PROBABILIDADES
PROBABILIDADE
DE UM EVENTO
Vai dar cara ou coroa?
Chamamos de experimento aleatório a todo processo cujo resultado é
incerto ou não pode ser previsto,mas
que apresenta regularidade.
Assim por exemplo ,quando lançamos uma moeda sobre a mesa pode acorrer
cara ou coroa;no entanto se forem
feitas várias experiências espera-se que cara ou coroa ocorra igual número de
vezes.
A teoria das probabilidades estuda os experimentos aleatórios.
Espaço amostral é o conjunto
de todos os resultados possíveis de um
experimento aleatório.
Evento é qialquer subconjunto de um espaço amostral.
Exemplos:
1)Experimento- Lançar um dado e observar o número que está na face
sorteada.
a)Determinar o espaço amostral
b)Achar o evento ocorrência de um
nº impar.
Solução:
Espaço Amostral S={1,2,3,4,5,6}
Evento = E={1,3,5}
2) Experimento- Lançar uma moeda e observar a face
a)Determinar o espaço amostral
b) Achar o evento cara
Solução:
S = {cara, coroa} S = {C,K}
E ={cara} E = {C}
3) Um casal pretende ter 3 filhos .Que espaço amostral indica todas as possibilidades quanto ao sexo das crianças?
S = {mmm,hhh,mhh,mmh,hmm,hhm,hmh,mhm}
4)Experimento Sortear um número
inteiro entre 1 e 75 num jogo de bingo .
Evento- sair um número maior que
70
S= {1,2,3,4,...................,75}
E= {71,72,73,74,75}
Probabilidade de ocorrer esse evento
P(E)= n( E )/n/( S )
= 5/75 = 0,07 ou 7 %
Outros exemplos:
1) Numa urna há 10 bolas brancas e 30 pretas .Qual a probabilidade de
sortearmos uma bola preta?
Solução:
S= 10 +30 = 40( total de bolas)
E= 30 (bolas pretas)
P= 30/40 então p= 3/4 = 0,75= 75 %
Qual a probabilidade de no evento anterior sair uma bola branca?
Resolução:
P= 10/40 , 1 / 4
que é igual a 0,25 , 25%
2) Qual a probabilidade de alguém acertar a quina da loto jogando 10
números?
Solução:
Espaço amostral –todas as quinas possíveis(cinco números sorteados entre
os 100.
Evento- Todas as quinas possíveis entre os 10 números escolhidos.
N(S)= C100,5 = 100! / 5!95!= 100x99x98x97x96x95!
/5.4.3.2.95! = 752 875 20
N(E)C10,5 = 10!/5!5! = 10.9.8.7.6.5! / 5!.5.4.3.2.
= 252 assim temos
que p(E) = 252 / 752 87 5 20
= 0,00000335 = 0,0000335 %
3) Se jogarmos dois dados um verde e outro branco qual será a probabilidade de obtermos a soma 10?
Solução:
S = 6 x 6 = 36 6 faces em cada dados
Soma 10{ (4,6), (6,4),(5,5)} estas são as possibilidades da soma dar 10.
Então temos 3 possibilidades em 36 possíveis , logo :
P = 3/36 = 0,08 ou seja aproximadamente 8 %.
4) Um casal pretende ter 3 filhos .Qual a probabilidade de serem 2 homens
e uma mulher?
S= 8
{(hhh,mmm,mhh,mmh,mhm,hhm,hmh,hmm)}
Outra forma para achar o espaço amostral
3 filhos , cada filho 2 possibilidades homem ou mulher, logo
S= 2.2.2 = 8
Possiblidades de nascerem 2 homens e uma mulher.
{ hhm,mhh, hmh} = 3 possibilidades.
Logo p = 3 / 8 = 0,38 ou seja 38%
4)Qual a probabilidade de sair
cara 3 vezes seguida no lançamento de uma moeda?
Espaço amostral- (cara ou coroa)3
= 2.2.2=8 possibilidades
evento(KKK) = 1 possibilidade
p = 1/8 = 0,13 = 13%
5)Num baralho de 52 cartas , há 13 cartas de cada naipe
Qual a possibilidade de retirarmos uma carta de paus?
Solução:
S= 52 cartas
E = 13 cartas de paus
P = 13/52 = 0,25 ou 25 %
6) Uma urna tem bolas numeradas de 1 a 50 .Vão ser sorteadas duas dessas
bolas simultaneamente .Qual a probabilidade de saírem as bolas 17 e 37?
S= C50,2 = 50!/2!48! = 50.49.48/2.48! = 50.49/2 =1225
Ou seja temos 1225 pares diferentes que podem ser retirados entre as 50
bolas ,independente da ordem.
E= 1 possibilidade 17 e 37
Então temos 1/1225 = 0,0008 ou 0,08 %
7) Uma vacina contra meningite foi testada entre mil crianças ,imunizando
cerca de 800 delas .Qual é o índice de eficácia da vacina?
S= 1000 crianças
E=800 imunizadas
P = 800/1000 = 0,8 = 80%
8) Silvia lança um dado seiscentas vezes e observa que a face 6 saiu 480
vezes , as demais 120 vezes .Qual a probabilidade estimada para sair a face 6
nesse dado?
P= 480/600 = 0,8 = 80%
9) Numa pesquisa, médicos sanitaristas
descobrem que das 1000 pessoas escolhidas ao acaso , numa região
duzentas tem anemia.Qual a probabilidade de uma pessoa dessa região escolhida
ao acaso ser anêmica?
S= 1000 pessoas
E = 200 pessoas
P= 200/1000 = 0,2 ou 20%
Exercícios
1) Uma urna contém bolas com números inteiros de 1 a 10.uma delas vai ser
sorteada.
Qual o espaço amostral?
{1,2,3,4,5,6,7,8.9.10}
2)Escreva um subconjunto que representa um evento par no exercício
anterior.
E={2,4,6,8,10}
3)Sonia lança uma moeda duas vezes.Qual o espaço amostral?
*) Dê o evento uma cara e uma coroa.
4) Uma urna contem 50 bolas sendo
10 brancas e 40 azuis Qual a probabilidade de ser retirada ao acaso ,uma bola
azul?, dê a resposta também em porcentagem (4/5)
5)Dois dados 1 amarelo e outro verde são lançados sobre uma mesa .Qual a
probabilidade de as faces sorteadas somarem 5? (1/9)
6)Qual a probabilidade de alguém acertar os seis nºs da sena
jogando(3,19,28,37,45,50) =1/ 15 890 750
C50,6 = 50!/ 44!6! = 50.49.48.47.46.45.44! / 44!. 6.5.4.3.2.
= 15890700
7)Um casal pretende ter 4 filhos .Qual é a probabilidade de serem dois
meninos e duas meninas? (3/8)
S = 16 possibilidades
E = 6 possibilidades
hhmm,mmhh,hmmh,hmhm,mhmh,mhhm
Então p = 6/16
8)Num baralho há 52 cartas de 4 naipes :ouro, copas, (vermelhas) e paus e
espadas( pretas). Se tirarmos uma carta ao acaso descubra a possibilidade de um
rei. (1/13)
uma carta de espadas (1/ 4)
7 de ouros (1/52)
Uma figura (valete ,dama ou reis) ( 3/ 13)
Uma carta vermelha (50%)
9) Qual a probabilidade de você ganha na quina fazendo um jogo simples( 5
dezenas)?1/ 1059380
10) Um produto será relançado no mercado com duas novas embalagens.A
pesquisa feita entre duas mil pessoas mostram que 1200 pessoas preferem a 1ª
embalagem , 500 preferem a 2ª e 300 não gostaram de nenhuma delas.Escolhida uma
pessoa ao acaso qual a possibilidade dela gostar da 1ª embalagem?( 0,6)
11) Numa cadeia de cada 40 presos examinados 10 apresentam o sintoma da
Aids .Qual a probabilidade estimada de um prisioneiro dessa cadeia quando
examinado apresentar o sintoma da Aids?(1 /4)
Professor Antonio Carlos
15 de maio de 2004