LA TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE
3.0. Propiedades de la transformación de Laplace.
De la relació de propiedades que expondré a continuación se podrán ver con facilidad la utilidad de la transformación en casos de resolución de problemás de valor inicial:
Propiedadad 1: Linealidad:
Propiedadad 2: derivación en el tiempo:
Propiedadad 3: derivación en s:
Propiedadad 4: Desplazamiento en s:
Existen muchas otras propiedades que pueden encontrarse en
textos sobre el tema y que omitiré para sólo
exponer lo más importante y no alargar este documento.
La segunda propiedad es para mi la más importante de
todas ya que gracias a ella podemos utilizar la transformación
de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales: La transformación
de Laplace transforma derivadas en productos.
La primera propiedad, la de la linealidad nos permitirá
transformar una ecuación entera quedando sumas y productos
por constantes invariantes.
4.0. Ejemplo de aplicación.
Para poder entender de una forma clara estas ideas lo mejor es
verlo con un ejemplo.
El ejemplo que expongo a continuación trata de ilustrar
la resolución de un problema electrónico mediante
la transformación de Laplace. Cuando tenemos una
ecuación diferencial lineal el método a utilizar es
siempre el mismo: se tranforma la ecuación entera. Como
la ecuación es lineal se tiene como resultado una
ecuación lineal. Hecho esto se despeja la incógnita
y el resultado que se obtiene es una función racional en
s. Por último sólo tenemos que hacer la
transformación inversa de Laplace ( mirar que función
tiene como transformada de Laplace la función que tenemos).
En la práctica, cuando lo que queremos es resolver un circuito
eléctrico, lo que se hace es "transformar el circuito"; es
decir: dado que por los condensadores la corriente que pasa es
la derivada de la tensión aplicada en sus terminales
multiplicada por su capacidad, lo que se hace es asignar al
condensador una "resistencia" de 1/Cs. Dado que el condensador
no es un componente resistivo al término 1/Cs se le pasa
a llamar impedancia del condensador. Así mismo no resulta
difícil entender que la impedancia de una bobina es Ls.
Notemos además que para poder hacer esto es indispensable
contar con condiciones iniciales nulas en las cargas de los
condensadores y en las corrientes de las bobinas. En la mayoría
de los problemas esto será siempre así.
Seguidamente pasaré a resolver el problema para un caso particular: supongamos de vin(t) es un escalón.
Para realizar la transformación inversa de Laplace el mejor
paso a seguir descomponer en suma de fracciones simples la función
a descomponer, como si fueramos a integrarla, y luego relacionar cada
fracción con su correspondiente exponencial.
Existe una fórmula cerrada para obtener la transformada
inversa de Laplace, pero el cálculo, además de
engorroso, es complicado y requiere conocimientos de integración
en el plano complejo. Los interesados en el tema podrán
encontrar informaci6oacute;n al respecto en cualquier libro de
análisis con variable compleja medianamente decente.
En el caso de no tener condiciones iniciales nulas, como en este
ejemplo, no podremos asociar al condensador una impedancia 1/Cs.
En este caso derivar es multiplicar por s y restar la condición
inicial (mirense propiedades). De todas formas en
el análisis de circuitos normalmente sólo se estudia
el régimen permanente con condiciones iniciales nulas; es decir:
condiciones nulas ya que el circuito hace mucho que está funcionando.
