SAYISAL YÖNTEMLER

SAYISAL YÖNTEMLER

Optimal karar: En iyi karar

Karar problemleri 3’e ayrılır.

Belirsizlik altında karar problemleri Karar Teorisinin Konusunu Oluşturur

Risk altında karar problemleri

Belirlilik altında karar problemleri }Yöneylem Araştırmalarının Konusunu Oluşturur.

KARAR TEORİSİ

Konusu belirsizlik ve risk altında problem olduğundan optimal karar almayı sağlar.

Karar Alma: Belirli bir amaca ulaşmak için kullanımı olası iki yada daha fazla davranış biçiminden birinin seçimi. Her karar probleminin belirli bir amacı olmalıdır.

Bir karar probleminden söz edilebilmesi için

En az iki davranış biçimi olmalıdır.

Bir karar vermek iç.in, eldeki seçemeklerin neden olacağı sonuçlar fayda vya kayıp boyutunda değerlendirilmelidir.

Bir karar probleminin yapısını oluşturan öğeler

Karar verici ( Sorumluluk taşıyan kişidir ). 2’ye ayrılırlar

EKONOMİK KİŞİ (YÖNETİCİ)

Tüm karar seçenekleri ve bu karara etki eden doğal faktörler hakkında bilgi sahibi olan kişilerdir. Kararlarını bilimsel yöntemler ışığında verirler. Amaçları doyumdan ziyade maksimizasyondur.

YÖNETSEL KİŞİ

Bu kişiler sınırlı bilgi ile karar verirler. Kararlarını kişisel bilgilerine dayandırırlar. Amaçları da maksimizasyon dan ziyade doyumdur.

STRATEJİ

Uygulanabilir. Karar seçeneklerine strateji adı verilir. Karar probleminde;

Toplam Strateji (m) ile gösterilir.

i= 1,2,..................................,m

=a_1,a₂,..................................,a_m

DOĞAL DURUMLAR ( KONTROL EDİLEMEYEN DURUMLAR FAKTÖRLER)

Amaca ulaşmayı etkileyen ve karar vericinin kontrolü dışında gerçekleşen olaylara doğal durum adı verilir.

Bir karar probleminde doğal durum sayısını (n) ile gösteririz.

J=1,2,..................................,n

Doğal durumlar=S_1,S₂,..................................,S_n

_{GETİRİ (KAZANÇ FAYDA) VEYA KAYIP}

Kazanç yapılı bir karar probleminde a_i stratejisinin seçilmesi ve S_i doğal durumuyla karşılaşılması halinde elde edilecek kazancı (P _ij) ile göstereceğiz.

(Õ =kazanç)

Maliyet yapılı bir karar probleminde ise amaç zararı minimize etmek olacaktır.

a_i stratejisinin seçilmesi ve S_j doğal durumuyla karşılaşılması halinde elde edilecek maliyeti C_ij ile göstereceğiz.

(C= Maliyet)

KARAR TABLOSU

Kazanç yapılı olduğunu farz edelim a₁a_m

STRATEJİLER	DOĞAL DURUMLAR S_1,S₂,..................................,S_n
a₁	Õ ₁¹, Õ ₁², ...........................,Õ ₁ⁿ
a₂	Õ ₂¹, Õ ₂², ...........................,Õ ₂ⁿ
.	. . .
.	. . .
.	. . .
a_m	Õ _m¹, Õ _m², .........................,Õ _mⁿ

KARAR ALINIRKEN İZLENMESİ GEREKEN AŞAMALAR

Karar vericini amacı ve hedefleri saptanır.

Stratejiler belirlenir.

Karar tablosu oluşturulur.

Uygun bir karar ölçütü yardımıyla optimal karar seçeneği saptanır.

Kullanılan karar örgütünün aksak yönleri belirlenir.

KARAR TEORİSİNİN UYGULANDIĞI BAZI YERLER

Yeni bir ürünün piyasaya sürümünde

Petrol bulma araştırmalarında

Fabrika modernizasyonunda

Kalite kontrol araştırmalarında

Hükümet yatırımlarında

Turizm

BELİRSİZLİK ALTINDA KARAR PROBLEMLERİ

Karşılaşılabilecek doğal durumların hangi olasılıkla gerçekleşebileceği bilinmiyorsa belirsizlik altında karar problemi söz konusudur.

STRATEJİ	DOĞAL DURUMLAR (ENFLASYON) S=
STRATEJİ	DÜŞÜK	ORTA	YÜKSEK
ALTIN
DÖVİZ
H.SENEDİ
FAİZ

Belirsizlik altında kullanılan 5 ölçüt:

Kötümserlik

İyimserlik

Eşit olasılıklı doğal durumlar

Pişmanlık ölçüsü

Genelleştirilmiş iyimserlik ölçütü

Risk ve belirsizlikte karar verici doğal durumların ne olduğunu bilir fakat hangisinin gerçekleşeceğini bilemez.

RİSK ALTINDA KARAR PROBLEMİ

Eğer karşılaşılan doğal durumların hangi olasılıkla biliniyorsa risk altında karar söz konusudur. Karar verici söz konusu olasılıkların hangi oranlarda gerçekleşebileceğini bilebilir.

Risk altında problem çözümünde üç farklı yöntem vardır.

Beklenen değer ölçütü

En yüksek olasılık ölçütü

Hırs düzeyi ölçütü

BELİRLİLİK ALTINDA KARAR PROBLEMLERİ

Belirlilik ortamında hangi doğal durumun gerçekleşeceği kesin olarak bilinmektedir. O halde söz konusu doğal durumun gerçekleşme olasılığı %100 (1)’dir.

BELİRSİZLİK ALTINDA KARAR PROBLEMLERİ

KAZANÇ YAPILI KARAR PROBLEMLERİ

KÖTÜMSERLİK ÖLÇÜTÜ

Karar tablosunu gösterelim.

STRATEJİ	DOĞAL DURUMLAR
STRATEJİ	S₁	S₂	S₃	S₄	Kârı (kazanç) gösterir işletme a₄ stratejisini seçtiğinde ve S₄ doğal durumuyla karşılaştığında 17 milyon TL kazanç elde eder.
a₁	15	16	14	19
a₂	13	18	15	14
a₃	16	17	18	14
a₄	12	15	14	17

Şimdi her bir strateji için en düşük kazancın gerçekleştiğini sayıyoruz.

STRATEJİ	DOĞAL DURUMLAR				Min.	14 Max. 14 Max
STRATEJİ	S₁	S₂	S₃	S₄	Kazanç
a₁	15	16	14	19	14
a₂	13	18	15	14	13
a₃	16	17	18	14	14
a₄	12	15	14	17	12

En düşükten en yükseğe veren optimal stratejidir.

(a₁ve a₃) 2 tane optimal strateji vardır.

İYİMSERLİK

Maksimum kazanç içinden en yükseği seçilir.

STRATEJİ	DOĞAL DURUMLAR				Min.	Max. Optimal strateji a₁ stratejisidir.
STRATEJİ	S₁	S₂	S₃	S₄	Kazanç
a₁	15	16	14	19	19
a₂	13	18	15	14	18
a₃	16	17	18	14	18
a₄	12	15	14	17	17

EŞİT OLASILIKLI DOĞAL DURUMLAR

Dört değer toplanır ve dörde bölünür. Çünkü hepsinin gerçekleşme oranı %25’dir.

STRATEJİ	DOĞAL DURUMLAR				Min.
	S₁	S₂	S₃	S₄	Kazanç
a₁	15 + 16 + 14 + 19 4				16 15 16,25 14,5	Max
a₂	13 + 18 + 15 + 14 4 16 + 17 + 18 + 14 4 12 + 15 + 14 + 17 4
a₃
a₄

Eşit olasılıklı doğal duruma göre a₃ optimal stratejidir.

MİNİMAL PİŞMANLIK ÖLÇÜTÜ

Karar tablosu bir fırsat kaybı yada pişmanlık değeri tablosu biçimine dönüştürülür.

STRATEJİ	DOĞAL DURUMLAR				DOĞAL DURUMLAR
STRATEJİ	S₁	S₂	S₃	S₄	S₁	S₂	S₃	S₄
a₁	15	16	14	19	1	2	4	0
a₂	13	18	15	14	3	0	3	5
a₃	16	17	18	14	0	1	0	5
a₄	12	15	14	17	4	3	4	2

Hangi kazancı seçersek pişmanlık duymayız?

STRATEJİ	DOĞAL DURUMLAR				MAX PİŞMANLIK
	S₁	S₂	S₃	S₄	4 5 5 4	Min a₁ optimal stratejilerdir Min a₄
a₁	15	16	14	19
a₂	13	18	15	14
a₃	16	17	18	14
a₄	12	15	14	17

GENELLEŞTİRİLMİŞ İYİMSERLİK ÖLÇÜTÜ

(HURWICS a ÖLÇÜTÜ)

a = iyimserlik katsayısı

1-a =kötümserlik katsayısı

0 ≤ a ≤ 1

α = 0 ise karar verici salt kφtümser

α = 1 ise karar verici salt iyimserdir.

α max kazancı + ( 1-α ) nin kazancı her bir strateji için beklenen kazancı verir.

Strateji	Doğal durum			Max kazanç	Min kazanç	α max kazancύ + ( 1-α ) nin kazancύ
Strateji	S₁	S₂	S₃	Max kazanç	Min kazanç	α max kazancύ + ( 1-α ) nin kazancύ
a₁	10	5	8	10	5	F₁α = 10α+(1-α)5
a₂	3	7	4	7	3	F₂α = 7α+(1-α)3
a₃	1	12	7	12	1	F₃α = 12α+(1-α)1

a) Optimal stratejisi ne olur? ( kötümserlikte )

Min kazanç

a₁ 5 max kötümserlikte optimal stratejisi a₁

a₂ 3 stratejisi olur.

a₃ 1

b) Optimal stratejisi ne olur? ( iyimserlikte )

Min kazanç

a₁ 10 iyimserlik ölçütünde optimal

a₂ 7 strateji a₃ stratejisidir. Burada tama-

a₃ 12 max men iyimser olduğu sonucuna varılır.

F₁α = 10α+(1-α)5 = 5α+5

F₂α = 7α+(1-α)3 = 4α+3

F₃α = 12α+(1-α)1 = 11α+1

α yerine 0 ve 1 koyarsak

α=0 α=1

F₁(0)= 5 F₁(1)= 10

F₂(0)= 3 F₂(1)= 7

F₃(0)= 1 F₃(1)= 12

Maksimum istendiğinde üstteki doğrular üzerinde hesaplamalar yapılır.

Minimum istendiğinde ise alttaki doğrularla hesaplama yapılır.

a₁ F₁α = 10α+(1-α)5 = 5α+5

a₂ F₂α = 7α+(1-α)3 = 4α+3

a₃F₃α = 12α+(1-α)1 = 11α+1

o halde

F₁α = F₃α

5α+5 = 11α+1

α =

= 0,67 α = 0,67 olur. 0 ≤ α ≤ 0,67 a₁

0,67 ≤ α ≤1 a₃ tür

ÖRNEK SORU

Elektrikli mutfak araçları üreten bir fabrikada çalışan bir mühendis yeni bir mutfak aracını tasarlamış ve bunun patent haklarını almış olsun.

Mühendis işletmeye patent haklarını 5.000.000.000.-TL’ ye satmak yada 2.500.00.000.- TL artı gelir üzerinden 0,02 pay almak istiyor.

Geçmiş deneyimlere göre söz konusu ürüne talep üç değişik düzeyden birinde ortaya çıkabilir.

1.si Tüketici bu aleti hiç beğenmez. Dolayısıyla üretim ve pazarlama için harcanacak 10.000.000.000.-TL’ nin tamamı kaybedilebilir.

2.si 20.000 talep olabilir.

3.sü 100.000. talep olabilir.

Bu aletin satış fiyatı 2.000.000.-TL ve maliyeti 1.2 TL’ dir. Bu koşullarda söz konusu işletme için optimal kararın beş farklı karar ölçüsünü kullanarak bulunuz.

ÇÖZÜM

a₁= Patent hakkını 5.000.000.000.- TL’ ye al.

a₂= Patent hakkını 2.500.000.000.-TL’ den al + gelirin (%2si)

a₃= Üretim işini ret et.

S₁= Söz konusu talebin olmaması

S₂= 20.000 talep olması

S₃= 100.000 talep olması

STRATEJİLER	DOĞAL DURUMLAR			Õ =kazanç
STRATEJİLER	S₁	S₂	S₃
a₁	Õ ₁¹	Õ ₁²	Õ ₁³
a₂	Õ ₂¹	Õ ₂²	Õ ₂³
a₃	Õ ₃¹	Õ ₃²	Õ ₃³

Gelir = Satış Fiyatı * Satış Miktarı

Kazanç = Gelir – Patent Mly.- Patent Sahibinin Payı – Üretim Mly. – Yatırımın Mly.ti

Õ ₁¹= a₁stratejisinin seçilmesi ve S₁ doğal durumuyla karşılaşılması durumunda elde edilen kazancı ifade eder.

Õ ₁¹= 0-5000-10000 = -15000 Zarar eder.(sayılar 6 sıfır atılarak hesaplanmıştır)

Õ ₁²= a₁stratejisinin seçilmesi ve S₂ doğal durumuyla karşılaşılması durumunda elde edilen kazancı ifade eder.

Õ ₁²= 2*(20000)- 5000 - 1.2*(2000) - 10000 = 1000 kazanç elde eder.

Õ ₁³= a₁stratejisinin seçilmesi ve S₃doğal durumuyla karşılaşılması durumunda elde edilen kazancı ifade eder.

Õ ₁³= 2*(100000) – 5000 - 1.2*(100000) – 10000 = 65000 kazanç elde eder.

Õ ₂¹ = a₂stratejisinin seçilmesi ve S₁doğal durumuyla karşılaşılması durumunda elde edilen kazancı ifade eder.

Õ ₂¹ = 0-2500-0-10000 = -12500 zarar eder

Õ ₂² = a₂stratejisinin seçilmesi ve S₂doğal durumuyla karşılaşılması durumunda elde edilen kazancı ifade eder.

Õ ₂² = 2*(20000) - 2500 - 0.02*(2)*(20000) - 1.2*(20000) – 10000 = 2700 kazanç elde eder.

Õ ₂³ = a₂stratejisinin seçilmesi ve S₃doğal durumuyla karşılaşılması durumunda elde edilen kazancı ifade eder.

Õ ₂³ = 2*(100000) – 2500 – (0.02)*(2)*(100000) – 1.2*(100000) – 10000 =63500 kazanç elde eder.

Õ ₃¹ = a₃stratejisinin seçilmesi ve S₁doğal durumuyla karşılaşılması durumunda elde edilen kazancı ifade eder.

Õ ₃¹ =

Õ ₃² = a₃stratejisinin seçilmesi ve S₂doğal durumuyla karşılaşılması durumunda elde edilen kazancı ifade eder.

Õ ₃² =

Õ ₃³ = a₃stratejisinin seçilmesi ve S₃doğal durumuyla karşılaşılması durumunda elde edilen kazancı ifade eder.

Õ ₃³ =

Õ ₃¹ = 0 Õ ₃² = 0 Õ ₃³ =0

Stratejiler	Doğal Durumlar
Stratejiler	S₁	S₂	S₃
a₁	-15000	1000	65000
a₂	-12500	2500	63500
a₃	0	0	0

Kötümserlik ölçüsüne göre= min. İçinden max. bakılır.

Strateji	Doğal Durumlar			Min. Kazanç	Max	Max. Kazanç	Max	E(a_i)
Strateji	S₁	S₂	S₃	Min. Kazanç		Max. Kazanç		E(a_i)
a₁	-15000	1000	65000	-15000		65000		17000
a₂	-12500	2700	-12500	-12500		63500		17900	Max
a₃	0	0	0	0		0		0

E(a_i)

a₁= = 17000

a₂= = 17900

a₃= = 0

MİNİ MAX PİŞMANLIK ÖLÇÜTÜ PİŞMANLIK TABLOSU

Strateji	Doğal Durumlar			Max. Pişmanlık	Min
Strateji	S₁	S₂	S₃	Max. Pişmanlık
a₁	15000	1700	0	15000
a₂	12500	0	1500	12500
a₃	0	2700	65000	65000

Strateji	Doğal Durumlar			Max Kazanç	Min Kazanç	a max kazanç + (1-α) min kazancı
Strateji	S₁	S₂	S₃	Max Kazanç	Min Kazanç	a max kazanç + (1-α) min kazancı
a₂	-15000	1000	65000	65000	-15000	65000α + (1-α)(-15000)
a₂	-12500	2700	63500	63500	-12500	63500α + (1-α)(-12500)
a₃	0	0	0	0	0	0	0	0

F₁(α) = 80000α - 15000

F₂(α) = 76000α - 12500

F₃(α) = 0

α = 0 α = 1

F₁(0) = -15000 F₁(1) = 80000

F₂(0) = - 12500 F₂(1) = 76000

F₃(0) = 0 F₃(1) = 0

Yukarıdaki şekle göre α₁ ve α₂ nedir?

F₂(α) = F₃(α) F₁(α) = F₂(α)

α₁ = 0.164 80000α-15000 = 76000-12500

α₂= 0.625

α = 0.625’e eώit olduğunda optimal strateji a₂ ve a₁ olur.

α = 0.164’e eώit olduğunda optimal strateji a₃ ve a₂ olur.

SORU

Bir seramik fabrikası ünlü kişi ve tarihi olayları simgeleyen porselen minyatür-ler imal etmektedir.

Üretim politikası olarak belirli bir figür yalnız bir parti üretimle yapılmakta aynı figürün ikinci kez imalatı kabul edilmemektedir.

Herhangi bir figür için müşterilerin talebi üretim miktarını aşarsa satış yapıla-mayan müşterilere başka bir ürünü alırken kullanmak üzere 1.000.000.-TL’ lik bir kupon verilmektedir.

Talep üretim miktarının altında kalırsa firma elindekileri tanesi 5.000.000.-TL’ den bir toptancıya devretmektedir. Bu fiyat üretim maliyetinin yarısıdır.

Firma son olarak bir sanatçının minyatürünü yapmak üzere söz konusu kişiye 20.000.000.000.-TL ödemiş ve figürün tanesini 25.000.000.-TL’ den satmayı planlamıştır.

Pazarlama araştırmalarına göre talep düzeyi

20.000

40.000 adet olabilir.

60.000

80.000

Üretim miktarlarını belirlemek üzere karar tablosunu net kâra bağlı olarak bulunuz.

Bildiğiniz karar ölçülerine göre en uygun üretim miktarlarını belirleyiniz.

ÇÖZÜM

S₁: Söz konusu ürüne 20.000 adet talep olması

S₂: Söz konusu ürüne 40.000 adet talep olması

S₃: Söz konusu ürüne 60.000 adet talep olması

S₄: Söz konusu ürüne 80.000 adet talep olması

a₁: 20.000 adet üretim yapılması

a₂: 40.000 adet üretim yapılması

a₃: 60.000 adet üretim yapılması

a₄: 80.000 adet üretim yapılması

Strateji	Doğal Durumlar
Strateji	S₁	S₂	S₃	S₄
a₁	280.000	260.000	240.000	220.000
a₂	180.000	580.000	560.000	540.000
a₃
a₄

Kazanç = Gelir – Patent – Patent Sahibinin – Üretim – Yatırım

Maliyeti Payı Maliyeti Maliyeti

Õ ₁¹= 25*(20.000) – 20.000 – 10*(20.000 ) = 280.000

Õ ₁²= 25*(20.000) – 20.000 – 10*(20.000 ) – 20.000 = 260.000 a₁

Õ ₁³= 25*(20.000) – 20.000 – 10*(20.000 ) – 40.000 = 240.000

Õ ₁⁴= 25*(20.000) – 20.000 – 10*(20.000 ) – 60.000 = 220.000

Õ ₂¹ = 25*(20.000) – 20.000 – 10*(20.000 ) – 5*(20.000) = 180.000

Õ ₂² = 25*(20.000) – 20.000 – 10*(40.000 ) = 580.000 a₂

Õ ₂³ = 25*(20.000) – 20.000 – 10*(40.000 ) – 1(20.000) = 560.000

Õ ₂⁴ = 25*(20.000) – 20.000 – 10*(40.000 ) – 1(40.000) = 540.000

Õ ₃¹ =

Õ ₃² = a₃

Õ ₃³ =

Õ ₃⁴ =

Õ ₄¹ =

Õ ₄² = a₄

Õ ₄³ =

Õ ₄⁴ =