POLINÔMIOS

 Definição

Sendo (a0, a1, a2, ..., an) uma sequência de números complexos e f : C  C dada por:
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 +...+ anxn, define-se a função f por polinômio ou função polinomial associada à sequência dada.


 Princípio da Identidade de Polinômios

Dados os polinômios f(x) e g(x) definidos por:
P(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn
Q(x) = b0 + b1x + b2x2 +...+ bnxn,
então, os dois polinômios são idênticos se, e somente se, assumem valores numéricos iguais para todo x C.

P(x) = Q(x)  a0 = b0; a1 = b1; a2 = b2 ;...; an = bn
(coeficientes de mesmo grau são iguais)



 Polinômios Identicamente Nulos


Um polinômio P(x) é denominado nulo se, e somente se, todos os seus coeficientes forem nulos, ou seja:
P(x) = anxn + an-1xn-1+...+ a1x1+ a0 = 0
an= an-1=...= a1= a0 = 0

Obs.: Qualquer número a é raiz ou zero de um polinômio nulo.


 Adição e Subtração de Polinômios

A adição e subtração de polinômios é feita a partir da adição e subtração dos coeficientes correspondentes a um mesmo grau.


 Multiplicação de Polinômios

A multiplicação de polinômios é feita através da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ou subtração.

Obs.: Se o grau do polinômio P é Gp = n e o grau
do polinômio Q é Gq = m, então o grau do polinômio PG
é Gpq = n + m.

 Divisão de Polinômios

Dados dois polinômios P(x) (dividendo) e D(x) (divisor) com D(x) diferente de zero, dividir P(x) por D(x) é determinar outros dois polinômios Q(x) (quociente) e R(x) (resto) de modo que:

Ou seja, dividir o polinômio P(x) pelo polinômio D(x) é obter os polinômios Q(x) e R(x) tais que:

P(x) = D(x).Q(x) + R(x) onde GR < GD.


 Método de Descartes

Este método é conhecido com o nome de Método dos Coeficientes a Determinar e baseia-se na igualdade de polinômios. O método de Descartes é aplicado da seguinte forma:

P(x) = Q(x).D(x) + R(x)

1) Calcula-se GQ e GR
2) Constroem-se os polinômios Q(x) e R(x), deixando incógnitos os seus coeficientes.
3) Obtém-se os coeficientes incógnitos através da igualdade de polinômios
P(x) = Q(x).D(x) + R(x)



 Dispositivo Prático Briot - Rufini

Este dispositivo é utilizado para dividir um polinômio P(x) por um polinômio do 1º grau da forma x - a. Neste método trabalha-se apenas com os coeficientes do polinômio e com o valor a.




Obs.: Se o resto da divisão é zero, então
o polinômio é divisível pelo polinômio divisor.

 Método da Chave

O método da chave utiliza o algoritmo da divisão, de forma análoga à divisão de números reais.



 Teorema do resto

O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do 1º grau do tipo x - a é igual ao valor numérico do polinômio P(x) para x = a, ou seja, P(a) = R.


A divisão de um polinômio P(x) por um binômio do 1º grau do tipo x + a é igual ao valor numérico do polinômio P(x) para x = -a, ou seja R = P(-a), pois x + a = x - (-a).



 Teorema de D'Alembert

Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio x - a, se e somente se, P(a) = 0.


 Divisão por (x-a)(x-b)

Se um polinômio P(x) é divisível separadamente pelos binômios x-a e x-b, com a diferente de b, então P(x) é divisível pelo produto (x-a)(x-b).

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