Datoram lui Goldbach et Euler supozitia : " orice numar par este suma a doua numere prime ". Sa o dovedim.
Daca 2N nu ar respecte supozitia, noi luam unul dupa altul toti divizorii
primi 
ai diferentei 2N-1 si formam diferentele 
Adaogand un indice mut i al diferentelor luate, obtinem sistemul
unde, in membrul drept, noi am notat descompunerea
canonica desvoltata dupa indicele 
pentru toti divizorii primi care divid toate
diferentele luate, exceptand j=i, si intelegand ca puterea 
fiecarui
numar prim 
care nu divide diferenta de indice i este luata
ca nula. Prin i=0 am notat relatia cu care am inceput, deci avem
Noi luam
Notand
obtinem
Acum, daca determinantul 
va fi nul, trebue sa evita aceasta
schimband semnul unui element de indice ne nul al diagonalei principale,
fie 
. Daca aceasta
nu este suficient, noi deducem ca minorul obtinut prin eliminarea liniei
si a coloanei n este deasemeni nul si deci noi vom schimba din nou semnul mai multor
elemente ale diagonalei principale astfel ca ajungand, in vecinatatea primului
minor ne nul, el exista, noi obtinem ca determinantul sa devina ne nul.
Deci vom lua
pentru a avea
Aceasta conditie ne impiedica de a avea o solutie ne identic nula a sistemului omogen
Deoarece numai o posibila solutie a sistemului (2) ar conduce la relatia
suntem obligati sa admitem ca nu ar putea exista exponenti 
care sa il satisfaca.
Pe de alta parte neglijand in (1) factorii 
avem
iar sistemul
de aceasta data de n ecuatii cu n+1 necunoscute, avand intotdeauna o solutie neidentic nula,va conduce la o solutie pentru oricare relatii a formelor patratice (3).
La o noua analiza, putem deduce ca se ajunge la al doilea rezultat facand
ca determinantul 
sa fie nul prin 
si
considerand relatia
valabila algebric.
De fapt, inchiderea inelului iteratiilor initiale conduce la un sistem
in care, admitand sau neglijand 
ca factor distinct
intr'un produs de forme patratice, se obtin doua rezultate contradictorii, ambele valabile,
confirmand prin negatie supozitia data.
Printr'un procedeu asemanator putem dovedi supozitia : " oricare numar impar este suma unui numar prim cu dublul unui numar prim ".
Dar noi vom demonstra o alta supozitie: " exista o infinitate de numere prime care depasesc, sau sunt depasite cu o unitate, de dublul unui numar prim ".
In caz contrar fie q cel mai mare numar prim care depaseste cu o unitate dublul unui numar prim.
Incepand cu oricare numar prim impar p<q noi luam unul dupa altul toti divizorii
primi , unul sau mai multi, ai
sumei 2p+1 si formam sumele 
apoi luam din nou, unul dupa altul, toti divizorii primi ai acestora, diferiti de precedentii,
si formam deasemeni cu fiecare alte sume avand aceeasi structura, si repetam
aceasta continuu.
Deoarece, pentru 
, toate sumele 
au cel putin doi divizori
primi, toti divizorii primi ai acestor sume raman mai mici decat q+1 deci fiind in numar
finit, iteratia se termina atunci cand noi am format sume cu toti
divizorii acestora.
Adaogand un indice mut i al sumelor luate, obtinem sistemul
unde, in membrul drept, noi am notat descompunerea canonica, asemanatore celei dela demonstratia anterioara.
Observand ca atat in membrul drept ca si in formulele din membrul stang, noi putem lua la inceput iteratiile pentru
si notand
iar apoi
obtinem sistemul
Ajungem astfel sa exprimam conditia care infirma supozitia, asemanator celei obtinute in demonstratia anterioara.
Urmarea fiind identica nu o vom mai repeta. Singurul lucru ce trebue
subliniat este ca metoda, deci contrazicerea, este obtinuta prin inchiderea
iteratiilor intr'un inel minim, care contine deasemeni factorul .
Generalizand gasim ca pentru u et v constante pozitive, prime intre ele si de paritati diferite, relatia
are o infinitate de solutii cu x si y numere prime.