AMAÇ FOKSİYONU

Min. Z=10x1+12x2 min Z= 10x1+12x2+OS+MA (M=200)

KISITLAYICILAR

2x1+4x2 £ 80 2x1+4x2+S=80

3x1+5x2=150 3x1+5x2+A=150

POZİTİFLİK KOŞULU

x1,x2³ 0

x1,x2,S,A³ 0

Başlangıç Simpleks Tablosu

Cj

10

12

0

200

ÇÖZÜM

AK

TD

X1

X2

S

A

0

S

2

4

1

0

80

200

A

3

5

0

1

150

Zj

600

1000

0

200

30000

Cj-Zj

-590

-988

0

0

cj-zj £ 0 olduğundan cj-zj³ 0 olanla kadar tablo çizilir.

 

Zj (BGÇ=AKS x DKS)

=0x2+200x3=600

=0x4+200x5=1000

=0x1+200x0=0

=0x0+200x1=200

=0x80+200x150=30000

cj-zj =10-600= -590

=12-1000= -988

=0-0= 0

=200-200= 0

Anahtar Sütunun Seçimi

Düzenlenmiş olan başlangıç simpleks tablosunun cj-zj satırına bakılır. Bu problem maliyet minimizasyonu problemi olduğuna göre mutlak değerce en yüksek negatif değerli eleman işleme girmektedir.

O halde

cj-zj –590 –988 0 0

sayısı seçilir.

 

 

Anahtar Sıranın Belirlenmesi

Çözüm sütunu anahtar sütununun içinde yer alan değerlere böleriz ve hangisi en düşük değerli çıkarsa onu anahtar satır olarak alırız.

O halde

X2 oran

4 80 80/4=20 20<30 olduğundan seçilir. Ve

5 150 150/5=30 bu sıra anahtar sıra olur.

Anahtar Sayının Bulunması

Anahtar sütun ile anahtar satırın kesiştiği yerdeki sayıya denir.

O halde burada anahtar sayı 4’tür.

X2

2

4

1

0

80/4=20

5

1000

-988

Temel Sayının Bulunması

Temel sayı anahtar sütun içindeki anahtar sayı dışındaki sayı yada sayılardır.

O halde burada temel sayı 5’tir.

X2

2

4

1

0

80/4=20

5

1000

-988

Temel Sıra Elemanlarının Belirlenmesi

TSE TSE=ASE/AS

=2/4=0,5

=4/4=1

=1/4=0,25

=0/4=0

=80/4=20

Yeni Sıra Elemanlarının Bulunması

ESE

–

(TS

x

TSE)

=

YSE

=3

–

(5

x

0,5)

=

0,5

=5

–

(5

x

1)

=

0

=0

–

(5

x

0,25)

=

-1,25

=1

-

(5

x

0

=

1

=150

–

(5

x

20)

=

50

 

Birinci Simpleks Çözüm Tablosu

Cj

10

12

0

200

ÇÖZÜM

AK

TD

X1

X2

S

A

ORANI

12

X2

0,5

1

0,25

0

20 20/0,5=40

200

A

0,5

0

-1,25

1

50 50/0,5=100

Zj

106

12

-247

200

10240

Cj-Zj

-96

0

247

0

cj-zj £ 0 olduğundan cj-zj³ 0 olanla kadar tablo çizilecek burada –96 var.

Zj (BGÇ=AKS x DKS)

=12x0,5+200x0,5=106

=12x1+200x0=12

=12x0,25+200x-1,25= -247

=12x0+200x1=200

=12x20+200x50=10240

cj-zj nin belirlenmesi ise

=10-106= -96

=12-12=0

=0-(-247)=247

=200-200=0

Anahtar Sütunun Seçimi

Birinci simpleks tablosundaki cj-zj değeri içinde bulunan tek negatif sayı değeri –96 olduğundan bu sayı seçilir yani x1sütunu anahtar sütundur.

 

 

 

 

Anahtar Sıranın Seçimi

Çözüm sütununu anahtar sütunun içindeki değerlere böleriz en düşük değeri alırız. O halde oran

Oran

20/0,5=40 40<100 olduğundan bu sıra anahtar sıra kabul edilir.

50/0,5=100

Anahtar Sayının Bulunması

Anahtar satır ve sütunun kesiştiği yerdeki sayı olduğunu söylemiştik. O halde 0,5 anahtar sayıdır.

1 0,25 0 20

Temel Sayının Belirlenmesi

Anahtar sütundaki anahtar sayı dışındaki sayı yada sayılardır demiştik. halde 0,5 temel sayıdır.

X1

0,5

1

0,25

20

0,5

106

-96

TSE’nin Belirlenmesi

TSE

=

0,5/0,5

=1

=

1/0,5

=2

=

0,25/0,5

=0,5

=

0/0,5

=0

=

20/0,5

=40

YSE’nin Bulunması

ESE

-

(TS

x

TSE)

=

YSE

=0,5

-

(0,5

x

1)

=

0

=0

-

(0,5

x

2)

=

-1

=-1,25

-

(0,5

x

0,5)

=

-1,5

=1

-

(0,5

x

0)

=

1

=50

-

(0,5

x

40)

=

30

İkinci Simpleks Tablosu

Cj

10

12

0

200

ÇÖZÜM

AK

TD

X1

X2

S

A

10

X1

1

2

0,5

0

40

200

A

0

-1

-1.5

1

30

Zj

10

-180

-295

200

6400

Cj-Zj

0

192

295

0

cj-zj ³ 0

Zj (BGÇ=AKS x DKS)

=10

x

1

+

200

x0

=10

=10

x

2

+

200

x(-1)

= -180

=10

x

(0,5)

+

200

x(-1,5)

= -295

=10

x

0

+

200

x1

=200

=10

x

40

+

200

x30

=6400

Cj-Zj

=10-10=0

=12-(-180)=192

=0-(-295)=295

=200-200=0

cj-zj ³ 0 olduğundan ulaştığımız son simpleks çözüm tablosu problemin optimal çözüm değerini vermektedir.

X1=40 X2=0

A=30 S=0 ve min Z =6400’dür.

2x1+4x2 £ 80 2x1+4x2+S=80 2(40)+4(0)+s(0)=80

3x1+5x2=150 3x1+5x2+A=150 3(40)+5(0)+A(30)=150

Min. Z=10x1+12x2 10x1+12x2+0S+MA 10(40)+12(0)+0S(0)

+200(30)=6400

cj-zj ³ 0 olduğundan yukarıdaki tablo ile optimal çözüme ulaştık. Tabloda görül-düğü gibi S değişkeni temel değişken sütununda olmamakta yani temel olmayan değişkendir. Üstelik S temel değişken olamaz çünkü onun girişi maliyetlerde bir artışa neden olacaktır. (295TL’lik bir artış)

ikinci simpleks çözüm tablosu optimallik şartına göre yani cj-zj ³ 0, optimal çözümü vermektedir. Fakat yapay değişken (A) temel değişken olarak yer almaktadır ve onun çözüm değeri de 30’dur. Bu da problemin uygun çözümü olmadığını gösterir. Çünkü burada karar değişkeni A’nın A=30 değeri ikinci kısıtlayıcı koşulunu sağlamaz.

Bu simpleks yönteminde karşılaşılan özel bir durum olan uygun çözüm bulunmamadır. Örnekte görüldüğü gibi.

Optimal simpleks çözüm tablosunun temel değişken sütununda yapay değişken yer alır ve çözüm değeri pozitif (sıfırdan farklı) ise problemin uygun çözümü yoktur. Bu tip optimal çözüme “YALANCI OPTİMAL” denir.