Potenciação em Z

Vamos examinar dois casos possíveis:

A base é um número positivo

2 ³ = 2 . 2 .2 = 8

3 ² = 3.3 = 9

A base é um numero negativo

(-2) ³ = (-2) .(-2).(-2)= -8

(-2)⁴ =( -2 ).( -2) .(-2).(-2)= +16

A partir daí concluímos que:

Todo número positivo elevado a qualquer expoente (par ou impar ) resulta um número positivo.

Todo número negativo elevado a um expoente par o resultado é um número positivo.

Todo número negativo elevado a um expoente par o resultado é um número negativo.

Exercícios

Calcule o valor das potências:

a) 1³

b) 4²

c) 4³

d) (-2)⁵

e) (-1)²

f) (-4)²

g) (-4)³

h) (-5)²

i) (-3)⁴

j) 3⁴

Calcule o valor das potências

a)(-3)³

b)(-1)³

c)2³

d)5²

e)(-3)⁴

f)(-8)⁰

g)1⁵

h)(-3)⁵

Efetue:

(-6)1

b)(-10)³

c)100⁰

d(-7)²

e)8²

f)(-2)⁴

g)(-15)²

h)(-8)³

i)12²

j)(-9)³

Propriedades de potências das bases inteiras:

As propriedades que vimos para números naturais são válidas também para números inteiros, assim:

(-2)³ x (-2)² = (-2) ^{3 + 2} = (-2)⁵

(-5)⁵ : (-5)³ = (-5) ^{5- 3} = (-5)²

[-2)²]³ = (-2)^{2 x 3} = ( 2)⁶

[(-2)² .(-3)²]=[ (-2 ) x (-3)]²

Exercícios:

Aplique a propriedade das potências :

a)[(-2)3]²

b)(-3)2 x (-3)4

c)(4)⁵ : (4)²

d)(2x3)²

e)(-2)⁴ x (-2) x(-2)²

f)(2 x 4²)³

g)[(-5)³ .(-5)⁴] : (-5)⁶

h)[(-3)² x (-3)⁴ x (-3)] : (-3)⁷

Resolva os problemas:

1) Qual é o valor da expressão -5 a ²– b ³ para a=-2 e b=-1?

2) Calcule o valor desconhecido,aplicando as propriedades da multiplicação:

a) (3 . x) . 4 =24

b) 5.(x +2)=20

c) -2.(x – 3)=-12

d) -4.(x -3)=-40

e) (2 + x) . 3 = 18

f) -2 .( x +1) =8

3)Encontre o valor de x em cada uma das sentenças a seguir:

a) x : 12 = 3

b) -5. x =30

c) 3 . x – 6 = 12

d) -5 . x + 8 = -22

e) 10 = -60 -2 . x

f) -6 . x= -50 -4

g) x : ( -8 ) = 9

h) 2 . x - 3 = 14 – 1

4)A sentença x + m = -n equivale a :

a )x = m+n

b )x=m(-n)

c) x= -m – n

d )x=-n + m

5)A expressão (a^m.b)n é igual:

a)(a^m)ⁿ.b

b)a^mn.bn

c)a^m-n.bⁿ

d)a^m+n.bⁿ

Diga qual das seguintes afirmações é sempre correta para x≠ 0.

a)(-x)² = -x²

b)-x²=x²

c)(-x²)=x²

d)x²= -(x)²

6)Qual é o número inteiro cujo dobro somado ao seu triplo resulta -60?

Pensei em um nº, dividi o por 8 e subtraí 13.Ainda dividi o resultado por -5 e encontrei 3.Em que nº pensei?

7) Calcule os dois números inteiros positivos cuja soma é 12 e que dão o maior produto.

8)Calcule dois números inteiros positivos cuja soma é 15 e que dão o menor produto.

9)Quais são os dois números inteiros positivos cuja soma é 18 e que resultam o maior produto

10)Quais são os dois números inteiros positivos ou negativos , cujo produto é -21 e cuja soma é 4?

11)Quais são os dois números inteiros cuja soma é zero e cujo produto é -16?

12)Quais são os dois números inteiros cujo produto é 36 e cuja soma é -13?

13)Multipliquei o número 32 por 25 e dividi o produto por um valor

desconhecido.Em seguida adicionei 17 e obtive -23.Qual era o divisor?

14) Sai da cidade A e fui até a cidade B. Na volta , quando faltavam 32km para chegar em A,percebi que esquecera minha carteira em B.Voltei até B e com isso percorri o dobro da distancia entre A e B.Quanto vale essa distancia?

15) Para que valores de K a expressão (-1)^k+1 é um número positivo?

16) Para que valores de k a expressão (-1)^2k é um número positivo?

17)Para que valores de k a expressão (-1)^2k+1 é um número positivo?

18)Para que valores de k a expressão (-1)^2k+1 é um número negativo?

19)Quais os valores de k que tornam nula a expressão (k-1).(k+1)?

20)Se a = -2 e b = -1 ,então qual é o valor da expressão [(-a²)-b]:(a-b)?

21)A expressão ( 2k-4).(3k-9) anula-se para alguns valores de k .Que valores são esses?

22)A expressão x² -6x +9 vale 4 , quando x vale 1, e vale 1 quando x vale 2 Descubra o valor de x para que a expressão toda tenha o valor zero.

23) A expressão x² -9x +20 vale zero para dois valores de x .Descubra esses valores usando os divisores de 20.

Potência com Expoente Negativo

Já sabemos que :

2³=8

(-2)³= -8

Mas quanto vale 2 ^-3?

A resposta é 1/8.

Regra: Para resolvermos potencia com expoente negativo devemos inverter a base e mudar o sinal do expoente, válida para qualquer número diferente de zero

Dessa forma 2^-3 = 1/8 pois invertendo a base fica ½ e mudando o sinal do expoente que é -3 fica 3. logo o calculo a ser feito é:

(1/2)³ =1³/2³ = 1/8.

Exemplos Resolvidos:

Calcule as potencias:

a)3^-2 =1/9

b)2^-2 =1/4

c)3^-1 =1/3

d)1^-3 =1 ( um elevado a qualquer número vale 1)

e)(-1)^-3 =-1

f)(-2)^-4 =1/16

Exercícios:

1)Calcule as potencias:

a) 5 ^-2

b) 2 ^-4

c) 4 ^-1

d) 1^{- 9}

e) 10 ^-2

f) 3 ^-3

2) Utilizando a propriedade de expoente negativo, mostre que (2/3)^-2 =(3/2)²

a)Calcule a seguir o valor das frações:

(2/5)^-2 ( ½) ^-3 ( ¾)^-2

3)Aplique as propriedades das potencias.

a)(-2/5)^-2 . (-2/5)⁴

b)(1/7)⁷ . (1/7)⁹

c)(-2/3)²: (-2/3)³

d)[(-2/5)²]^-5

e)(-1/8)^-8(-1/8)⁶

f)[(-1/4)⁵ .(-3/5)²]³

4)Calcule o valor das expressões:

a) 8^-2 +8²

b)(-3/2)² +7.(1/2)²

c)(1/3)^-2: (-9/2)- (-3/5)^-1

d)(1/5)².(-5/9)^-1+(-2/7)²:(7/9)