FRACTALES - "Matemática de Belleza Infinita" ==> Cuerpos Fractales ==> Dimensión Fractal

DIMENSION FRACTAL(1)

UN PRIMER ACERCAMIENTO A LA DIMENSIÓN FRACTAL.-

Ahora que hemos profundizado más el tema Fractal, es momento de que demos un paso más hacia las puertas del conocimiento. Para ello, introduciremos un nuevo concepto que nos será de utilidad a lo largo de todo el desarrollo de este trabajo, el concepto de Dimensión Fractal.

Espero que haya leído ya el problema de la Longitud de la Costa de Bretaña. Si no lo ha hecho, por favor hágalo antes de leer esta sección, ya que haremos referencia a los temas que han sido tratados ahí.

Bueno, el problema de medir la longitud exacta de la costa presenta principalmente algunas complicaciones. Una de ellas, es que si nos acercamos cada vez más (hacemos un "zoom") a la costa, veremos que la longitud "aparente" que habíamos medido en un comienzo, en realidad no es sino una "aproximación" a lo que en realidad es. Algo muy similar a lo que hemos definido como Fractal.

Por ejemplo, imaginemos que una porción de esa costa era "recta". Supongamos también que la medimos con una regla de medir de las que uno utiliza comúnmente y que nos arrojó una medición "exacta" de 1 metro. El problema de esta medición surge ya que si nos acercamos un poco más de la distancia a la que originalmente hicimos la medición, quizá descubriremos (y de hecho así lo haremos) que esa linea recta no era tan recta, sino que estaba constituida de pequeños granitos de arena todos desordenados respecto a neustra rectitud. De esa forma, ya no nos será tan fácil volver a medir, pero descubriremos que cada vez que intentamos medir nuevamente la longitud, y nos acercamos al objeto en cuestión, su longitud resultará ser cada vez mayor de lo que era aparentemente.

Esto ocurre por dos razones: primero, porque la medida depende de la sensibilidad del instrumento que ocupemos -es decir, cuán exacto este sea- para hacerla. Y segundo, porque estamos intentando medir un cuerpo con dimensiones euclidianas, siendo que realmente se trata de cuerpos con "dimensión fractal".

Recordemos que cuando medimos algo solamente comparamos con otra cosa. Y estos "algos" y "cosas" no son más que dimensiones o unidades (que no son lo mismo, por lo demás). Si intentamos medir longitudes, como el caso de la costa de bretaña, lo estaremos haciendo en una dimensión (longitud) y estaremos utilizando conceptos de dimensión euclidiana (es decir, las dimensiones a las que estamos acostumbrados normalmente, una dimension, dos dimensiones, tres dimensiones). Y como sabemos, esta medida no puede ser nunca euclidiana, porque cada vez que nos acerquemos tenderá a infinito. Por lo mismo, deducimos que no puede ser un cuerpo unidimensional. Pero tampoco se trata de un cuerpo de dos dimensiones, porque no deja de ser una línea y si lo vemos de un punto de vista matemático no cubre el plano completo. En fin, el caso es que no nos encontramos frente a una línea unidimensional del tipo clásico euclideano, sino que nos encontramos frente a una línea del tipo clásico "fractal". Es por esta razón que cuando tratamos el Triángulo de Sierprinsky, dijimos que tenía "superficie finita" y "longitud infinita". De hecho, el primer caso podemos justificarlo simplemente, ya que cualquier fractal "lo vemos", es decir, no escapa de nuestra vista infinitamente, pero, como demostramos recién, su longitud tiende a ser infinita. Sin duda, otra de las maravillas del mundo matemático.

Y son estos hechos los que espantaron a los matemáticos contemporáneos a Mandelbrot y tambiém anteriores a él. Pero no todo es tan malo como parece.

En fin, por las razones que hemos venido presentando, podemos inferir intuitivamente que la Dimensión Fractal es un número entre 1 y 2 (solo para el caso de nuestra línea). Sabemos que NO ES 1, ya que sino estariamos frente a una unidimensión euclideana clásica. Y sabemos que no es 2, porque no se trata de cuerpos que cubran en su totalidad el plano. En definitiva, la Dimensión Fractal por lo general es MAYOR O IGUAL que la Dimensión Topológica. Llamemos Dimensión Topológica (Dt) a la dimensión euclídea común que conocemos, aunque realmente no sea tan así.

En artículos posteriores, expondré más profúndamente lo referente a las Dimensiones y la forma exacta en que se genera el concepto -desde un punto de vista matemático- la Dimensión Fractal.

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