1. Dos trenes

2. ¿Dónde construir el apeadero?

3. ¿Cómo trazar la carretera al emb ro?

4. ¿Cuándo alcanza el producto su máximo valor?

5. ¿Qué suma será la menor?

6. El tronco de mayor volumen

7. Dos parcelas de tierra

8. La cometa

9. La construcción de una casa

10. La parcela

11. El canalón de sección máxima

12. El embudo de mayor capacidad

13. La iluminación más intensa

Dibujemos el esquema de la marcha de los trenes. Supongamos que las líneas rectas AB y CD son dos líneas férreas que se cruzan (fig. 19.) La estación B se encuentra a 40 km del cruce O, y la estación, D a 50 km. Admitamos que al cabo de x minutos los trenes se encuentran a la distancia más próxima entre sí: (MN = m). El tren que sale de B hace el recorrido BM = 0,8x, ya que en un minuto recorre 800 m = 0,8 km. Por consiguiente, OM = 40 - 0,8x. Del mismo modo hallaremos que ON = 50 - 0,6x. Según el teorema de Pitágoras

X² - 124 + 4100 - m² = 0

Ya que x, el número que expresa los minutos transcurridos, no puede ser una raíz imaginaria, entonces m² -256 debe ser una magnitud positiva o, a lo sumo, equivalente a cero. El último es el que corresponde al valor mínimo de m; de aquí que:

m² = 256, o sea, m = 16.

Es evidente que m no puede ser menor que 16, de lo contrario x se convertiría en una raíz imaginaria. Y si m2 – 256 = 0, entonces x = 62.

Es decir, que a la segunda locomotora le faltarán 12,8 km para llegar al cruce. En la fig. 20 se ve la posición que ocupan las locomotoras en el momento dado. Se puede apreciar que ésta no es tal y como nos la imaginábamos al principio.

Expresemos la distancia AD (desde A hasta la base de la perpendicular BD a la horizontal AD) con la a; y CD, con la x. Entonces

El tiempo empleado por el tren para cubrir el trayecto AC será igual a

El tiempo necesario para recorrer la distancia CB de la carretera equivale a

Y cuando expresamos 0,8m-a, con la k, haciendo desaparecer el radical, tendremos la ecuación de segundo grado

15x² – 2kx + 6400 – k² = 0

Y como k = 0, 8m - a, al alcanzar m la mínima magnitud sucede lo mismo con la k, y viceversa1. Mas para que x resulte real es necesario que 16k² no sea menor que 96 000. Por lo tanto, el valor mínimo para 16k² será 96 000. Por esa razón, m será la magnitud menor cuando 116k² = 96000, de donde

y por consiguiente

El apeadero debe construirse aproximadamente a 5 km del punto D cualquiera sea la longitud a = AD.

No obstante, es evidente que nuestra solución tiene sentido sólo en el caso de x < a, pues al formular la ecuación hemos considerado que la expresión a - x era un valor positivo. Si x = a » 5,16 no hace falta ningún apeadero y debe llevarse la carretera hasta la estación. De manera idéntica hay que operar en los casos en que la distancia a sea inferior a 5,16 km. Esta vez somos nosotros los que hemos obrado con mayor prudencia que la ecuación. Si hubiéramos confiado cie nte en la ecuación, habríamos tenido que construir el apeadero más allá de la estación, cosa totalmente absurda: en este caso x>a, por eso, el tiempo a-x/0,8 durante el cual teníamos que viajar en ferrocarril, sería negativo. El caso es aleccionador y muestra que, al valerse de recursos matemáticos hay que mantener una actitud prudente hacia los resultados obtenidos, recordando siempre que si no se cumplen las condiciones en las que se fundamenta el empleo del recurso matemático, el resultado puede perder todo sentido.

1 Debe tenerse en cuenta que k >0, por cuanto

Expresaremos la distancia AD con la x, y la longitud de la carretera DB con la y. Como hemos supuesto, la longitud AC = a, y la BC = d. Puesto que el transporte por carretera cuesta el doble que por río, la suma

debe ser, respondiendo a las exigencias del problema, la más pequeña. Expresémosla con la m.

3y² - 4 (m - a) y + (m-a)² + d2 = 0.

Para que y responda a las condiciones, (m - a>)2 no debe ser inferior a 3d2 . La magnitud más pequeña de (m - a>)2 es igual a 3d2 y entonces

Mas el ángulo cuyo seno es igual a Ö3/2 equivale a 60°. Esto significa que la carretera debe ser trazada formando un ángulo de 60° con el río, independiente de la distancia AC. Aquí vuelve a aparecer la misma particularidad que en el problema anterior. El resultado tiene sentido sólo en determinadas condiciones. Si el punto poblado está situado de tal manera que la carretera (cuya línea forma un ángulo de 60° con la del río) pasa por el lado opuesto de la ciudad A, entonces la solución dada es inaplicable; en este caso hay que unir directamente el punto B con la ciudad A por carretera sin emplear en absoluto el río para el transporte.

Supongamos que el número dado sea a. Las partes en que se divide a son

El número x indica la diferencia de estas partes con la mitad de a. El producto de ellas es igual a

Es evidente que el producto de las partes tomadas aumentará en la medida en que disminuya x, es decir, en la medida en que disminuya la diferencia entre las mismas. El resultado mayor será cuando x = 0, es decir, cuando ambas partes sean iguales a a /2 Quedarnos, pues, en que el número debe dividirse por la mitad. El producto de dos números, cuya suma sea constante alcanzará su máximo valor cuando estos números sean iguales entre sí. Examinemos este mismo ejemplo con tres números.

Para resolver este problema nos apoyaremos en el anterior. Tomemos un número a dividido en tres partes. Supongamos previamente que ninguna de las tres partes es igual a a / 3- Entre ellas habrá una parte mayor que a / 3 (las tres no pueden ser menores que a / 3). Dicha parte la expresaremos así:

(a / 3) + x

También habrá otra parte menor que a /3 que representaremos con

(a / 3) – y

Los números x e y son positivos. La parte tercera será indudablemente igual a

(a / 3) + y - x

Los números (a / 3) y (a / 3) + x - y representan una suma igual a la de las dos primeras partes del número a, pero la diferencia entre ellas (es decir, x - y) es menor que la diferencia entre las dos primeras partes, a equivalente a x+ y. Como hemos visto en el problema anterior, el producto de

es mayor que el producto de las dos primeras partes del número a. De esta forma, si las dos primeras partes del número a son sustituidas por los números

 (a / 3)  y  (a / 3) + x - y

dejando la tercera intacta, el producto aumentará. Supongamos ahora que una de las partes es igual a a/3 . Entonces las otras dos partes se presentarán así

a/3 + z y a/3 - z

Si hacemos que estas dos partes sean iguales a a/3 (cuya suma, por ello, no se altera), veremos que su producto aumenta, siendo igual a:

Así pues, si el número a se divide en tres partes desiguales, el producto de éstas será menor que a³ /27 es decir, menor que el producto de tres factores iguales que sumen a.

Busquemos el valor de x mediante el cual la expresión

Multipliquemos esta expresión por 1/ x^p*y^q y obtendremos la siguiente:

Sabemos que a – x = y; sustituyendo el antecedente de la segunda razón y alterando el orden de los medios, resultará

De esta forma, el producto de x^p*y^q alcanza su máximo valor, si la suma x+ y es constante, cuando

llegan  a su valor máximo, si las sumas x + y + z,  x + y + z + t, etc. son constantes, cuando

x : y : z = p : q : r, x : y : z : t = p : q : r: u, etc.

De acuerdo con el teorema de Pitágoras, si los lados de la sección rectangular son x e y, tendremos

x² + y² = d²

Donde d es el diámetro del tronco. El volumen de la viga será el máximo cuando la superficie de su sección sea también la mayor, es decir, cuando xy alcance la mayor magnitud. Mas si xy tiene su máximo valor, también lo alcanzará x²y². Y como la suma    x² + y² es constante, el producto x²y² será el mayor, como demostramos antes, cuando

x² = y²  ó  x = y

1. La forma de la parcela rectangular se determina por la relación entre sus lados, x e y. El área de una parcela cuyos lados sean x e y es igual a xy, y la longitud de la cerca 2x + 2y. Esta última será la menor si x + y tiene el menor valor. Si el producto xy es constante, la suma x + y es la menor si x = y. Por lo tanto, el rectángulo que buscamos debe ser un cuadrado.

2. Si x e y son los lados de una parcela rectangular, la longitud de su cerca será 2x + 2y, y su área, xy. Este producto es el mayor cuando lo es también el producto 4xy, o sea, 2x * 2y; este último alcanza su máximo valor (si la suma de sus factores    2x + 2y es constante) cuando 2x = 2y, es decir, si la parcela es un cuadrado. A las propiedades del cuadrado, conocidas por la geometría podemos agregar una más: El cuadrado es, entre los rectángulos, el que con un área dada tiene menor perímetro; y con un perímetro dado, mayor área.

Precisadas las condiciones del problema, debemos hallar la relación entre la longitud del arco del sector y su radio que nos de la mayor superficie posible, sin alterar el perímetro dado. Si el radio de un sector es x y el arco y, el perímetro 1 y la superficie S, se expresarán así (fig. 24).

1 = 2x + y,

S = xy/2 = x(I - 2x)/2

La magnitud de S llega a su máximo valor, con los valores de x que lo proporcionen también a la expresión 2x (1-2x), o sea, el cuádruplo de la superficie, Y como la suma 2x+ (1-2x) = l es una magnitud constante, su producto será el mayor cuando 2x=l-2x, de donde

x = l/4

y = l – 2 * l/4 = l/2

Supongamos que se conservan x metros de pared y los demás 12-x se derriban para, con el material recuperado, levantar una parte de la pared de la futura casa (fig. 25).

Si el valor de cada metro lineal levantado con ladrillo nuevo es igual a a, la reparación de x metros de pared vieja costará ax/4 ; la edificación de los 12-x metros de pared costará a (12-x)/ 2; el resto de la pared, a[y - (12 - x)], es decir, a(y+x-12); la tercera parte de la pared, ax, y la cuarta, ay. Todo el trabajo equivaldrá a

La última expresión llegará a su mínima magnitud cuando la suma 7x + 8y alcance su valor mínimo.

Sabemos que el área de esta casa xy es igual a 112; por lo tanto,

7x * 8y = 56 * 112.

Si el producto es constante, la suma 7x * 8y tomará el menor valor cuando

7x = 8y,

de donde y = (7/8) * x

Sustituyendo el valor de y en la ecuación xy = 112

Y siendo la longitud de la antigua pared de 12 m debe desmontarse tan sólo 0,7 m de dicha pared.

Supongamos que la longitud de la parcela (según la cerca) es igual a x, y el ancho (es decir, la dimensión de la parcela en la dirección perpendicular a la cerca) equivale a y (fig. 26).

En este caso, para cercar esta parcela fueron precisos x+2y metros de cerca, de forma que

x + 2y = l.

S = xy = y(l - 2y),

que alcanzará un valor máximo simultáneamente con el valor 2y (l - 2y) (duplo del área), producto de dos factores, siendo l constante. Por eso, para conseguir la mayor área de la parcela, debe tener lugar la siguiente igualdad

2y = l - 2y,

y = - l/4 , x = l -2y

En otras palabras: x = 2y, es decir, la longitud de la parcela debe ser el doble de la anchura.

Representemos por l la anchura de la hoja; por x, la de los costados doblados, y por y la del fondo del canalón. Introduzcamos una medida más, la incógnita z, cuyo valor aparece con toda claridad en la fig. 30.

La tarea consiste en determinar cuáles han de ser los valores de x, y, z para que S alcance la mayor magnitud admitiendo que la suma 2x + y (anchura de la hoja) es una constante l. Pasemos a las transformaciones:

S² alcanzará su máxima magnitud con los valores de x, y y z que la proporcionen también a 3S².

3S2puede presentarse en forma de producto

(y + z)(y + z) (x+ z) (3x - 3z).

y + z + y + z + x + z + 3x -3z = 2y + 4x = 2l,

x + z = 3x - 3z.

y como y + 2x = l, entonces x = y = l/3

z = x / 2 = l / 6

Como el cateto z es igual a la mitad de la hipotenusa x (fig. 30), el ángulo opuesto a este cateto será igual a 30°, y el ángulo de inclinación de los costados equivaldrá a 90° + 30° = 120°. En fin, el canalón alcanzará la mayor sección cuando sus dobleces tengan la forma de 3 lados contiguos de un hexágono regular.

La longitud del arco de aquella parte que se aprovecha para el cono se representa con la x (en unidades lineales). Por lo tanto, la generatriz será el radio, R, del círculo de hojalata, y la circunferencia de la base será igual a x. El radio r, de la base del cono, se determinará en la igualdad

r = x/2 p

La altura del cono, según el teorema de Pitágoras, será (fig. 31).

es un valor constante, el último producto (como se demuestra en las páginas anteriores) llega a su máximo valor cuando x tiene una magnitud tal, que

El arco x tiene alrededor de 295° y, en consecuencia, el arco del sector cortado equivaldrá aproximadamente a 65 grados.

Denominemos a esta altura con la letra x (fig. 32). La distancia BC, que media entre la moneda B y la base C de la perpendicular que pasa por la llama A, la designaremos con la letra a. Si la claridad de la llama es i, de acuerdo con las leyes de la óptica, la luminosidad será expresada así:

donde a es el ángulo de caída de los rayos AB. Y como

Omitamos el valor del factor i2 por su magnitud constante y transformemos el resto de la expresión analizada como sigue:

por cuanto el factor constante introducido, a 4 , no influye en el valor de x con el cual el producto llega a su más elevada magnitud. Partiendo de que la suma de las primeras potencias de estos factores

a² = 2x² +2a² -2a²