Esta página trata sobre equações lineares e tem início mostrando uma aplicação de matrizes e sistemas lineares. As equações lineares assim como os sistemas de equações são muito utilizados no cotidiano das pessoas.

Quais são os números de recipientes x₁, x₂ e x₃ de cada categoria A, B e C, se a companhia deve transportar 42 containers do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo III.

É uma equação da forma

onde:

• x₁, x₂, ..., x_n são as incógnitas
• a₁₁, a₁₂, ...,a_1n são os coeficientes ( números reais ou complexos)
• b₁ é o termo independente ( número real ou complexo)

• 4 x + 3 y - 2 z = 0
• 2 x - 3 y + 0 z - w = -3
• x₁ - 2 x₂ + 5 x₃ = 1
• 4i x + 3 y - 2 z = 2-5i

• 3 x + 3 R[x] y = - 4
• x² + y² = 9
• x + 2 y – 3 z w = 0
• x² + y² = -9

Observação: R[x] é a raiz quadrada do número real x não negativo.

Solução de uma Equação Linear

se

2.(2) + 1.(1) –2.(3) = -1

Sistemas de Equações Lineares

Um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto composto por duas ou mais equações lineares. Um sistema linear pode ser representado da seguinte forma:

onde:

• x₁, x₂, ..., x_n são as incógnitas
• a₁₁, a₁₂, ..., a_mn são os coeficientes
• b₁, b₂, ..., b_m são os termos independentes

Solução de um sistema de equações lineares

Uma sequência (r₁, r₂, ...,r_n) é solução do sistema

se satisfaz identicamente a todas as equações desse sistema.

2x + y = 4
x + 3y = 2
-x – 5y = -2

pois satisfaz identicamente todas as equações do mesmo, isto é, se substituirmos x por 2 e y por 0, os dois membros de cada igualdade serão iguais em todas as equações.

Classificação de Sistemas Lineares

O número de soluções de um sistema linear determina a sua classificação de duas maneiras com relação à sua consistência: sistema possível (consistente) ou sistema impossível (inconsistente).

x + 2y = -1
2x – y = 8

Solução = {(3,-2)}

4x + 2y = 100
8x + 4y = 200

3x + 9y = 12
3x + 9y = 15

Sistemas Equivalentes

Dois sistemas são equivalentes se admitem a mesma solução.

são equivalentes pois admitem a mesma solução x=10 e y=2.

Operações elementares sobre sistemas lineares

Existem três tipos de operações elementares que podem ser realizadas sobre um sistema linear de equações de forma a transformá-lo em um outro sistema equivalente mais simples que o anterior. Na sequência trabalharemos com um exemplo para mostrar como funcionam essas operações elementares sobre linhas. O segundo sistema (o que aparece à direita) já mostra o resultado da ação da operação elementar. Nas linhas iniciais de cada tabela, você encontra a operação que foi realizada.

Resolução de Sistemas Lineares por Escalonamento

Com o auxílio das três Operações Elementares sobre linhas, podemos resolver sistemas lineares. Vamos mostrar como funciona este processo através de um exemplo.

3x + y + z = 20
2x - y - z = -15
-4x + y -5z = -41

Após a operação de escalonamento, observamos que o último sistema pode ser reescrito como:

x = 1, y = 8, z = 9

que é um sistema simples que fornece a solução do sistema.

Sistemas Lineares Homogêneos

Um sistema linear é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial.

2x - y + 3z = 0
4x + 2y – z = 0
x - y + 2z = 0

é determinado, pois possui a solução

S = {( 0,0,0 )}

Regra de Cramer

Esta regra depende basicamente sobre o uso de determinantes. Para indicar o determinante de uma matriz X, escreveremos det(X). Seja um sistema linear com n equações e n incógnitas:

A este sistema podemos associar algumas matrizes:

Quando as posições j=1,2,3 estão relacionadas com x₁, x₂ e x₃ e substituídas pelas incógnitas x, y e z, é comum escrever A_x, A_y e A_z.

Se det(A) é não nulo, é possível obter cada solução x_j (j=1,...,n), dividindo det(A_j) por det(A), ou seja;

Se det(A) = 0, o sistema ainda poderá ser consistente, se todos os determinantes nxn da matriz aumentada do sistema forem iguais a zero.

A matriz A e a matriz aumentada A~ do sistema estão na tabela, em anexo. Como det(A)=0, há a necessidade de verificar se todos os determinantes de matrizes com 3 linhas e 3 colunas da matriz aumentada são nulos.
Se existir pelo menos um deles não nulo, o sistema será impossível e este é o caso pois é não nulo o determinante da sub-matriz 3x3 formada pelas colunas 1, 2 e 4 da matriz aumentada:

Conclusão: Este sistema é impossível.

A matriz A e a matriz aumentada A~ do sistema, aparecem na tabela:

Aqui, tanto det(A)=0 como todos os determinantes de matrizes com 3 linhas e 3 colunas da matriz aumentada são nulos, então o sistema é possível e indeterminado.
Neste caso pode-se observar que a última linha é a soma das duas primeiras e como estas duas primeiras dependem de x, y e z, você poderá encontrar as soluções, por exemplo, de x e y em função de z.

As matrizes A e a dos termos independentes do sistema estão na tabela, em anexo. Como det(A)=7, o sistema admite uma única solução que depende dos determinantes das matrizes A_x, A_y e A_z.
A matriz A_x é obtida pela substituição 1a. coluna da matriz A pelos termos independentes das três equações e ela é dada por:

e det(A_x)=65.

A matriz A_y é obtida pela substituição da 2a. coluna da matriz A pelos termos independentes das três equações e ela é dada por:

e det(A_y)=1.

A matriz A_z é obtida pela substituição da 3a. coluna da matriz A pelos termos independentes das três equações e ela é dada por:

e det(A_z)=14.

Podemos agora obter a solução do sistema dada: