Einblick in die Arithmantik

 

Kapitel 1 – Zauberer Zahlen System

Als es vor vielen tausend Jahren um die Frage ging, wie unser Zahlensystem aussehen solle, waren sich erst einmal alle Zauberer einig, dass ein stellenbasierendes Zahlensystem als Grundlage gelten muss.

Was ist das?

Es bedeutet, dass eine Zahl eine Folge von Ziffern ist und die Größe der Zahl davon abhängt, an welcher Stelle die Ziffer steht. Falls ihr meint, dass alle Zahlensysteme so aussehen, dann denkt nur mal an die römischen Zahlen. Zum einen kann man nur relativ kleine Zahlen damit darstellen, gebrochene schon gar nicht und versucht erst mal, mit römischen Zahlen zu muliplizieren. Abgesehen davon, dass es für C*C*C (1000 mal 1000 mal 1000) gar keine römische Zahl mehr gibt!
Das stellenbasierende Zahlensystem, das ich euch beibringen werde, funktioniert ganz einfach (zumindest beim zählen):
Ihr müsst nur die Ziffern der Einerstelle hochzählen bis es keine größere Ziffer mehr gibt, danach setzt ihr die nächste Stelle um eins hoch und die aktuelle Stelle auf die Null oder auf die Ziffer, die „nichts" bedeutet.

Also (0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ??? 10.

 Was die Reihenfolge der Ziffern angeht, also ob die Einerstelle ganz links oder ganz rechts steht, darüber mussten wir Zauberer uns zunächst einigen. Da die wichtigsten Zahlen die größten sind und man in der Regel von links nach rechts liest, haben wir uns darauf geeinigt, dass die kleinste Stelle immer rechts steht. Entsprechend der Basis, auf die wir Zauberer uns geeinigt haben, nenn wir sie mal B, bedeutet dann:

 die erste Ziffer ein Vielfaches von Eins
 die zweite ein Vielfaches von B
 die dritte ein Vielfaches von B*B
 die vierte ein Vielfaches von B*B*B und so weiter

Zuallererst mussten wir uns einigen, wie viele Ziffern wir benutzen wollen. Die Variante mit zehn Ziffern (Basis:10) wir uns zu primitiv, weil die Zahlen dann zu lang waren. Aus diesem Grund fielen auch Systeme auf der Basis: 2 (Dualsystem) oder Basis: 8 (Oktalsystem) weg. Die Basis: 16 (Hexadezimalsystem) war da schon besser, aber genügte uns noch nicht. Ein Zauberkollege machte den Vorschlag, die 317 als Basis herzunehmen, weil ihm sein Arbeitgeber nur ein zweistelliges Jahresgehalt versprochen hatte und er unbedingt eine sechsstellige Summe verdienen wollte. Da wir aber damals schon wussten, dass es einmal Computer geben würde und keiner von uns eine Tastatur mit mehr als 300 Tasten bedienen wollte, wurde dieser Vorschlag abgelehnt. Wir beschlossen nach langen Diskussionen, uns also auf die Zeichen der Tastatur zu beschränken. Weitere Teilnehmer der Zaubererkonferenz schlugen vor, alle normalen Ziffern, Buchstaben und Sonderzeichen zu berücksichtigen. Doch bei diesem System war nicht klar, on nun ein „?" kleiner oder größer als ein „!" wäre. Eindeutiger war da schon die Idee, Buchstaben als Ziffern zu verwenden. Der Ansatz, kleine und große Buchstaben als Ziffern zu nehmen, setzte sich allerdings auch nicht durch, da sich die Zahlen dann schlechter aussprechen ließen. Versucht doch mal, zwischen den Zahlen zehn, ZEHN und zEHn zu unterscheiden, da werdet ihr die Schwierigkeiten sogleich erkennen.
Für unsere Ziffern einigten wir uns also auf die Reihenfolge:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z.
Damit hatten wir ein 36er-System als Basis gewählt. Vorschläge, nur 32 dieser Ziffern zu nehmen, fielen aus pragmatische Gründen weg:
Wie soll man einem Zauberschulkind erklären, warum R und S Ziffern sind und X dagegen nicht mehr ? Nur die Buchstaben als Ziffern (26er-System) eigneten sich auch nicht, da sie wesentlich schlechtere Teilbarkeitsregeln zur Folge hätten. Aber dazu später.

Wie rechnet man nun eine Zahl aus einem Zahlensystem in ein anderes Zahlensystem um?

Erst einmal allgemein:

Angenommen, man hat ein System auf der Basis von B-Ziffern, mit den Ziffern Y(0) Y(1).....Y(B-1).
Im Dezimalsystem der Nicht-Zaubermatematik bedeutet das B=10 also wäre Y(0) = 0,Y(1)=1,Y(2)=2...
Y(9)=9=Y(B-1).
Und man kennt die Umrechnung der Ziffern in das vertraute System: Z(Y(0))...Z(Y(B-1)).
Man hat eine Zahl im System mit der Basis B und will wissen, was diese Zahl in dem System bedeutet, in dem man rechnen kann und will. Die Ausgangszahl bestehe aus den Ziffern X(n) X(n-1)....X(2) X(1) X (0).

Dann bedeutet diese Zahl:
z.B. 2*2*2 schreibt man so: 2^3,
2*2*2*2 = 2^4.
Z(X(n))*B^n+Z(X(n-1))*B^(n-1)+...
+Z(X(2))*B^2+Z(X(1))*B+Z(X(0)).

Also an unserem Beispiel:
B=36, Y(0)=0,Y(1)=1,...,Y(9)=9,Y(A)=10,Y(B)=11,
Y(Y)=34;Y(Z)=35, also z.B.
ABC entspricht:
A(10) mal 36*36+
B(11) mal36+
C(12).
Also:ABC=10*36*36+11*36+12=12960+396+12=13368

Besser d.h. schneller, rechnet man übrigens:
ABC=(10*36+11)*36+12=13368.

Oder z.B. die Zahl 123 in unserem System bedeutet:
1023=((1*36+0)*36+2)*36+3=(36*36+2)*36+3=1298*36+3=46731

In der anderen Richtung ist es so ähnlich:
Nimm die Ausgangszahl und dividiere durch 36. Der Rest der Division entspricht der letzten Stelle, mit dem Ergebnis wird weiter gerechnet. Dividiere wieder durch 36, der neue Rest entspricht der vorletzten Stelle und so weiter, bis das letzte Ergebnis kleiner als 36 ist.
Das entspricht dann der ersten Stelle. Also:
46731=1298*36+3(3 ist die letzte Stelle)
1298=36*36+2(2 ist die vorletzte Stelle)
1=0*36+1 (fertig- 1 ist die erste Stelle).

Oder:
13368=371*36+12(12 ist die letzte Stelle, in unserem Zahlensystem, also C)
371=10*36+11 (B also vorletzte Stelle)
10=10(A ist die erste Stelle).

Man kann auch durch Potenzen von 36 teilen, muss aber bei den unbelegten Stellen (Ziffer 0) aufpassen.

Also:
46731=1*46656+75; 46656 ist 36^3.
75=2*36+3
also:
46731 entspricht 1*36^3+0*36^2+2*36+3.
Also 1023.