3.0. Distribuciones.

A partir de este apartado vamos a considerar la Delta de Dirac de una forma más rigurosa.
De momento nos interesa saber cual es la derivada de la función escalón u(t). Sabemos que esta función no es derivable en el origen por su discontinuidad de salto, y sabemos que antes dijimos, de una forma bastante informal, que su derivada era la Delta. Para solucionar este problema vamos a definir un conjunto mayor que el de las funciones tradicionales en el cual cualquier elemento de dicho conjunto admita una derivada.
Sea V un R-espacio vectorial. Se define el dual de V como V* :El conjunto de las aplicaciones lineales de V en R. Se puede demostrar con facilidad que V* es otro espacio vectorial.
Sea L2(R,R) el conjunto de las funciones de R en R de cuadrado integrable en un cierto intervalo (a,b) (con a<0 y b>0 ).Dichas funciones además se anularán en a y en b.Este conjunto es un espacio vectorial de dimensión infinita. L2(R,R), por ser un espacio vectorial, tiene un espacio dual. Lo llamaremos L* para simplificar la notación. Además se tiene que en L2 podemos definir el siguiente producto escalar:

Al conjunto L* lo llamaremos conjunto de distribuciones y a los elementos de dicho conjunto distribuciones.
Definiremos ahora una aplicación que asocie a cada función una distribución:

De esta manera tenemos que cada función tiene asociada una única distribución asociada. La gracia del invento radica en que hay más distribuciones que funciones. En efecto ahora tenemos distribuciones sin ninguna función asociada:

Como puede comprobarse su función asociada es la delta de Dirac pero hemos quedado en que no era una función.
Ahora nos interesaremos en definir una derivación en el espacio de distribuciones. Esta definición deberá de ser compatible con la derivación de funciones:

Para ello definimos, por fin, la derivada de una distribución como:

No deberína resultar rara para el lector esta definición: Para definir la aplicación lineal derivada de otra damos el método para calcular cualquier imagen de dicha aplicación. La justificación de que tomemos esa definición es la siguiente:

Notese que a partir de esta definición toda distribución admite una derivada. Notemos además que a partir de las definiciones anteriores hemos aprendido a manipular analíticamente las distribuciones; esto no significa, como ya hemos visto, que las distribuciones sean todas ellas funciones.

4.0. La delta de Dirac como distribución.

Ya hemos visto unos conceptos básicos sobre distribuciones. Si el lector quiere más información sobre el tema existe mucha bibiografía referente a este tema. Nosotros ahora nos centraremos en la Delta de Dirac que es tema principal de este artículo.
Entre muchas de las propiedades habiamos visto que la delta era la derivada de un escalón.
Veámoslo:

Veamos como ejemplo cual sería la derivada de una delta:

Así podemos ver que la derivada de la delta es una distribución que 'muestrea' derivadas.

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