Axioma

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Axioma. (del griego "axioma", 'lo que parece justo'). Proposicion evidente no susceptible de demostracion sobre la cual se funda una ciencia. Originariamente el término ‘axioma’ significa dignidad. Por derivación se ha llamado ‘axioma’ a “lo que es digno de ser estimado, creído o valorado”. Así, en su acepción más clásica el axioma equivale al principio que, por su dignidad misma, es decir, por ocupar cierto lugar en un sistema de proposiciones, debe “estimarse como verdadero”.

Para Aristóteles los axiomas son principios evidentes que constituyen el fundamento de toda ciencia. En tal caso los axiomas son proposiciones irreductibles, principios generales a los que se reducen todas las demás proposiciones y. en los cuales estas se apoyan necesariamente. El axioma posee, por así decirlo, un imperativo que obliga al asentimiento una vez que ha sido enunciado y entendido. En suma Aristóteles define el axioma corno una proposición que se impone inmediatamente al espíritu y que es indispensable, a diferencia de la tesis, que no puede demostrarse y que no es indispensable.

Los axiomas pueden ser llamados también nociones comunes como los enunciados del tipo siguiente: “dos cosas iguales a una tercera son iguales entre si”, “el todo es mayor que la parte”. Al no lograrse demostrar esos axiomas se tendió cada vez más a definir los axiomas mediante las dos notas ya antes apuntadas: indemostrabilidad y evidencia.

Las proposiciones que podían ser demostradas y no eran evidentes se llamaron teoremas. Y las que no podían ser demostradas ni eran evidentes por si mismas recibieron el nombre de postulados. Esta terminología tradicional ha experimentado grandes modificaciones. En efecto, está basada en gran parte en una concepción del axioma como proposición “evidente’ y, por lo tanto, está teñida de cierto “intuicionismo” (en sentido psicológico) que no todos los autores admiten.

Se ha impuesto el cambio en la terminología desde el momento en que se ha rechazado que lo axiomas fuesen nociones comunes y en que se ha visto que pueden elegirse diversos postulados, cada uno de loe cuales da origen a un sistema deductivo diferente.

Esto ha producido un primer efecto: atenuar y basta borrar por entero 1a distinción entre axioma y postulado. A estos cambios han contribuido sobre todo la matemática y la metalógica contemporáneas. Éstas distinguen entre axiomas y teoremas. Los primeros son enunciados primitivos (a veces llamados también postulados) aceptados como verdaderos sin probar su validez; los segundos son enunciados cuya validez se somete a prueba. Axiomas y teoremas son, por lo tanto, elementos integrantes de todo sistema deductivo. Usualmente la definición del concepto de teorema requiere el uso del concepto de axioma (así como el uso de los conceptos de regla de inferencia y de prueba) mientras que el concepto de axioma es definido por enumeración.

Podemos decir, pues, que ha habido dos distintas orientaciones, en la concepción de los axiomas. Una de estas orientaciones destaca la intuitividad y autoevidencia de los axiomas; la otra destaca su formalidad e inclusive se resiste a adscribir a ningún axioma el predicado ‘es verdadero’. Esta última orientación, llamada formalista es la que más se ha impuesto hoy día.