Elementos para a construção de Matrizes.

Aqui tomaremos o conjunto N dos números naturais, como:

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

O produto cartesiano NxN indicará o conjunto de todos os pares ordenados da forma (a,b), onde a e b são números naturais, isto é:

NxN = {(a,b) : a e b são números naturais}

Uma relação importante em NxN é:

S_mn = { (i,j): 1 i m, 1 j n}

Definição de matriz

Uma matriz real (ou complexa) é uma função que a cada par ordenado (i,j) no conjunto S_mn associa um número real (ou complexo).

Uma forma muito comum e prática para representar uma matriz definida na forma acima é através de uma tabela contendo m x n números reais (ou complexos).

Identificaremos a matriz abaixo com a letra A.

a(1,1)	a(1,2)	...	a(1,n)
a(2,1)	a(2,2)	...	a(2,n)
...	...	...	...
a(m,1)	a(m,2)	...	a(m,n)

Observações

m indica o número de linhas e n o número de colunas da matriz A.

Dizemos que a ordem da matriz A é mxn. Se m=n, dizemos que a matriz A é (quadrada) de ordem n.

Na tabela acima a posição de cada elemento a_ij = a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i,j).

Indicamos uma matriz A pelos seus elementos como: A=(a(i,j))

A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j.

Uma matriz quadrada é a que tem o número de linhas igual ao número de colunas, i.e., m=n.

A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos:

a(1,n), a(2,n-1), a(3,n-2), a(4,n-3), a(5,n-4), ..., a(n-1,2), a(n,1)

Uma matriz diagonal é a que tem elementos nulos fora da diagonal principal.

Uma matriz real tem todos os elementos como números reais.

Uma matriz complexa tem todos os elementos como números complexos.

Uma matriz nula tem todos os elementos são iguais a zero.

Uma matriz identidade , denotada por Id, tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal principal.

Uma matriz diagonal tem todos os elementos que estão fora da diagonal principal são iguais a zero, podendo ocorrer que alguns elementos da diagonal principal sejam nulos.

Exemplos:

Matriz 4x4 de números reais:

12	-6	7	18
-23	-24	0	0
0	0	5	0
0	0	0	9

Matriz 4x4 de números complexos:

12	-6+i	7	i
-i	-24	0	0
0	0	5+i	5-i
0	0	0	9

Matriz nula com duas linhas e duas colunas:

0	0
0	0

Matriz nula com três linhas e duas colunas:

0	0
0	0
0	0

Matriz identidade com três linhas e três colunas:

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Matriz diagonal com quatro linhas e quatro colunas:

23	0	0
0	-56	0
0	0	0
0	0	100

Matrizes iguais

Duas matrizes A=(a(i,j)) e B=(b(i,j)), de mesma ordem mxn, são iguais se todos os seus correspondentes elementos são iguais, isto é:

a(i,j) = b(i,j)

para todo par ordenado (i,j) em S_mn.

Exercício: Determinar os valores de x e y para que sejam iguais as matrizes:

1	2
3	4

x-1	y-1
x+y	x²

Soma de matrizes

A soma (adição) de duas matrizes A=(a(i,j)) e B=(b(i,j)) de mesma ordem mxn, é uma outra matriz C=(c(i,j)), definida por:

c(i,j) = a(i,j) + b(i,j)

para todo par ordenado (i,j) em S_mn.

Exemplo: A soma das matrizes A e B, representadas respectivamente por:

-23	10
7	9

10	5
8	9

é a matriz C = A+B, representada por:

-13	15
15	18

Propriedades da soma de matrizes

A1: Associativa
Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem mxn, vale a igualdade:

(A + B) + C = A + (B + C)

A2: Comutativa
Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem mxn, vale a igualdade:

A + B = B + A

A3: Elemento neutro
Existe uma matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A de mesma ordem, fornecerá a própria matriz A, isto é:

0 + A = A

A4: Elemento oposto
Para cada matriz A, existe uma matriz -A, denominada a oposta de A, cuja soma entre ambas fornecerá a matriz nula de mesma ordem, isto é:

A + (-A) = 0

Multiplicação de escalar por matriz

Seja k um escalar e A=(a(i,j)) uma matriz. Definimos a multiplicação do escalar k pela matriz A, como uma outra matriz C=kA, definida por:

c(i,j) = k. a(i,j)

para todo par ordenado (i,j) em S_mn.

Exemplo: A multiplicação do escalar -4 pela matriz A, definida por:

-2	10
7	9

é a matriz C = -4.A

-8	-40
28	36

Propriedades da multiplicação de escalar por matriz

E1: Multiplicação pelo escalar 1
A multiplicação do escalar 1 por qualquer matriz A, fornecerá a própria matriz A, isto é:

1.A = A

E2: Multiplicação pelo escalar zero
A multiplicação do escalar 0 por qualquer matriz A, fornecerá a matriz nula, isto é:

0.A = 0

E3: Distributividade das matrizes
Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k, tem-se:

k.(A+B) = k.A + k.B

E4: Distributividade dos escalares
Para qualquer matriz A e para quaisquer escalares p e q, tem-se:

(p+q).A = p.A + q.A

Multiplicação de matrizes

Seja a matriz A=(a(i,j)) de ordem mxn e a matriz B=(b(k,l)) de ordem nxr. Definimos o produto das matrizes A e B como uma outra matriz C=A.B, definida por:

c(u,v) = a(u,1).b(1,v) + a(u,2).b(2,v) + ... + a(u,m).b(m,v)

para todo par (u,v) em S_mr.

Para obter o elemento da 2a. linha e 3a. coluna da matriz produto C=A.B, isto é, o elemento c(2,3), devemos:

multiplicar os primeiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
multiplicar os segundos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
multiplicar os terceiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
multiplicar os quartos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;
somar os quatro produtos obtidos anteriomente.

Assim:

c₂₃ = a₂₁.b₁₃ + a₂₂.b₂₃ + a₂₃.b₃₃ + a₂₄.b₄₃

Podemos visualizar esta operação através das matrizes seguintes. Basta observar a linha e a coluna em cor azul:

a(1,1)	a(1,2)	a(1,3)	a(1,4)	.	b(1,1)	b(1,2)	b(1,3)	b(1,4)
a(2,1)	a(2,2)	a(2,3)	a(2,4)		b(2,1)	b(2,2)	b(2,3)	b(2,4)
a(3,1)	a(3,2)	a(3,3)	a(3,4)		b(3,1)	b(3,2)	b(3,3)	b(3,4)
a(4,1)	a(4,2)	a(4,3)	a(4,4)		b(4,1)	b(4,2)	b(4,3)	b(4,4)

bservação: Somente podemos multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda.

Propriedades da multiplicação de matrizes

Para todas as matrizes A, B e C que podem ser multiplicadas, temos algumas propriedades:

M1: Nem sempre vale a comutatividade
Em geral, A.B é diferente de B.A, como é o caso do produto que segue, onde A está cor vermelha e B em cor preta:

1	2	3	.	1	2
2	4	6		3	5
3	6	9		7	9

M2: Distributividade da soma à direita

A.(B+C) = A.B + A.C

M3: Distributividade da soma à esquerda

(A+B).C = A.C + B.C

M4: Associatividade

A.(B.C) = (A.B).C

M5: Nulidade do produto
Pode acontecer que o produto de duas matrizes seja a matriz nula, isto é: A.B = 0, embora nem A nem B sejam matrizes nulas, como é o caso do produto:

0	1	.	0	2	=	0	0
0	0	.	0	0	=	0	0

M6: Nem sempre vale o cancelamento
Se ocorrer a igualdade A.C = B.C, então nem sempre será verdadeiro que A = B, pois existem matrizes como a matriz C dada por:

0	5
0	0

e as matrizes A e B dadas respectivamente por:

0	1
0	0

0	2
0	0

de forma que A.C = B.C e não temos que A = B.

Matrizes com propriedades especiais

Uma matriz A é nilpotente de índice k natural, se:

A^k = 0

Uma matriz A é periódica de índice k natural, se:

A^k+1= A

Uma matriz A é idempotente, se:

A² = A

As matrizes A e B são comutativas, se:

A.B = B.A

As matrizes A e B são anti-comutativas, se:

A.B = - B.A

A matriz identidade I_d multiplicada por toda matriz A, fornecerá a própria matriz A, quando o produto fizer sentido.

I_d . A = A

A matriz A será a inversa da matriz B, se:

A.B =I_d

B.A = I_d

A transposta de uma matriz

Dada uma matriz A=(a(i,j)) de ordem mxn, definimos a transposta da matriz A como a matriz

A^t = (a(j,i))

e se observa aqui, que as linhas de A se transformam nas colunas de A^t.

Propriedades da transposição de matrizes

T1: A transposta da transposta da matriz é a própria matriz.

(A^t)^t = A

T2: A transposta da multiplicação de um escalar por uma matriz é igual ao próprio escalar multiplicado pela transposta da matriz.

(kA)^t= k(A^t)

T3: A transposta da soma de duas matrizes é a soma das transpostas dessas matrizes.

(A+B)^t = A^t + B^t

T4: A transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas das matrizes na ordem trocada.

(A.B)^t = B^t . A^t

Matrizes simétricas e anti-simétricas

Uma matriz A é dita simétrica se é uma matriz quadrada tal que:

A^t = A

Uma matriz A é dita anti-simétrica se é uma matriz quadrada tal que:

A^t = -A

Propriedades das matrizes simétricas e anti-simétricas

S1: Se A é uma matriz simétrica de ordem n, então para todo escalar k, a matriz k.A é simétrica.

S2: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B = A + A^t é simétrica.

S3: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B = A - A^t é anti-simétrica.

S4: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então A sempre pode ser decomposta como a soma de uma matriz simétrica S com uma matriz anti-simétrica T, isto é, A = S + T, e neste caso:

S =(A + A^t)/2

T =(A - A^t)/2

MATRIZES e DETERMINANTES
Parte 1

Matriz de ordem mxn : tabela rectangular de números reais (ou complexos) dispostos em m linhas e n colunas. Diz-se então que a matriz tem ordem mxn (lê-se: ordem m por n)
Exemplos:
A = ( 1 0 2 -4 5) ® Uma linha e cinco colunas ( matriz de ordem 1 por 5 ou 1x5)

B é uma matriz de quatro linhas e uma coluna, portanto de ordem 4x1.

NOTAS:
1) se m = n , então dizemos que a matriz é quadrada de ordem n.
Exemplo:

A matriz X é uma matriz quadrada de ordem 3x3 , dita simplesmente de ordem 3 .

2) Uma matriz A de ordem mxn , pode ser indicada como A = (a_ij )_mxn , onde a_ij é um elemento da linha i e coluna j da matriz.
Assim , por exemplo , na matriz X do exemplo anterior , temos a₂₃= 2 , a₃₁= 4 ,
a₃₃ = 3 ,

a₃₁ = 4 , a_3,2 = 5 , etc.

3) Matriz Identidade de ordem n : I_n = ( a_ij)_nxn onde a_ij = 1 se i = j e a_ij = 0 se i ¹ j .
Assim a matriz identidade de 2ª ordem ou seja de ordem 2x2 ou simplesmente de ordem 2 é:

A matriz identidade de 3ª ordem ou seja de ordem 3x3 ou simplesmente de ordem 3 é:

4) Transposta de um matriz A : é a matriz A^t obtida de A permutando-se as linhas pelas colunas e vice-versa.
Exemplo:

A matriz A^T é a matriz transposta da matriz A .
Obs: 4.1) se A = A^t , então dizemos que a matriz A é simétrica.
4.2) Se A = - A^t , dizemos que a matriz A é anti-simétrica.
É óbvio que as matrizes simétricas e anti-simétricas são quadradas .
4.3) sendo A uma matriz anti-simétrica , temos que A + A^t = ` 0 (matriz nula) .

PRODUTO DE MATRIZES
Para que exista o produto de duas matrizes A e B , o número de colunas de A , tem de ser igual ao número de linhas de B.

A_mxn x B_nxq= C_mxq

Observe que se a matriz A tem ordem mxn e a matriz B tem ordem nxq , a matriz produto C tem ordem mxq .
Vamos mostrar o produto de matrizes com um exemplo:

Onde L1C1 é o produto escalar dos elementos da linha 1 da 1ª matriz pelos elementos da coluna1 da segunda matriz, obtido da seguinte forma:
L1C1 = 3.2 + 1.7 = 13. Analogamente, teríamos para os outros elementos:
L1C2 = 3.0 + 1.5 = 5
L1C3 = 3.3 + 1.8 = 17
L2C1 = 2.2 + 0.7 = 4
L2C2 = 2.0 + 0.5 = 0
L2C3 = 2.3 + 0.8 = 6
L3C1 = 4.2 + 6.7 = 50
L3C2 = 4.0 + 6.5 = 30
L3C3 = 4.3 + 6.8 = 60, e, portanto, a matriz produto será igual a:

Observe que o produto de uma matriz de ordem 3x2 por outra 2x3, resultou na matriz produto P de ordem 3x3.
NOTA: O produto de matrizes é uma operação não comutativa, ou seja: AxB ¹ BxA

DETERMINANTES

Introdução:
Entenderemos por determinante , como sendo um número ou uma função, associado a uma matriz quadrada , calculado de acordo com regras específicas .

É importante observar , que só as matrizes quadradas possuem determinante

Regra para o cálculo de um determinante de 2ª ordem
Dada a matriz quadrada de ordem 2 a seguir:

O determinante de A será indicado por det(A) e calculado da seguinte forma :

det (A) = ½ A½ = ad - bc

Exemplo:

Ora, senx.senx + cosx.cosx = sen²x + cos²x = 1 (Relação Fundamental da Trigonometria). Portanto, o determinante da matriz dada é igual à unidade.

Regra para o cálculo de um determinante de 3ª ordem ( Regra de SARRUS).
SARRUS (pronuncia-se Sarrí), cujo nome completo é Pierre Frederic SARRUS (1798 - 1861), foi professor na universidade francesa de Strasbourg. A regra de SARRUS, foi provavelmente escrita no ano de 1833.
NOTA: São escassas, e eu diria, inexistentes, as informações sobre o Prof. SARRUS nos livros de Matemática do segundo grau, que apresentam (ou mais simplesmente) apenas citam o nome do professor, na forma REGRA DE SARRUS, para o cálculo dos determinantes de terceira ordem. Graças ao Prof. José Porto da Silveira - da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, pudemos disponibilizar a valiosa informação acima! O Prof. SARRUS, foi premiado pela Academia Francesa de Ciências, pela autoria de um trabalho que versava sobre as integrais múltiplas, assunto que vocês estudarão na disciplina Cálculo III, quando chegarem à Universidade. (Isto haverá de ocorrer em breve! É o meu desejo!)

Para o cálculo de um determinante de 3ª ordem pela Regra de Sarrus, proceda da seguinte maneira:

1 - Reescreva abaixo da 3ª linha do determinante, a 1ª e 2ª linhas do determinante.
2 - Efetue os produtos em "diagonal" , atribuindo sinais negativos para os resultados à esquerda e sinal positivo para os resultados à direita.
3 - Efetue a soma algébrica. O resultado encontrado será o determinante associado à matriz dada.
EXEMPLO:

2 3 5
1 7 4

Portanto, o determinante procurado é o número real negativo -77.
Principais propriedades dos determinantes

P1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes. (Óbvio, da definição).
P2) o determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais: det(A) = det( A^t ).
P3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero , é nulo.
Obs: Chama-se FILA de um determinante, qualquer LINHA ou COLUNA.
P4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal.
P5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais, é nulo.
P6) multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de uma fila por um número, o determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número.
P7) um determinante não se altera quando se substitui uma fila pela soma desta com uma fila paralela, multiplicada por um número real qualquer.
P8) determinante da matriz inversa : det( A^-1)= 1/det(A) .

Se A^-1 é a matriz inversa de A , então A . A^-1 = A^-1 . A = I_n , onde I_n é a matriz identidade de ordem n . Nestas condições , podemos afirmar que det(A.A^-1) = det(I_n) e portanto igual a 1.
Logo , podemos também escrever det(A) . det(A^-1) = 1 ; logo , concluímos que:
det(A^-1) = 1/det(A).

Obs:
1) se det(A) = 0 , não existe a matriz inversa A^-1. Dizemos então que a matriz A é SINGULAR ou NÃO INVERSÍVEL .
2) se det A ¹ 0 , então a matriz inversa A^-1 existe e é única . Dizemos então que a matriz A é INVERSÍVEL .

P9) Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n , forem nulos (matriz triangular), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

P10) Se A é matriz quadrada de ordem n e kÎ R então det(k.A) = kⁿ . det A

Exemplos:1) Qual o determinante associado à matriz?

Observe que a 4ª linha da matriz é proporcional à 1ª linha (cada elemento da 4ª linha é obtido multiplicando os elementos da 1ª linha por 3). Portanto, pela propriedade P5, o determinante da matriz dada é NULO.

2) Calcule o determinante:

Observe que a 2ª coluna é composta por zeros; FILA NULA Þ DETERMINANTE NULO , conforme propriedade P3 acima. Logo, D = 0.

3) Calcule o determinante:

Ora, pela propriedade P9 acima, temos: D = 2.5.9 = 90

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:

1) As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At é a matriz transposta de A. Se o determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a:

*a) 1/5
b) 5
c) 1/40
d) 1/20
e) 20

2) Seja a matriz A de ordem n onde aij = 2 para i = j e aij = 0 para i ¹ j . Se det (3A) = 1296 , então n é igual a:

Resp: n = 4

3) Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = ( aij )_3X3 , onde aij = i + j se i ³ j ou aij = i - j se i < j. Qual o determinante de A?

Resp: soma dos elementos da diagonal principal = 12 e determinante = 72

4) Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o determinante da matriz 5 A é igual a:

Resp: zero

Paulo Marques
Feira de Santana - BA

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MATEMÁTICA PARA O VESTIBULAR

Prof. PAULO MARQUES e-mail: pgmarques@gd.com.br

MATRIZES E DETERMINANTES - Conclusão.

RESUMO DA TEORIA
Definições:

Chama-se MENOR COMPLEMENTAR ( D _ij) de um elemento a_ij de uma matriz quadrada A, ao determinante que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz.
Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem (3x3) A a seguir :

Podemos escrever:
D₂₃ = menor complementar do elemento a₂₃ = 9 da matriz A . Pela definição, D₂₃ será igual ao determinante que se obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja:

Da mesma forma determinaríamos D₁₁, D₁₂, D_13, D₂₁, D₂₂, D₃₁, D₃₂ e D₃₃. Faça os cálculos como exercício!

COFATOR de um elemento a_ij de uma matriz : cof ( a_ij) = (-1 ) ^i+j . D_ij .

Assim por exemplo, o cofator do elemento a₂₃ = 9 da matriz do exemplo anterior, seria igual a: cof(a₂₃) = (-1)²⁺³ . D₂₃ = (-1)⁵ . 10 = - 10.

Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.

Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já conhecemos as regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só recorremos à este teorema para o cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. O uso desse teorema, possibilita abaixar a ordem do determinante. Assim, para o cálculo de um determinante de 4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo de quatro determinantes de 3ª ordem. O cálculo de determinantes de 5ª ordem, já justifica o uso de planilhas eletrônicas, a exemplo do Excel for Windows, Lótus 1-2-3, entre outros.

Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha ou coluna) que contenha mais zeros, pois isto vai facilitar e reduzir o número de cálculos necessários.

PIERRE SIMON LAPLACE - (1749-1827) - MATEMÁTICO E ASTRÔNOMO FRANCÊS.

Cálculo da inversa de uma matriz.

a) A matriz inversa de uma matriz X , é a matriz X^-1 , tal que X . X^-1 = X^-1 . X = I_n , onde I_né a matriz identidade de ordem n.

b)Matriz dos cofatores da matriz A: é a matriz obtida substituindo-se cada elemento pelo seu respectivo cofator. Símbolo: cof A .

c)Fórmula para o cálculo da inversa de uma matriz:

Onde: A^-1 = matriz inversa de A;
detA = determinante da matriz A;
(cofA)^T = matriz transposta da matriz dos cofatores de A .

1 - Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o seu determinante é igual a:

*a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) -4

2 - UFBA-90 - Calcule o determinante da matriz:

Resp: 15

3 - Considere a matriz A = (aij)4x4 definida por aij = 1 se i ³ j e aij = i + j se i < j. Pede-se calcular a soma dos elementos da diagonal secundária.
Resp: 12

4 - As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At é a matriz transposta de A. Se o determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a:

*a) 1/5 b) 5 c) 1/40 d) 1/20 e) 20

5 - Dadas as matrizes A = (aij)_3x4 e B = (bij)_4x1 tais que aij = 2i + 3j e bij = 3i + 2j, o elemento c₁₂ da matriz C = A.B é:

a)12 b) 11 c) 10 d) 9 *e) inexistente

Prof. Paulo Marques
Feira de Santana - BA
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