1. Compra de una bufanda

2. Una revisión en la tienda

3. Compra de sellos de correos

4. Compra de frutas

5. Adivinar el día de nacimiento

6. Venta de pollos

7. Dos números y cuatro operaciones

8. Cómo será el rectángulo

9. Dos números de dos cifras

10. Los números de Pitágoras

11. Ecuación indeterminada de tercer grado

12. Cien mil marcos por la demostración de un teorema

Comoquiera que y y t son números enteros, (t - 1) / 2 debe ser un número entero t1. Por consiguiente,

y = t + t1

t1 = (t - 1) / 2

2t1 = t - 1

t = 2t1 + 1

Sustituyamos el valor de t = 2t1 + 1 en las igualdades anteriores:

y = t + tl = 2t1 + 1 + t_l = 3t1 + 1

x = 6 + y + t = 6 + (3tl a - 1) + (2t1 + 1) = 8 + 5t1

x = 8 + 5t1

y = 1 + 3t1

8 + 5t1 > 0

1 + 3t1 > 0

5t1 > - 8 y tl > - 8 / 5

3t1 > - 1 y tl > - 1 / 3

Con esto el valor tl está acotado.

De aquí que la magnitud tl es mayor que - 1 / 3, (y claro, mucho mayor que - 8 / 5). Mas, como tl es un número entero, se deduce que puede tener tan sólo los siguientes valores:

tl = 0, 1, 2, 3, 4, ...

x = 8 + 5t1 = 8, 13, 18, 23, ...

y = 1 + 3t1 = 1, 4, 7, 10, ....

x = 8 + 5t1

y = 1 + 3t1

8 + 5t1 < 0

1 + 3t1 < 0

t1 < - 8 / 5

Tomando t1 = - 2, - 3, - 4, etc., obtenemos de las fórmuulas anteriores, los siguientes valores para x e y

t1 = - 2 - 3 - 4

x = 4 - 31t + (1 - t) / 4 = 4 - 31t + t1

t1 = (1 - t) / 4

4t1 = 1 - t

t = 1 - 4t1

x = 125t1 – 27

y = 617t1 - 1341.

100 [ y< 1000

100 [ 617t1 - 134 < 1000,

tl / 234 / 617 y tl = 1134 / 617

Es evidente que para tl existe solamente un valor entero:

tl = 1,

1 Obsérvese que los coeficientes de ti son iguales a los de x e y en la ecuación inicial 617x - 125y = 91, además, uno de los coeficientes de tl tiene el signo contrario. Esto no es fortuito: puede demostrarse que debe suceder así siempre que los coeficientes de x y de y sean primos entre sí.

Como x / 0, y / 0 y z / 0, no es difícil establecer los límites de t:

O [ t [ l 9 / 11

x = 1, y = 39.

en la que los valores de las incógnitas deben ser enteros y positivos; además, la fecha del mes, x, no es superior a 31, y el número del mes, y, no pasa de 12

1 –t = 5t1, t = 1 – 5t1

y = 2 * (1 - 5t1) – 2t1 = 2 – 12t1

x = 14 – 3 * (2 – 12t1) + 1 – 5t1 = 9 + 31t1

Se sabe que 31 / x > 0 y 12 / y > 0, por lo que los límites para t1 :

- 9 / 31 < t1 < 1 / 6 .

tl = 0, x = 9, y = 2

La fecha de nacimiento es el día 9 del segundo mes, es decir, el 9 de febrero. Se puede proponer otra solución que no exige el empleo de ecuaciones. Nos han dicho la cifra a = 12x + 31y. Puesto que 12x + 24y se divide entre 12, en este caso los números 7y y a, después de ser divididos entre 12, tienen restas iguales. Al multiplicar por 7 resulta que 49y y 7a, después de ser divididos entre 12, tienen restas iguales. Pero 49y = 48y + y, y 48y se divide entre 12. Resulta que y y 7a al ser divididos entre 12 tienen restas iguales. Con otras palabras, si a no se divide entre 12, en este caso y es igual a la resta de la división del número 7a entre 12; pero si a se divide entre 12, entonces y = 12. Este número y (número del mes) se determina enteramente. Sabiendo y ya es muy fácil determinar x.

Un pequeño consejo: antes de determinar la resta de la división del número 7a entre 12, cambie el mismo número a por su resta de la división entre 12 - será más fácil calcular. Por ejemplo, si a = 170, Ud. tiene que efectuar mentalmente los siguientes cálculos:

2 * 7 = 14; 14 = 12 * 1 + 2 (entonces y = 2)

x = 9

Ahora Ud. puede comunicar que la fecha del nacimiento es el 9 de febrero. Demostremos que el truco nunca falla, es decir, que la ecuación tiene siempre una sola solución, siendo sus valores enteros y positivos. Representemos por a el número que se nos comunica. En este caso, la fecha del nacimiento vendrá expresada por la ecuación

Razonemos "por reducción al absurdo". Supongamos que esta ecuación tiene dos soluciones diferentes enteras y positivas, concretamente: la solución x1, y1 y la solución x2, y2; además, tanto x1 como x2 no son superiores a 31; y1 y y2 tampoco son mayores que 12. Tenemos:

12 (xl - x2) + 31 (y1 - y2) = 0.

De esta igualdad se desprende que el número 12(x1 - x2) es divisible por 31. Como x1 y x2, son números positivos que no superan 31, su diferencia, x1 – x2 es una magnitud menor que 31. Por eso, el número 12(x1 x2) puede dividirse por 31 sólo cuando x1 = x2, es decir, si la primera solución coincide con la segunda. De esta manera, la suposición de que existen dos soluciones diferentes conduce a una contradicción

Representemos el número de pollos vendidos por cada una de las hermanas hasta el mediodía con x, y y z. Después del mediodía vendieron 10 - x, 16 - y y 26 - z pollos. E1 precio que rigió por la mañana lo expresamos con m, y el de la tarde, con n. Para mayor claridad confrontemos estas expresiones:

mx + n (10 - x); por consiguiente, mx + n (10 – x ) = 35

la segunda:

my + n (16 - y); por lo tanto, my – r - n (16 – y ) = 35

mz + n (26 - z); de aquí que, mz + n (26 - z) = 35.

Como x, y, z son números enteros, las diferencias x - z, y - z son también números enteros. Por esta razón, para que se produzca la igualdad

es preciso que x - z se divida por 8, e y - z>, por 5. Por lo tanto,

Observemos que el número t, además de entero, es también positivo, por cuanto x > z (en caso contrario, la primera hermana no hubiera podido conseguir tanto dinero como la tercera).

Como x < 10.

z + 8t < 10.

Al ser z y t números enteros y positivos, la última desigualdad puede ser satisfecha sólo en el caso en que z = 1 y t = 1. Sustituyendo estos valores en

resulta que x = 9, y = 6.

sustituimos los valores de x, y, y z, ya conocidos, tendremos el precio por el que han sido vendidos los polluelos:

Si el número mayor es x, y el menor y,

Si se multiplica esta ecuación por y, se abren los paréntesis y se reducen los términos semejantes, tendremos:

para que el número x sea entero, es preciso que el denominador (y + 1)² sea uno de los divisores de 243 (por cuanto y no puede tener factores comunes con y + 1). Sabiendo que 243 = 3⁵, se deduce que 243 es divisible sólo por los números siguientes, que son cuadrados: 1, 3² 9². Así pues, (y + l)² debe ser igual a 1, 32 o 91. Puesto que y debe ser un número positivo, resulta que y es 8 ó 2.

Entonces x será igual a

Solución.

Representando los lados del rectángulo con x e y tendremos la ecuación

Como x e y deben ser números positivos, también lo será el numero y - 2>, es decir, y debe ser mayor que 2.

Fijémonos ahora en que

Como x tiene que ser un número entero, , también lo será. Pero como y > 2, sólo se satisfacen las condiciones del problema si y es igual a 3, 4 o 6.

El valor correspondiente de x será 6, 4 ó 3. Vemos, pues, que la figura buscada será un rectángulo cuyos lados equivaldrán a 3 y 6, o un cuadrado de lado 4.

Representando las cifras de los números buscados con x, y, z, t, tendremos la ecuación

donde x, y, z, y t son números enteros menores que 10. Para buscar la solución se forman con las nueve cifras significante todas las parejas que dan un mismo resultado:

En dirección AM, desde el punto A se señala tres veces la distancia cualquiera (a). Después, en una cuerda se hacen tres nudos separados por una distancia igual a 4a y 5a. Colocando los nudos extremos en los puntos A y B, se tira del nudo del medio. Con ello se forma un triángulo en el que el ángulo A es recto. Este antiguo método, empleado ya hace miles de años por los constructores de las pirámides egipcias, se basa en que los triángulos, en los que la relación de sus lados sea 3 : 4 : 5, de acuerdo con el conocido teorema de Pitágoras serán rectángulos por cuanto

3² + 4² = 5².

Además de los números 3, 4 y 5 existe, como se sabe, infinidad de números enteros y positivos a, b, c que satisfacen la correlación

a² + b² = c²

y reciben la denominación de números de Pitágoras. De acuerdo con el teorema de Pitágoras, estos números pueden expresar la longitud de los lados de un triángulo rectángulo. Los lados a y b serán dos "catetos" y c la "hipotenusa". Es evidente que si a, b, c son un trío de números de Pitágoras, los números pa, pb, pc (donde p es un factor entero) serán también números de Pitágoras. Y al contrario, si los números de Pitágoras  tienen un factor común, pueden ser simplificados por éste, obteniéndose de nuevo el grupo de números de Pitágoras. Por eso, para empezar analicemos tres números pitagóricos que sean primos entre sí (los demás se hallan multiplicándolos por el factor entero p). Mostremos que uno de los "catetos" de los números a, b, c debe ser número par, y el otro, impar. Razonemos partiendo de la reducción al "absurdo". Si los dos "catetos" a y b son pares, también lo será la suma a² + b² y, por lo tanto, lo mismo sucederá con la "hipotenusa". Sin embargo, esto contradice el hecho de que los números a, b, c no tienen un factor común ya que 2 divide exactamente a tres números pares. Por consiguiente, por lo menos uno de los "catetos", a, b tiene que ser impar. Puede ofrecerse otra variante, que ambos "catetos" sean impares y la "hipotenusa", par. No es difícil demostrar que esto es imposible. En efecto. Si los "catetos tienen la forma

2x + 1         y     2y + 1

4x² + 4x + 1 + 4y2 + 4y + 1 = 4(x² + x + y² + y) + 2

es decir, se trata de un número que al ser divido por 4 da de residuo 2. En tanto que el cuadrado de cualquier número par debe dividirse por 4 sin residuo. Por consiguiente, la suma de los cuadrados de dos números impares no puede ser el cuadrado de un número par; en otras palabras: nuestros tres números no son pitagóricos. Así, pues, de los "catetos" a, b uno es par y otro impar. Por eso, el número a² + b² es impar y, en consecuencia, también lo será la "hipotenusa" c. Supongamos, para mayor precisión, que a es el "cateto" impar y b el par. De la igualdad

Los factores c + b y c - b son primos entre sí. Efectivamente. Si estos números tuvieran algún factor común primo, excepción hecha de la unidad, entonces también se dividiría por dicho factor su suma

(c + b) + (c - b) = 2c,

es decir, los números 2c, 2b y a tendrían un factor común. Como a es impar este factor no puede ser 2, y por eso, los números a, b y c tienen este factor común, lo que, sin embargo, es imposible. La contradicción obtenida demuestra que los números c + b y c - b son primos entre sí. Pero si el producto de dos números primos entre sí es un cuadrado, entonces, cada uno de ellos será un cuadrado, es decir,

donde m y n son números impares primos entre sí. El lector puede convencerse fácilmente de lo contrario: las fórmulas citadas, con cualesquiera números m y n impares, dan los números pitagóricos a, b, c. He aquí algunos grupos de números pitagóricos, obtenidos con diferentes valores de m y n:

cuando         m = 3             n = 1             3² + 4² = 5²

    "             m = 5             n = 1             5² + 12² = 13²

    "             m = 7             n = 1             7² + 24² = 25²

    "             m = 9             n = 1             9² + 40² = 41²

    "             m =11            n = 1            11² + 60² = 61²

    "             m =13            n = 1             13² + 84² = 85²

    "             m = 5             n = 3             15² + 8² = 17²

    "             m = 7             n = 3             21² + 20² = 29²

    "             m =11            n = 3             33² + 56² = 65²

    "             m =13            n = 3             39² + 80² = 89²

    "             m = 7             n = 5             35² + 12² = 37²

    "               m = 9           n = 5             45² + 28² = 53²

    "             m =11            n = 5             55² + 48² = 73²

    "             m =13            n = 5             65² + 72² = 97²

    "             m = 9             n = 7             63² + 16² = 65²

    "             m =  11          n = 7             77² + 36² = 85²

3³ + 4³ + 5³ = 6³.

Es más cómodo, sin embargo, expresar la incógnita u con - t. Entonces la ecuación ofrecerá una forma más sencilla:

Veamos un método que nos permita hallar multitud de soluciones a esta ecuación, en números enteros (positivos y negativos). Supongamos que a, b, c, d y a, ß, ?, d son dos grupos de cuatro números que satisfacen la ecuación. Sumemos a los números del primer grupo de cuatro los del segundo multiplicados por un cierto número k, y busquemos éste de forma que los números obtenidos

a + ka, b + kß, c + k?, d + kd,

3a²ka + 3ak²a² + 3b²kß + 3bk²ß² + 3c²k? + 3ck²?² + 3d²kd + 3dk²d² = 0,

El producto será cero sólo en el caso en que lo sea uno de sus factores. Equiparando cada uno de los factores a cero obtenemos dos valores para k. El primero de ellos k = 0, no nos satisface; ello significa que si a los números a, b, c y d no se les agrega nada, los números obtenidos satisfacen nuestra ecuación. Por eso tomaremos solamente el segundo valor de k:

De aquí que, conociendo dos grupos de cuatro números que satisfagan la ecuación de partida, puede ser hallado un nuevo grupo: para esto hay que sumar a los números del primer cuarteto los del segundo multiplicados por k, donde k tiene el valor indicado más arriba. Para aplicar este método es preciso encontrar dos grupos de cuatro números que satisfagan las condiciones de la ecuación inicial. Uno de ellos (3, 4, 5, - 6) es ya conocido. ¿De dónde sacar otro? No es difícil encontrar salida a esta situación; el grupo pueden formarlo los números r, - r, s, - s>, que responden, sin duda, a las condiciones de la ecuación inicial. En otras palabras, supongamos que

Entonces k, tomará la siguiente forma:

y los números a + ka, b + kß, c + k?, d + kd serán respectivamente iguales a

Comoquiera que esos quebrados tienen el mismo denominador, puede prescindirse de éste. (En consecuencia, los numeradores de estos quebrados también satisfacen las exigencias de la ecuación examinada.) Se ha visto, pues, que la ecuación indicada es satisfecha (cualquiera que sea el significado de r y s) por los siguientes números:

t = - 42r² - 7rs – 5s²,

lo cual puede comprobarse elevando estas expresiones al cubo y sumándolas. Atribuyendo a r y s diversos valores enteros podemos obtener toda una serie de soluciones a la ecuación expresadas en números enteros. Si en estas circunstancias los números obtenidos tienen un factor común, podemos dividir por él todos estos números. Por ejemplo, cuando r = l, s = l, las incógnitas x, y, z, t equivaldrán a 36, 6, 48, - 54, o, que al dividirlos por 6, darán 6, 1, 8, - 9. Por consiguiente,

Cuando r = 1     s = 2         38³ + 73³ = 17³ + 76³

    "         r = 1     s = 3         17³ + 55³ = 24³ + 54³

    "         r = l     s = 5         4³ + 110³ = 67³ + 101³

    "         r = 1     s = 4         8³ + 53³ = 29³ + 50³

    "         r = l     s = - 1         7³ + 14³ + 17³ = 20³

    "         r = l     s = - 2         2³ + 16³ = 9³ + 15³

    "         r = 2     s = - 1         29³ + 34³ + 44³ = 533

Observemos que si en el grupo inicial 3, 4, 5, - 6, o en alguno de los obtenidos después, se cambian de sitio los números y se aplica el mismo método, obtendremos una nueva serie de soluciones. Por ejemplo, tomando decir, suponiendo que a = 3, b = 5, c = 4, d = - 6) z, t, los valores

De aquí que al variar los valores de r y s obtengamos una serie de nuevas correlaciones:

cuando  r = l,      s = l                 9³ + 10³ = 1³ + 12³

    "         r = 1,     s = 3             23³ + 94³ = 63³ + 84³

    "         r = 1,     s = 5             5³ + 163³ + 164³ = 206³

    "         r = 1,     s = 6             7³ + 54³ + 57³ = 70³

    "         r = 2,     s = l             23³ + 97³ + 86³ = 116³

    "         r = l,     s = - 3         3³ + 36³ + 37³ = 46³

etc  

De esta manera puede obtenerse un número infinito de soluciones de la ecuación dada.

xⁿ + yⁿ = zⁿ

x² + y² = z²,

x³ + y³ + z³ = t³

tienen, tratándose de números enteros, cuantas soluciones se deseen. Sin embargo será imposible encontrar tres números enteros positivos que satisfagan la igualdad x³ + y³ = z³.

Idéntico fracaso acompaña cuando se trata de las potencias de cuarto, quinto, sexto grados, etc. Esto es lo que afirma la "gran proposición de Fermat".

Las figuras más eximias de esta ciencia se han ocupado del problema, mas, en el mejor de los casos, 2consiguieron demostrar el teorema para algunos exponentes o para ciertos grupos de ellos; pero de lo que se trata es de hallar la demostración g e n e r a 1, para t o d o exponente entero. Lo interesante del caso es que esta inaccesible demostración del teorema de Fermat, por lo visto, fue descubierta en cierta ocasión, y después se extravió. El autor del teorema, el genial matemático del siglo XVII, Pierre de Fermat, afirmaba que conocía la demostración. Su "gran proposición", fue escrita por él (lo mismo que toda una serie de teoremas acerca de la teoría de los números) en forma de observación en los márgenes de una obra de Diofanto, acompañándola de las siguientes palabras:

He aquí los resultados de estos esfuerzos: Euler (1797) demostrar; el teorema de Fermat para potencias de tercero y cuarto grados, para las de quinto fue demostrado por Legendre (1823); para las de séptimo3, por Lamé y Lebesgue (1840). En 1849, Kummer demostró el teorema para una serie muy amplia de potencias y, entre otras, para todos los exponentes menores de ciento. Estos últimos trabajos rebasan con mucho la esfera de las matemáticas conocidas por Fermat, y empieza a ser problemático el hecho de que este último pudiera hallar la demostración general de su "gran proposición". Además es posible que él se equivocó. Quien sienta curiosidad por la historia y el estado actual del problema de Fermat, puede leer el folleto de A. Jinchin El gran teorema de Fermat. Esta publicación, obra de un especialista, está dedicada a lectores que sólo tienen conocimientos elementales de matemáticas.

2 Fermat (1603 - 1665) no era matemático profesional. Era jurista y consejero del parlamento; se dedicaba a las investigaciones matemáticas sólo en los momentos libres. No obstante, hizo una serie de descubrimientos extraordinarios, los cuales, dígase de paso, no publicaba, sino que, como se acostumbraba hacer en esa época, los daba a conocer en su correspondencia a los hombres de ciencia, amigos suyos: Pascal, Descartes, Huygens, Roberval y otros.

3 Para los exponentes compuestos (a excepción del 4) no hace falta ninguna demostración especial: estos casos se reducen a los casos con exponentes primos