Toplu Üretim Plânı(Aggregate Production Plan); gelecek zaman dönemindeki üretim, istem ve stok miktarlarını zaman dilimleri itibariyle toplu(aggregate) değerler (ton, hektolitre, adam*saat, makina*saat, vd.) şeklinde gösteren plândır. Bu tip planlama ürün aileleri bazında yapılır. Toplu üretim plânlarında ayrıntıya inilmediği ve ayrıntı açısından kesinlik bulunmadığı söylenebilir. Toplu Üretim Plânına dayalı olarak Ana Üretim Programı hazırlanır.

Ana Üretim Programı(Master Production Schedule – MPS); Toplu üretim planındaki değerler ve kesinleşen siparişlere göre her ürünün üretiminin(tüm ürün tipleri için ayrı ayrı) hangi zaman diliminde(toplu üretim planına göre daha kısa dönemler olmak üzere) yapılacağının belirtildiği programdır.

Üretim plânı hazırlama çalışması; hammadde temin durumu, rakiplerin durumu, istem, sipârişler, fason üretim olanakları, ekonomik koşullar gibi çevresel etmenler ile varolan fiziksel kapasite, varolan işgücü düzeyi, stok düzeyleri ve üretim için gereken diğer eylemler gibi işletme içi etmenlerden etkilenmektedir. Üretim plânlama eyleminden beklenenler ise, her üründen dönemlere göre üretilecek miktarlar, seçenek üretim süreçleri, her atölyede ve tezgâhta hangi ürünün ne zaman üretileceği, stok düzeyleri, bekleyen sipâriş miktarları, fason üretime verilen miktarlar, fazla mesai ve ek vardiya kullanımı, kullanılmayan (âtıl) kapasite durumları, işgücü düzeyi ve bu düzeydeki değişmeler, malzeme tedarik programı, tezgâh ve donanım gereksinimleri, “üret” veya “dışarıdan satın al” kararları vb.dir. Etmen sayısının çokluğu, tek çözüm yöntemi ile sonuç elde etmeyi olanaksızlaştırmaktadır.

Toplu üretim plânının belirlenmesinde kullanılan yöntemlere, Toplu Üretim Plânlama Yöntemleri denilmektedir. Bu yöntemlerde genelde işgücü düzeyini değiştirme, fazla mesai veya vardiya sayısını değiştirme, fason üretim olanağını kullanma, stok düzeyini değiştirme, bekleyen sipâriş düzeyini değiştirme gibi stratejiler kullanılarak istemdeki dalgalanmaları karşılayan en az mâliyetli ana üretim plânı elde edilmeye çalışılmaktadır. Hangi yöntemin daha etkin çözümler vereceği, problemin yapısı ile yöntemin özellikleri arasındaki uyuma bağlı olacaktır.Özet olarak ana üretim plânının hazırlanabilmesi için üç temel bilgiye gereksinim vardır:

1. Plânın içereceği zaman dönemi
2. Dönem başındaki ve dönem sonundaki stok düzeyleri
3. İstem öngörüleri (Talep tahminleri)

Üretim plânlarında öncelikle ele alınan bilgi, istemdir. Bunu doğal karşılamak gerekir. Çünkü asıl amaç, tüketicinin ya da kullanıcının istediği ürünü veya hizmeti, istenilen zamanda ve miktarda hazır bulundurmaktır. İstemin dönem içinde dalgalanma göstermesi durumunda, üretim plânlamada başlıca üç seçenek üzerinde durulur:

1. Üretim hızını sabit tutarak, üretimi aşan istemleri stoktan karşılamak ve/veya müşteri bekletmek ya da yok satmak
2. Stokları sabit tutarak, üretim hızını isteme göre ayarlamak
3. İlk iki seçeneğin uygun bir birleşimini uygulamak

Bu yönteme göre üretimi plânlarken, sabit bir üretim hızının tutturulacağı, değişen istemin stoklardan karşılanacağı veya müşterinin siparişini bekleyeceği düţünülür.Yöntemin yararı, üretim hızını değiştirmekten kaynaklanan sorunlarla karşılaşılmamasıdır. Bir başka deyişle; ek mesai, ek vardiya, yeni işgücü ve donanım sağlanması ya da onlara yol verilmesi gibi önemli sorunlarla karşılaşılmaz. Yöntemin sakıncası ise, elde bulundurma(stoklama) ve elde bulundurmama mâliyetlerini artırmasıdır.

Örnek 3.1 : Beş dönemlik bir toplu üretim plânı yapılmak istenmektedir. Beş dönemlik istem değerleri (İ_k; k=1, 2, 3, 4, 5) ţöyledir:

İ_k = {20, 25, 30, 30, 35}

Dönem başı stoğu (S_db) 130 adet olup, dönem sonu stoğunun (S_ds) 135 adet olması istenmektedir.

1. Plânlama dönemindeki toplam üretim miktarı hesaplanır:

TÜM = (S_ds - S_db) + Tİ

TÜM : Toplam Üretim Miktarı

Tİ : Toplam İstem

5

Tİ = å İ_k= 20 + 25 + 30 + 30 + 35 = 140 adet

k=1

TÜM = (135 – 130) + 140 = 145 adet

2. Her zaman diliminde üretilecek miktar belirlenir:

Ü = TÜM / N

Ü : Bir Zaman Dilimindeki Üretim

N : Zaman Dilimi Sayısı

Ü = 145 / 5 = 29 adet

3. Zaman dilimlerine ilişkin istem öngörüleri ve üretim miktarları dikkate alınarak, stok miktarları belirlenir ve bilgiler, toplu üretim plânında özetlenir (Tablo 3.1.):

S_k : k. zaman diliminin stoğu

S_k-1 : (k-1). zaman diliminin stoğu

Plânlama dönemi içindeki değişimin açık seçik görülmesinde tablolara ek olarak grafiklerin kullanılması büyük yarar sağlar. Örneğin Tablo 3.1’de toplu istem, üretim ve stok durumlarını veren rakamlar, düşey eksende adet; yatay eksende haftaların yer aldığı bir grafik kağıdı üzerine geçirildiğinde Şekil 3.1 elde edilir. Sözkonusu değerlerin zaman ekseni üzerindeki değişimi ve birbirlerine göre durumları, grafikte çok daha açık bir biçimde izlenebilmektedir. İlk iki dönemde üretim, istemin üzerinde gitmekte ve dolayısıyla stoklar yükselmektedir. İstemin arttığı dönemlerde üretim hızı daha düşük olduğundan stoklar azalmakta ve dönem sonunda istenilen 135 adet düzeyine inmektedir.

Bu yönteme göre üretimi plânlarken, stokların sabit tutularak, değişen istem miktarının, üretim hızının değiştirilmesiyle karşılanacağı düşünülür. Yöntemin

Stok

ADET

29 Üretim

1 2 3 4 5 DÖNEMLER

Örnek 3.2 : Altı aylık bir yakıt alım plânı yapılmak istenmektedir. Ocak-Haziran ayları arası dönemi içeren altı aylık istem öngörüleri sırasıyla 200, 160, 236, 254, 290 ve 240 tondur. Dönem başı ve dönem sonu stokları ise sırasıyla 230 ve 200 tondur.

1. Plânlama dönemindeki toplam alım (üretim) miktarı bulunur.

TÜM = (S_ds – S_db) + Tİ

Tİ = 200 + 160 + 236 + 254 + 290 + 240 = 1.380 ton

TÜM = (200 – 230) + 1380 = 1.350 ton

2. Her zaman dilimi sonunda elde kalacak stok miktarı bulunur.

S_k = (S_ds – S_db) / N + S_k–1

= (200 – 230) / 6 + S_k–1

=S_k–1 – 5

S₁ = 230 – 5 = 225

S₂ = 225 – 5 = 220

S₃ = 220 – 5 = 215

S₄ = 215 – 5 = 210

S₅ = 210 – 5 = 205

S₆ = 205 – 5 = 200

3. Zaman dilimlerine ilişkin istem öngörüleri ve stok miktarları dikkate alınarak, alım (üretim) miktarları belirlenir ve bilgiler, aylık yakıt alım plânında özetlenir (Tablo 3.2.)

Bu yöntem, ilk iki seçeneğin bir karışımı olup; yerine göre üretim hızında değişiklik yapılmasını, yerine göre de istemin stoklardan karşılanmasını gerektirir. İlk iki seçeneği dengeleyen bir yaklaşım olduğundan, genellikle mâliyetler üzerinde ilk iki seçeneğe göre azalma sağlar. Tablo 3.3.’de, bu yaklaşımla hazırlanan bir üretim plânı görülmektedir. Burada üretim miktarı, adam*saat olarak alınmıştır. Değişik ürünleri birarada içeren üretim plânı yapıldığında, üretim miktarlarının adam*saat gibi ortak ölçü birimleriyle belirtilmesi kaçınılmaz olmaktadır. Tablo 3.3.’de üretim hızı bir kez değiştirilerek ilk iki yönteme göre uzlaşma sağlanmıştır.

Bu bölümde, belli bir plânlama döneminde ürüne olan istemin zamanla değişmesi durumunda, plânlama çalışmalarında karşılaşılan sorunlar ve bunların çözümleri incelenecektir. Plânlama dönemi, alt-dönemlere bölünmüş olup, her alt-dönemdeki istemin bilindiği varsayılmaktadır. Ancak istem, her alt-dönemde farklılık gösterebilir. Bu durumda plânlama problemi, dinamik olarak nitelendirilir.

1. İstemin görece az olduğu dönemlerde stoğa çalışarak, yüksek istem dönemleri için stokları doldurmak. Dolayısıyla, sabit bir üretim hızı saptamak ve istemdeki dalgalanmaları, stok düzeyindeki değişikliklerle karşılamaya çalışmak (Bu durum daha önce incelendi).
2. Yüksek istem dönemlerinde müşteriyi (sipârişi) geri çevirme durumuna göz yummak.
3. İşgücünü sabit tutarak, yüksek istem dönemlerinde fazla mesai yoluyla üretim hızını değiştirmek.
4. Yüksek istem dönemlerinde fason üretim yaptırmak.
5. Dalgalanan istem grafiğine paralel olarak işgücünün hacmini sürekli olarak ayarlamak.

1. Fason üretim mâliyeti
2. Stokta tutma (envanter taşıma) mâliyeti
3. Üretim hızını değiştirme mâliyeti (örneğin, tezgâh hazırlama mâliyetleri, çizelgeleme değişikliğinden doğan kayıpların mâliyetleri, değişiklik sırasında bozulan (düşük) kalitenin getirdiği ek mâliyetler vb.)
4. İstemi zamanında karşılayamamanın getirdiği ek mâliyetler (örneğin kaybedilen müşterilerin ve kaybedilen satışların mâliyeti)
5. İşgücü düzeylerini değiştirme mâliyeti (örneğin yeni işçi almada işçinin eğitim ve ortama uyumlandırma mâliyeti, işçi çıkarmada ödenen tazmînat ve diğer kayıplar)
6. Normal kapasiteden sapma mâliyetleri (örneğin fazla mesai mâliyetleri ya da düşük kapasitede çalışmanın getirdiği fırsat mâliyeti)

Örnek 3.3 : Bir işletme, istemdeki değişimleri; fazla mesai, stokta tutma ve fason üretim stratejilerini kullanarak karşılamayı düşünmektedir. İşletmenin istem öngörüsü tekniklerini kullanarak bulduğu toplu istem öngörüsü, eşdeğer miktara indirgenmiş şekilde Tablo 3.4.’de verilmiştir.

Eşdeğer miktar, tüm ürünlerin ortak ve toplu olarak ifade edildikleri birimdir. Zaman birimleri de bu noktada kullanılabilir. Üst yönetim; daha önce üretim hızını aşan istem miktarlarını fason olarak karşılamaktaydı. Ancak artan fason üretim mâliyeti ve sipârişin çabuk teslimindeki rekâbet nedeniyle diğer stratejileri de değerlendirerek en ekonomik karma stratejiyi bulmaya karar vermiştir. Bu amaçla üretim sistemi karakteristikleri aşağıdaki şekilde belirlenmiştir:

• Normal mesaide dönem başına üretilebilecek en fazla miktar : 19 (*1.000) adet
• Fazla mesaide dönem başına üretilebilecek en fazla miktar : 4 (*1.000) adet
• Fason üretimde dönem başına üretilebilecek en fazla miktar : Sonsuz

• Normal mesaide ürün üretme mâliyeti : 30 PB/adet

• Fazla mesaide ürün üretme mâliyeti : 35 PB/adet
• Fason üretimde ürün üretme mâliyeti : 37 PB/adet
• Bir adet ürünü bir dönem için stokta tutma mâliyeti : 1 PB/(adet*dönem)

Bu problemin çözümü Tablo 3.5.’de verilmiştir. Parantez içindeki değerler, hangi dönem için üretim yapıldığını göstermektedir. Önce dönem-1’i ele alalım. Bu dönemdeki istem miktarı 10 adettir. En düşük mâliyet, normal mesaideki üretim mâliyeti olduğundan, bu 10 adetin normal mesaide yapılmasına karar verilir. Dönem-2 için de durum aynıdır ve 15 adetlik istem, normal mesai ile karşılanır. Ancak dönem-3’deki istem miktarı 30 adettir ve o dönem için normal mesai üretim kapasitesi olan 19 adeti aşmaktadır. Kapasiteyi aşan 11 adet için dört farklı seçenek durum vardır:

• Adet başına 35 PB’lik mâliyetle dönem-3’de fazla mesai kullanmak
• Adet başına 37 PB’lik mâliyetle dönem-3’de fason üretim kullanmak
• Dönem-2’de kullanılmayan normal mesai kapasitesini (19–15=4) kullanmak [Bu durumda üretilen her bir ürün, bir dönem stokta bekleyeceğinden ürün başına mâliyet (30+1=) 31 PB olur
• Dönem-1’de kullanılmayan normal mesai kapasitesini (19–10=9) kullanmak [Bu durumda üretilen her bir ürün, stokta iki dönem bekleyeceğinden ürün başına mâliyet (30+2=) 32 PB olur]

Doğal olarak bu, belirlilik altında karar verme durumuna bir örnektir ve en ekonomik olan değer seçilir. 11 adetin 4’ünün dönem-2’de normal mesai ile, geri kalan 7’sinin dönem-1’de normal mesai ile üretilmesine karar verilir. Bu ţekilde dikkatli bir geri izleme ile problemin çözümü sürdürülür.

Örnek 3.4 : Tablo 3.6.’da, bir işletme için aylara göre çalışma günleri sayısı, üretilmesi gereken ürün miktarları (istem öngörüleri) ve güvenlik stokları verilmektedir. Güvenlik stokları, istemin öngörülenden büyük olması olasılığını gözönüne alarak belirlenen en az düzeylerdir. Sütun-7; güvenlik stoğu ile birikimli üretim miktarlarının toplamını göstermektedir. Sütun-8, günlük ortalama üretilmesi gereken ürün miktarını göstermektedir. Sütun-4 değerinin, Sütun-2 değerine bölünmesi ile hesaplanır. Sütun-9 ise, elde bulundurulan stok miktarını ve yıllık ortalama güvenlik stoğunu belirlemek için; Sütun-2 ile Sütun-6 değerlerinin çarpımı sonucu elde edilmiştir.

Elde bulundurma (Stokta tutma) mâliyeti : 51 PB/adet*yıl

Fazla mesai mâliyeti : 10 PB/adet

Fason üretim mâliyeti : 15 PB/adet

Normal mesai kapasitesi : 350 adet/gün

Fazla mesai kapasitesi : 60 adet/gün

Fason üretim kapasitesi : Sonsuz

Plân-1: Bu plân, sabit bir üretim hızı öngörmektedir. Bu üretim hızı; Tablo 3.6.’daki Sütun-5’in en alt satırında görülen birikimli üretim miktarı olan 76.500 adetin, Sütun-3’ün en alt satırında görülen birikimli üretim günü sayısı olan 244’e bölünmesi ile elde edilir:

Varolan durumdaki ortalama stok miktarını hesaplamak için Sütun-7’deki pozitif (+) değerlerin toplamını, sözkonusu dönemlere ilişkin toplam üretim günü sayısına (22+20+23+19+22+22+20+18=166) bölmek gerekmektedir:

= (41.976+89.760+177.330+159.144+173.448+120.824+3.440+2.088) / 166

= 768.010 / 166

= 4.626,6 adet

51 * 8 / 12 = 34 PB/(adet*dönem)

olacaktır. Dolayısıyla toplam elde bulundurma mâliyeti;

4.626,6 * 34 = 157.304 PB

(23.138 + 39.072 + 58.168 + 11.792) / (23 + 11 + 22 + 22) = 132.170 / 78

Bir adet ürünü elde bulundurmama mâliyeti 342 PB/(adet*yıl), elde bulundurmama durumunun sözkonusu olduğu dört aylık dönem için ise;

342 * 4 / 12 = 114 PB/(adet*dönem)

1.694,5 * 114 = 193.173 PB

olacaktır. Bu plân dâhilindeki toplam mâliyet ise ţöyle bulunur:

Toplam Mâliyet = 157.304 + 193.173 = 350.477 PB

olur.

Plân-2: Bu plân, istem değişimini, işgücü düzeyini değiştirerek ve fazla mesai yaptırarak karşılamak amacındadır. Bir işçinin girişi veya çıkışı, üretim kapasitesini günde bir adet artırmakta veya azaltmaktadır. Bu durum, işletmeye işçi başına 200 PB’ne mâlolmaktadır. Fazla mesai kapasitesi ise, normal mesai kapasitesi olan 350 adet/gün’lük değeri ancak 60 adet/gün artırabilmektedir. Fazla mesai mâliyeti ise ürün başına 10 PB’dir. Bu bilgilerin ışığında ikinci plân, üretim düzeyini şu şekilde değiştirmektedir:

0-65. gün : 230 adet/gün (normal mesai üretimi)

66.-171. gün : 406 adet/gün (üretim hızını 230 adet/gün’den 350 adet/gün’e çıkarmak için 120 işçi alınmakta, geri kalan 56 adet/gün’lük üretim, fazla mesai ile yapılmaktadır)

172.-182. gün : 350 adet/gün (normal mesai üretimi)

227.-244. gün : 253 adet/gün (230 adet/gün normal mesai, 23 adet/gün fazla mesai üretimi)

Plân-2 için aylık stok miktarının hesabı, Plân-1 için olan ile aynıdır. Bu plânın mâliyet hesabı ile ilgili bilgiler, Tablo 3.9.’da ve Tablo 3.10.’da görülmektedir.

Fazla mesai mâliyeti = 6.350*10 = 63.500 PB

Elde bulundurma mâliyeti = (574.972/244)*51 = 2.356,4*51 = 120.176 PB

Plân-3: Düşünülen bir başka plânda ise fason üretim, bir strateji olarak kullanılmaktadır. Fason üretim, ürün başına 15 PB’lik bir ek mâliyete neden olmaktadır. Plânın günlere göre değişimi şu şekildedir:

0-84. gün : 250 adet/gün (normal mesai üretimi)

129.-148. gün : 406 adet/gün (350 adet/gün normal mesai üretimi, kalan 56 adet/gün fason üretim)

149.-171. gün : 370 adet/gün (350 adet/gün normal mesai, 20 adet/gün fazla mesai üretimi)

172.-182. gün : 410 adet/gün (350 adet/gün normal mesai, 60 adet/gün fason üretim)

205.-244. gün : 250 adet/gün (normal mesai üretimi)

Fazla Mesai Mâliyeti = 966 * 10 = 9.660 PB

Fason Üretim Mâliyeti = 1.780 * 15 = 26.700 PB

Elde Bulundurma Mâliyeti = [ (11.000+36.000+81.650+57.000+72.600+37.400) / 128 ] * 25,5 = 2.309,7 * 25,5 = 58.897 PB

Elde Bulundurmama Mâliyeti = [ (35.600 + 38.410 + 34.760 + 69.388 + 53.988 + 53.172) / 116 ] * 171 =

Toplam Mâliyet = 40.000 + 9.660 + 26.700 + 58.897 + 420.592 = 555.849 PB

Örnek 3.5 : Bir işletme, dört dönemlik üretim plânını hazırlamak istemektedir. Bu dört döneme ilişkin istem değerleri sırasıyla 100, 200, 180 ve 300 adettir. Herhangi bir dönemde bir adet ürün üretmenin mâliyeti 40 PB, bir adet ürünü bir dönem stokta tutmanın mâliyeti 5 PB, istemi karşılayamamaktan dolayı ürün başına yoksatma (elde bulundurmama) mâliyeti ise 10 PB’dir. Üretim kapasitesi, varolan üretim olanaklarına göre değişmekte olup sözkonusu dört dönem için sırasıyla 50, 180, 280 ve 270 adettir. Amaç, en az mâliyetli üretim plânını elde etmektir. Bu problem, transportasyon modeli şeklinde modelleme yapılarak çözülebilir. Bu durumda mâliyetler üç tip olacaktır:

Probleme ilişkin transportasyon modeli Tablo 3.13.’de, modelin başlangıç çözümü ise Tablo 3.14.’de verilmiştir.

Tablo 3.13.’de örneğin X₄₁; dönem-1’de istendiği hâlde dönem-4’de üretilen miktar olup, bu durum için ürün başına mâliyet değeri ise, [C₄₁=40+(10+10+10)=] 70 PB’dir. Tablo 3.14.’deki duruma göre elde edilen en az mâliyet değeri (Z=) 32.550 PB’dir.

Belirli bir dönemde, bir firmanın üretip satabileceği birden fazla ürün olabilir. Bu durumda firmanın her tip üründen ne miktarlarda üreteceğinin plânlanması, diğer bir deyişle ürün bileşiminin belirlenmesi, firma için önemli bir problem alanını oluşturur. Ürün bileşimi kararlarında amaç, kısıtlı kaynakların en iyi kullanımını saptayarak, tesislerde elde edilen çıktının net değerinin enbüyüklenmesi veya toplam mâliyetin enküçüklenmesidir. Bu problemde gözönünde tutulması gereken diğer bir nokta da her ürünün varolan satış olanaklarının değerlendirilmesidir. Yapılan satış öngörülerinden, ürünlerin en yüksek satış miktarlarının önceden belirlenmesi, ayrıca her ürünün en düşük üretim düzeylerinin saptanması, problemin çözülebilmesi için gereklidir.Ürün bileşimi problemlerinde gözlenen özellikler aşağıda özetlenmiştir. Ayrıca bu nitelikler, problemin tanımlanmasında da yardımcı olurlar:

X_i : i ürününün plânlama dönemindeki üretim miktarı (i = 1, 2, …, n)

Modelde tek bir plânlama dönemi ele alınmaktadır. Aynı zamanda n tane, yâni ürün sayısı kadar karar değişkeni vardır.

(i = 1, 2, …, n) ve (j = 1, 2, …, m) olmak üzere;

b_j : j kaynağının plânlama dönemi süresince varolan miktarı

a_ij : Bir adet i ürünü üretmek için gereken j kaynağı miktarı

U_i : i ürününün plânlama döneminde gerçekleştirilebilecek en büyük satış

L_i : i ürününün plânlama dönemindeki gerekli en az üretim düzeyi

r_i : Bir adet i ürününün satışından elde edilen gelir (değişken satış

harcamaları çıkarılmış olarak)

C_i : Bir adet i ürününün üretiminden doğan birim değişken mâliyet

olup bu durumda;

(r_i – C_i) * X_i

C_i * X_i

Amaç Fonksiyonu : Bu problemde amaç, kâra olan toplam katkıyı (Z) enbüyükleyecek veya toplam mâliyeti enküçükleyecek X_i değerlerinin bulunmasıdır:

n

Enb Z = å [(r_i – C_i)*X_i] (2.1a)

i=1

veya n

Enk Z = å (C_i*X_i) (2.1b)

i=1

1. Kapasite Kısıtları : Burada, herhangi bir j kaynağının dönem içindeki kapasitesinin veya varolan miktarının aşılamayacağı ifade edilmelidir. Bu kısıt, tüm ürün (i) ve kaynak (j) değerleri için yazılacaktır. Dolayısıyla modelde (n*m) kaynak değişkeni yer alacaktır.

n

å (a_ij * X_i) £ b_j (j = 1, 2, …, m) (2.2)

i=1

Kısıt (2.2) ifadesi açıldığında şu yapı elde edilir:

a₁₁*X₁ + a₂₁*X₂ + a₃₁*X₃ + … + a_n1*X_n £ b₁

a₁₂*X₁ + a₂₂*X₂ + a₃₂*X₃ + … + a_n2*X_n £ b₂

a₁₃*X₁ + a₂₃*X₂ + a₃₃*X₃ + … + a_n3*X_n £ b₃

.

.

.

a_1m*X₁ + a_2m*X₂ + a_3m*X₃ + … + a_nm*X_n £ b_m

2. Satış Kısıtları : Herhangi bir i ürünü, en fazla U_i düzeyinde üretilecektir. Bu tür kısıtlar tüm ürünler kadar yâni n tane olacaktır.

X_i £ U_i (i = 1, 2, …, n) (2.3)

3. Üretim Kısıtları : Herhangi bir i ürünü, en az L_i kadar üretilecektir. Bu kısıt, istemden kaynaklanmaktadır. Bu tür kısıtlar, tüm ürünler için yazılacaktır. Yâni modelde n tane üretim kısıtı olacaktır.

X_i ³ L_i (i = 1, 2, …, n) (2.4)

4. Negatif Olmama Kısıtları : Problemdeki tüm karar değişkenleri sıfırdan büyük olmalıdır. Amaç, negatif üretim yapılmasını önlemektedir. Ürün sayısı kadar yâni n tane kısıt olacaktır.

Örnek 3.6 : Bir şirket üç farklı ürün üretmektedir. Üretim üç temel operasyondan (kesme, şekil verme, montaj) oluşmaktadır. Ürün-1, üç operasyondan da (1, 3 ve 1 saat) geçerken, ürün-2 salt birinci ve üçüncü operasyonlardan (2 ve 4 saat), ürün-3 ise salt birinci ve ikinci operasyonlardan (1 ve 2 saat) geçmektedir. Bu operasyonların bu ayki kapasiteleri 930, 860 ve 910 saattir. Ürünlerin satışlarından elde edilecek birim kârlar ise sırasıyla 3, 5 ve 5 PB’dir. Bu ayki satış öngörüleri bu ürünler için sırasıyla 300, 400 ve 400 adet olup, yine bu ay için ürün-2’den 100 ve ürün-3’den ise 200 adetlik satış anlaşması yapılmıştır. İşletmenin toplam kârını enbüyüklemek için bu ay hangi üründen ne kadar üretilmesi gerektiğini bulmamızı sağlayacak doğrusal programlama modelini kurunuz.

X_i : i ürününden bu ay üretilecek miktar (adet) (i = 1, 2, 3)

Enb Z = 3 X₁ + 5 X₂ + 5 X₃

Üretim Kısıtları :

Operasyon-1 (kesme) 1 X₁ + 2 X₂ + 1 X₃ £ 930

Operasyon-2 (ţekil verme) 3 X₁ + 2 X₃ £ 860

Operasyon-3 (montaj) 1 X₁ + 4 X₂ £ 910

İstem Kısıtları :

X₁ £ 300

X₂ £ 400

X₃ £ 400

Satış Anlaşması Kısıtları :

X₂ ³ 100

X₃ ³ 200

Negatif Olmama Kısıtları :

X₁, X₂, X₃ ³ 0

Bu modelin simpleks algoritma ile çözümü, (X₁=20, X₂=222 ½, X₃=400, Z=3.172 ½) olarak bulunmuştur.

Örnek 3.7 : Bir şirket, iç ve dış duvar boyaları üreten, fazla büyük olmayan bir fabrikaya sahiptir. Bu boyaları üretmek için A ve B adlarında iki temel hammadde kullanılmaktadır. Finansman ve depolama koşulları nedeniyle günlük olarak A’dan en fazla 6 ton, B’den en fazla 8 ton hammadde, üretime alınabilmektedir. 1 ton dış boya üretimi için 1 ton A ve 2 ton B; 1 ton iç boya üretimi için ise 2 ton A ve 1 ton B hammaddesi gerekmektedir. Pazar araştırması çalışmaları, iç boyanın günlük üretim miktarının, dış boyanın günlük üretim miktarını 1 tondan fazla aşmaması ve ayrıca iç boya günlük üretim miktarının en fazla 2 ton olması gerektiğini göstermektedir. Dış boya fabrika satış fiyatı 3 PB/ton, iç boya fabrika satış fiyatı ise 2 PB/ton olarak kabul edilmiştir. Toplam satış gelirini enbüyükleyebilmek için sözkonusu kısıtlar dâhilinde bu boyalardan günde ne miktarda üretilmesi gerektiğini bulmamızı sağlayacak doğrusal programlama modelini kurunuz.

X_i : i boyasından üretilecek miktar (ton/gün) [i = 1 (dış boya), 2 (iç boya)]

Enb Z = 3 X₁ + 2 X₂

Kısıtlar :

X₁ + 2 X₂ £ 6 (A hammaddesi)

2 X₁ + X₂ £ 8 (B hammaddesi)

X₂ £ X₁ + 1 Þ – X₁ + X_{2 £} 1

X_{2 £} 2

X₁, X_{2 ³} 0

Model iki değişkenli olduğundan koordinat sistemi yardımıyla grafik tekniğini kullanarak sonuca gitmek olanaklıdır. Koordinat sisteminin yatay ekseninde X₁’in değerleri, düşey ekseninde ise X₂’nin değerleri gösterilir. Modelin eşitsizlik şeklindeki kısıtları, bir an için eşitlik hâlinde düşünülerek doğru şeklinde çizilir ve eşitsizliğin özelliğine göre doğrunun üst veya alt tarafı, olurlu çözüm bölgesinin oluşturulmasında dikkate alınır. Modelin amaç fonksiyonu, başlangıçta herhangi bir değere sahip değildir. Bu nedenle grafik üzerinde gösterilmek amacıyla fonksiyon, uygun bir değere eşitlenerek çizilir. Amaç fonksiyonunun enbüyükleme veya enküçükleme özelliğine göre ilerleme yönü ok işareti ile belirtilir.

Negatif olmama kısıtları olan (X₁, X_{2 ³} 0) şeklindeki kısıtlar, bize salt tüm değişkenlerin pozitif (+) olduğu yerde olurlu çözüm bölgesinin bulunduğunu gösterir. Bu yer ise, koordinat sisteminin birinci (+, +) bölgesidir. Uygulamada da X₁ ve X₂ değişkenleri, ele alınan problemde üretim miktarlarını gösterdiğinden ve hiç bir zaman negatif üretim olamayacağından bu kısıtlar geçerlidir. Şekil 3.2.’de, ele alınan probleme ilişkin grafik doğrusal model görülmektedir.

Şekil 3.2.’de görüldüğü gibi, tüm kısıtları aynı anda sağlayan olurlu çözüm bölgesi, ABCDEF ile gösterilen alandır. Örneğin (X₁=3, X₂=1) seçeneği olurlu bir çözüm olmasına karşılık, (X₁=3, X₂=2) seçeneği olurlu bir çözüm değildir. Sözkonusu olurlu çözüm alanı içinde sonsuz çözüm noktası vardır. Bizim aradığımız nokta, amaç fonksiyonunu enbüyükleyen çözüm seçeneğidir. Amaç fonksiyonunun değeri, sağa doğru ilerledikçe artmaktadır. Bu durumda, olurlu çözüm bölgesini en son terkeden nokta, tüm kısıtlarımızı sağlayan ve amaç fonksiyonu değeri en büyük olan noktadır. Olurlu çözüm bölgesi konveks (dışbükey) bir yapıda olduğuna göre, salt köşe noktalarını amaç fonksiyonunda denemek ve en yüksek değeri veren köşe noktasını problemin çözümü olarak belirlemek gerekmektedir.

Tüm köţe noktalarını değerlendirdiğimizde en büyük amaç fonksiyonu değerini C (10/3; 4/3) noktası vermektedir. Değerlendirme sonuçları Tablo 3.15.’de görülmektedir.

X₂

8

X₁ + 2 X₂ £ 6 (1)

7 2 X₁ + X₂ £ 8 (2)

– X₁ + X_{2 £} 1 (3)

6 X_{2 £} 2 (4)

(6) (2) X_{1 ³} 0 (5)

5 X_{2 ³} 0 (6)

4 (3)

3

2 E D (4)

C

1 F (1)

A B (5) X₁

0 1 2 3 4 5 6

İki değişkenli modeli grafik olarak göstermek, yukarıda açıklandığı gibi olanaklıdır. Ancak üçüncü bir değişken, koordinat sisteminde yeni bir ekseni gerektirir. Bu durumda olurlu çözüm bölgesi bir alan değil, bir hacim şeklinde olur; çözüm ise, iki değişkenli olan durumda olduğu kadar kolaylıkla elde edilemez. Ayrıca dördüncü bir değişkenin de olması, grafik çözüm tekniğinin kullanılmasını olanaksız duruma getirir. İki ve daha fazla değişkenli doğrusal modellerin çözümünde, başka bir çözüm tekniği olan simpleks çözüm tekniği, bâzı özel durumlarda ise diğer çözüm teknikleri kullanılır.

Karar verici için çözüm tekniğinin ayrıntıları önemli değildir. Özellikle gerçek problemlerde değişken ve kısıt sayısı çok fazladır. Bu problemlerin elle çözümü çok zor olup, süre olarak dikkate fazlasıyla alınır uzunluktadır. Öte yandan, doğrusal programlama çözüm tekniklerini içeren bilgisayar paket programları (LINDO, HyperLINDO, LINGO, HOM, QSB vb.) ile sözkonusu çözümler kolaylıkla elde edilmektedir. Kullanıcı açısından önemli olan, kurulan modelin, gerçek problemi ne derece iyi yansıttığıdır. Bu sağlanmış ise bulunan çözüm, en etkin çözüm olacaktır.