Números Inteiros
Introdução aos números
inteiros
Na
época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez mais a necessidade de
um novo tipo de número, que pudesse ser a solução de equações tão simples como:
x + 2 = 0, 2x + 10 = 0,
4y + 4 = 0
As
Ciências precisavam de símbolos para representar temperaturas acima e abaixo de
0º C, por exemplo. Astrônomos e físicos procuravam uma linguagem matemática
para expressar a atração entre dois corpos.
Quando
um corpo age com uma força sobre outro corpo, este reage com uma força de mesma
intensidade e sentido contrário. Mas a tarefa não ficava somente em criar um
novo número, era preciso encontrar um símbolo que permitisse operar com esse
número criado, de modo prático e eficiente.
Sobre a origem dos
sinais
A
idéia sobre os sinais vem dos comerciantes da época. Os matemáticos encontraram
a melhor notação para expressar esse novo tipo de número. Veja como faziam tais
comerciantes:
Suponha
que um deles tivesse em seu armazém duas sacas de feijão com
Mas
se ele resolvesse despejar no outro saco os
Com
essa nova notação,os matemáticos poderiam, não somente indicar as quantidades,
mas também representar o ganho ou a perda dessas quantidades, através de
números, com sinal positivo ou negativo.
O conjunto Z dos Números
Inteiros
Definimos
o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números
naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é
denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este
conjunto pode ser escrito por:
Z = {..., -4, -3, -2,
-1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
Exemplos
de subconjuntos do conjunto Z
(a)
Conjunto dos números inteiros excluído o número zero:
Z* = {..., -4, -3, -2,
-1, 1, 2, 3, 4,...}
(b)
Conjunto dos números inteiros não negativos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}
(c)
Conjunto dos números inteiros não positivos:
Z- = {..., -4, -3, -2, -1,
0}
Observação: Não existe padronização
para estas notações.
Reta Numerada
Uma
forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta
numerada, considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar,
tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números
inteiros da seguinte maneira:
Ao
observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é
crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta
para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite
pensar que se fosse adotada outra forma, não haveria qualquer problema.
Baseando-se
ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um
e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.
Ordem e simetria no
conjunto Z
O
sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita
na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está
imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).
Exemplos:
(a) 3 é sucessor de 2
(b) 2 é antecessor de 3
(c) -5 é
antecessor de -4
(d) -4 é sucessor de -5
(e) 0 é antecessor de 1
(f) 1 é sucessor de 0
(g) -1 é
sucessor de -2
(h) -2 é
antecessor de -1
Todo
número inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto
-z e ele é caracterizado pelo fato geométrico
que tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjunto
Z que é 0.
Exemplos:
(a) O oposto
de ganhar é perder, logo o oposto de +3 é -3.
(b) O oposto
de perder é ganhar, logo o oposto de -5 é +5.
No conjunto dos números naturais, não é possível
efetuar todos os cálculos, pois o conjunto N tem começo ou seja começa no zero.
No
conjunto N não é possível efetuar a conta 2 – 8,pois em N o 2º membro não pode
ser menor que o 1º.
Por
isso que foi necessário criar um outro conjunto chamado de Z,ou seja Z =
Conjunto dos números inteiros.
O
que significa conjunto dos números inteiros?
Significa
um conjunto formado por uma parte negativa , mais o zero e mais uma parte positiva.
Então temos:
N
= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.......................................}
Z
= {...............,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,...............}
Diante
disso observamos que tanto N quanto Z são conjuntos infinitos,N não tem
extremidade(fim) e Z não tem origem(começo) e nem extremidade(fim).
Observações importantes:
N*,
conjunto dos naturais positivos, {1,2,3,4,5...............}
Z*,
conjunto dos números inteiros sem o zero,{.....-2,-1,1,2,3..........}
Z+,conjunto
dos números inteiros positivos,{1,2,3,4,5,....................}
Z-,conjunto
dos números inteiros negativos,{.......,-4,-3,-2,-1}
Outras Observações Importantes
Todo número positivo é maior
que zero
Todo número negativo é menor
que zero
Zero não é positivo nem
negativo
Qualquer número negativo é
sempre menor que qualquer número positivo
Qualquer número positivo é
sempre maior que qualquer número negativo.
A soma de dois números
opostos será
sempre zero ( -5 + 5 = 0)
Quanto maior for o número
negativo menor ele é ou
seja está mais distante do zero na reta
numérica dos números inteiros
-5 -4
-3 -2 -1
0 1 2
3 4 5
6 7 8
Podemos perceber claramente
que -5 < -4 pois está mais distante do zero
Quanto menor for o número
positivo menor ele é pois está mais próximo do zero
Logo 2 < 5 pois 2 está mais próximo do 0 que o 5.
E assim sucessivamente.
Exercícios
Deverão
ser efetuados os exercícios no caderno de classe.
Coloque > ou < entre
os números
a)5 4 b) -7 2 c)2 -5
d)-9 -8
e) 11 -1
f)11 -11
g) 15 14 h) -99 -100
i) 200 -200
j)-20 20
k) -1000 -1001 l) 8
7 m) 0
-1
n)-1 0
0) -1
1 p)-100 -101
Quem
é maior 0 ou
-1?
Quem
é menor -4 ou -5?
Quem
é maior -6 ou
-7 ?
Quem
é maior – 78 ou -79 ?
Professor Antonio Carlos
e-mail-profeacr@
gmail.com
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