* A natureza e os fractais *

Atualizada em 20/06/07

    " O universo não pode ser compreendido a menos que primeiro aprendamos a linguagem no qual está escrito . Ele está escrito na linguagem matemática, e os seus caracteres são os triângulos , círculos e outras figuras geométricas , sem as quais é impossível compreender uma palavra que seja dele ". A partir desta premissa - escrita por Galileu Galilei em 1626 , desenvolvemos o tema desta homepage .

O MUNDO DOS FRACTAIS

Introdução

A geometria euclidiana é habitualmente descrita como fria e austera - ligada a figuras geométricas convencionais  . Ela  é incapaz de  descrever a forma de uma nuvem , de uma montanha , de uma linha costeira ou de uma folha , isto porque as nuvens não são esferas , as montanhas não são cones , as linhas costeiras e as linhas das folhas não são retas nem semicírculos e até a trajetória dos raios de um relâmpago seguem trajetórias imprevisíveis .

A Natureza exibe não apenas um grau mais elevado , mas um nível de complexidade completamente diferente . O número de motivos naturais é para todos os efeitos infinito . A existências desses motivos - no universo - desafia-nos a estudar aqueeelas formas que a geometria Euclidiana não explica .

A geometria fractal nasceu da necessidade de descrever o pormenor irregular e quase aleatório de muitos padrões da natureza, que não podem ser descritas pela geometria tradicional . Com a geometria fractal , a matemática torna-se menos " fria " e "austera "e reconcilia-se , de certo modo , com a velha natureza , que desde sempre lhe tem servido de motivo e inspiração .

O aparecimento da Idéia de Fractal

Como exemplo prático tentemos  medir o perímetro de uma lagoa qualquer . Comecemos por utilizar trenas e réguas de 20m , 10m, 5m, 1m , 0.5 metro , 30cm ,  10cm , etc...O curioso é que o perímetro da lagoa vai aumentando progressivamente , à medida que se diminui a escala de observação (medida) . Porém , o processo experimental tem um limite , pois à medida que nos aproximamos da escala atômica , a observação torna-se impraticável . Existe então um "rendilhado"em todas as escalas , quer em escalas pequenas ou grandes.

AutoSemelhança e a Dimensão Fractal

Se olharmos para o mundo à nossa volta , vemos uma infinita variedade de objetos com numa estrutura geométrica deveras complexa e intrincada : uma folha de árvore , um cristal de neve, uma superfície irregular , ou mesmo uma descarga elétrica . Observando a estrutura microscópica destes objetos o que vemos ? Algo bastante surpreendente : a parte é muito semelhante ao todo. Um fractal possui um número infinito de pequeninas cópias dele próprio : é a propriedade que se chama auto-semelhança.

A autosemelhança está relacionada com o conceito de dimensão fracionária, isto é , pode ser traduzida matematicamente por um coeficiente chamado dimensão fracionária . Esta dimensão , diferente da dimensão topológica habitual (que é um número inteiro) , serve para caracterizar o fractal . Os fractais são objetos matemáticos que se podem definir , segundo Mandelbrot , como "um conjunto ( de pontos no espaço euclidiano) para o qual a dimensão de Hausdorff excede a dimensão topológica ".