Por que existem apenas cinco Poliedros Regulares de Platão?

É fácil entender por que há somente cinco poliedros regulares se, usando sólidos construídos com cartolina, fizermos sua planificação. nivelando os cantos de um poliedro, a soma dos ângulos dos polígonos unidos em cada vértice será menor que . Considere as possibilidades de união de polígonos regulares. é claro , necessitamos, no mínimo, três faces unidas em cada vértice para formar um sólido.

Triângulos - Cada ângulo de um triângulo equilátero mede . Teremos as seguintes possibilidades:

Quadrados - Um quadrado tem 4 ângulos de , então podemos fazer a seguinte união em cada vértice.

Pentágonos - Cada ângulo de um pentágono mede . Deste modo unindo três pentágonos obtemos em cada vértice e o poliedro formado é um dodecaedro:

Hexágonos ou mais lados - Cada ângulo do hexágono mede . Juntando três hexágonos , a soma dos ângulos seria , então não é possível nenhum poliedro com faces hexagonais. Similarmente não é possível nenhum poliedro com faces de 7 lados ou mais.

Assim, há somente cinco poliedros regulares. São os seguintes: