r$é a distância entre as cargas e $F$é o módulo da força, foi feita por Priestley em 1766. Priestley observou que um recipiente metálico carregado, não possui cargas na superfície interna, 1, não exercendo forças sobre uma carga colocada dentro dele. A partir deste fato experimental, pode-se deduzir matematicamente a validade de (1) O mesmo tipo de dedução pode ser feita na gravitação, para mostrar que dentro de uma cavidade não há força gravitacional.

Medidas diretas da lei (1) foram realizadas em 1785 por Coulomb, utilizando um aparato denominado balança de torção. Medidas modernas mostram que supondo uma lei dada por

\begin{displaymath} F \propto \frac{1}{r^{2+\epsilon}}, \end{displaymath}

(2)


então $\vert\epsilon\vert<3\times 10^{-16}$[6].

O resultado completo obtido por Coulomb pode ser expresso como

\begin{displaymath} \vec F_{2\;1}= k \frac{q_1 q_2}{(r_{12})^2}\hat r_{12}, \end{displaymath}


onde a notação está explicada na figura 2.

\begin{figure}\begin{center} \epsfbox{coulomb.ps}\end{center}\end{figure}

Figura 2:

Um outro fato experimental é a validade da terceira lei de Newton,

\begin{displaymath} \vec F_{2\;1} = - \vec F_{1\;2}. \end{displaymath}


Sistema de unidades

No sistema MKSA a carga elétrica é medida em unidades de coulomb ($C$) e a constante de Coulomb $k$é dada por

\begin{displaymath} k=8,9875\times 10^9 N\cdot m^2/C^2 \end{displaymath}


É conveniente definir também a constante de permissividade do vácuo, $\epsilon_0$dada por

\begin{displaymath} \epsilon_0=\frac{1}{4\pi k} \end{displaymath}

(3)


A unidade de carga $C$é definida em termos da unidade de corrente, o ampère, $A$; em um segundo, a quantidade de carga que atravessa uma seção transversal de um fio, por onde flui uma corrente de $1\, A$é $1\, C$.

Princípio de superposição

Em situações mais gerais, quanto existem mais de duas cargas no vácuo, a experiência mostra que vale o princípio de superposição, ou seja, a força sobre cada carga é a soma vetorial das suas interações com cada uma das outras cargas. Portanto,

\begin{displaymath} \vec F_i = \sum_{j\neq i} \vec F_{i\;j}= k q_i \sum_{j\neq i} \frac{q_j}{(r_{ji})^2}\hat r_{ji}, \end{displaymath}

(4)


O Campo

Consideremos a equação (4) aplicada à força sentida por uma carga $q_0$, devida à $N$cargas $q_1\cdots q_N$

\begin{displaymath} \vec F = q_0 k \sum_{j=1}^N \frac{q_j}{(r_{j})^2}\hat r_{j}, \end{displaymath}

(5)


onde $r_j$é a distância desde a carga $q_j$até o ponto do espaço onde se encontra a carga $q_0$e $\hat r_{j}$é o vetor unitário apontando na direção da linha que une as cargas $q_j$e $q_0$, no sentido de $q_j$para $q_0$. Esta equação pode ser escrita formalmente como

\begin{displaymath} \vec F = q_0 \sum_{j=1}^N \vec E_{j} = q_0 \vec{E}, \end{displaymath}

(6)


onde

\begin{displaymath} \vec E = \sum_{j=1}^N \vec E_{j} = k \sum_{j=1}^N \frac{q_j}{(r_{j})^2}\hat r_{j}. \end{displaymath}


A grandeza $\vec E$é denominada campo elétrico e está definida em todos os pontos do espaço. Para que possamos observar, ou seja, medir, o campo elétrico $\vec E$, é preciso posicionar uma carga em um determinado ponto do espaço, medir a força sentida por esta carga e calcular a razão

\begin{displaymath} \frac{\vec F}{q_0}. \end{displaymath}


Estamos supondo uma situação idealizada, onde a carga $q_0$não altera o campo produzido pelas outras cargas.

A idéia de se introduzir campos na física constitui um passo importante para uma descrição onde as interações são entendidas sem a introdução de ação à distância. Na presente descrição, a interação entre duas cargas se dá em duas etapas. Primeiro a carga $q_1$cria o campo $\vec E$, e em seguida, a carga $q_2$interage com o campo $\vec E$. Este detalhamento, que por enquanto parece um luxo desnecessário, é de fundamental importância em problemas dependentes do tempo, tendo em vista que os sinais eletromagnéticos propagam-se, no vácuo, com a velocidade da luz

\begin{displaymath} c=2,99792458 \times 10^8 m/s \end{displaymath}


 

Bibliografia: Revista Catarinense do ensino de física

                       Editora: UFSC

 

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