EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a incógnita aparece em expoente.

Exemplos de equações exponenciais:

  1. 3x =81 (a solução é x=4)

  2. 2x-5=16 (a solução é x=9)

  3. 16x-42x-1-10=22x-1 (a solução é x=1)

  4. 32x-1-3x-3x-1+1=0 (as soluções são x’=0 e x’’=1)

Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes:

1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base;

2º) aplicação da propriedade:

 

 

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

  1. 3x=81

    2. Resolução: Como 81=34, podemos escrever 3x = 34

    E daí, x=4.

  2. 9x = 1

Resolução: 9x = 1 Þ 9x = 90 ; logo x=0.

  1. 23x-1 = 322x

    2. Resolução: 23x-1 = 322x Þ 23x-1 = (25)2x Þ 23x-1 = 210x ; daí 3x-1=10,

    de onde x=-1/7.

  2. Resolva a equação 32x–6.3x–27=0.

Resolução: vamos resolver esta equação através de uma transformação:

32x–6.3x–27=0 Þ (3x)2-6.3x–27=0

Fazendo 3x=y, obtemos:

y2-6y–27=0 ; aplicando Bhaskara encontramos Þ y’=-3 e y’’=9

Para achar o x, devemos voltar os valores para a equação auxiliar 3x=y:

y’=-3 Þ 3x’ = -3 Þ não existe x’, pois potência de base positiva é positiva

y’’=9 Þ 3x’’ = 9 Þ 3x’’ = 32 Þ x’’=2

Portanto a solução é x=2

 

 

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Chamamos de funções exponenciais aquelas nas quais temos a variável aparecendo em expoente.

A função f:IRà IR+ definida por f(x)=ax, com a Î IR+ e a¹ 1, é chamada função exponencial de base a. O domínio dessa função é o conjunto IR (reais) e o contradomínio é IR+ (reais positivos, maiores que zero).

 

GRÁFICO CARTESIANO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Temos 2 casos a considerar:

è quando a>1;

è quando 0<a<1.

Acompanhe os exemplos seguintes:

  1. y=2x (nesse caso, a=2, logo a>1)

    2. Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

     

     

    x

    -2

    -1

    0

    1

    2

    y

    1/4

    1/2

    1

    2

    4

     

     

  2. y=(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)

Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico abaixo:

x

-2

-1

0

1

2

y

4

2

1

1/2

1/4

Nos dois exemplos, podemos observar que

  1. o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes;

  2. o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1);

  3. os valores de y são sempre positivos (potência de base positiva é positiva), portanto o conjunto imagem é Im=IR+.

Além disso, podemos estabelecer o seguinte:

 

 

a>1

0<a<1

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x) é crescente e Im=IR+

Para quaisquer x1 e x2 do domínio:

x2>x1 Þ y2>y1 (as desigualdades têm mesmo sentido)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x) é decrescente e Im=IR+

Para quaisquer x1 e x2 do domínio:

x2>x1 Þ y2<y1 (as desigualdades têm sentidos diferentes)

 

INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Chamamos de inequações exponenciais toda inequação na qual a incógnita aparece em expoente.

Exemplos de inequações exponenciais:

 

Para resolver inequações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes:

1º) redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base;

2º) aplicação da propriedade:

a>1

0<a<1

am > an Þ m>n

(as desigualdades têm mesmo sentido)

am > an Þ m<n

(as desigualdades têm sentidos diferentes)

 

EXERCÍCIO RESOLVIDO: