1. La progresión más antigua

2. Algebra en papel cuadriculado

3. E1 riego de la huerta

4. La comida para las gallinas

5. Brigada de cavadores

6. Las manzanas

7. La compra del caballo

8. La recompensa del soldado

Es evidente que las cantidades de trigo distribuidas entre los cinco participantes en el reparto constituyen una progresión aritmética creciente. Supongamos que el primer miembro sea x, y la diferencia, y. En ese caso tendremos:

Parte de la     1ª         x

                    2ª         x+y

                    3ª         x + 2y

                    4ª         x + 3y

                    5ª         x + 4y

7[x+(x+y)]=(x+2y)+(x + 3y)+(x+4y)

x + 2y = 20,

11x = 2y.

x = 1 2/3, y = 9 1/6

A pesar de que este problema de progresiones tiene ya 50 siglos de antigüedad, en la práctica escolar, la progresión apareció hace relativamente poco tiempo. Aunque en el manual de Magnitski, publicado hace doscientos años y empleado en Rusia durante medio siglo como texto en las escuelas, se trata de progresiones, no se dan fórmulas generales que liguen las magnitudes que figuran en las mismas. Por esa razón, el propio autor sale airoso de esos problemas sólo a costa de grandes esfuerzos. Y, sin embargo, la fórmula de la suma de los miembros de la  progresión aritmética puede deducirse por un medio sencillo y gráfico, empleando para ello el papel cuadriculado. En éste, cualquier progresión aritmética puede expresarse con una figura escalonada.

Por ejemplo, la figura ABDC, de la fig. 34 representa la progresión:

Para determinar la suma de los miembros completamos el diseño hasta formar el rectángulo ABGE y obtendremos dos figuras iguales: ABDC y DGEC. La superficie de cada una representa la suma de los miembros de nuestra progresión. De ahí que la doble suma de los miembros es igual a la superficie del rectángulo ABGE, es decir:

Pero AC + CE expresa la suma de los miembros 1° y 5° de la progresión; AB representa el número de miembros de la progresión, por eso, el duplo de la suma.

2S = (suma del primero y el último término) * (número de términos)

S = [(primer término + último término) * (número de términos)] / 2

3. El riego de la huerta

En una huerta hay 30 caballones; cada uno de ellos tiene 16 m de largo y 2,5 m de ancho. Durante el riego, el hortelano lleva los cubos de agua desde el pozo situado a 14 metros del extremo de la huerta (fig. 35) y da la vuelta al caballón por el surco. El agua que carga cada vez le sirve para regar un solo caballón. ¿Cuál es la longitud del camino que recorre el hortelano para regar toda la huerta? El camino comienza y termina junto al pozo.

Solución

Supongamos que la reserva fue de x decalitros de comida para y semanas. Como el alimento se calculó para 31 gallinas a razón de 1 decalitro por cabeza a la semana, resulta que

x = 31y

(31- 2y + 1) Dl¹.

1 El consumo de comida fue:

2y°     »     =31- (2y -1) = 31-2y+1 Dl.

x = 3,   y = 31 – 30 + 29 +...+ (31 - 2y + 1).

La suma de 2y  miembros de la progresión, el primero de la cual es 31, y el último 31-2y + l, será igual a

Y como y no puede ser igual a cero, entonces tenemos derecho a dividir por y ambos miembros de la igualdad, con lo que tendremos

x = 31y = 496.

Supongamos que el último miembro de la brigada trabajó x horas; siendo así, el primero habrá trabajado 11x horas. Prosigamos. Si el número de miembros de la brigada es y, el número global de horas de trabajo se determina corno la suma de y miembros de una progresión decreciente, cuyo primer término es 11x, y el último, x, es decir

Sabemos también que la brigada, compuesta por y personas, trabajando simultáneamente hubiera terminado la zanja en 24 horas, lo que quiere decir que para realizar ese trabajo hacen falta 24y horas de trabajo. Por tanto

6xy = 24y.

Como y no es igual a 0, la ecuación puede ser simplificada por ese factor, después de lo cual obtendremos:

6x = 24 y x = 4.

Hemos contestado a la pregunta del problema, mas si quisiéramos saber el número de obreros con que cuenta la brigada no podríamos determinarlo, aunque en la ecuación figuraba este último con la y. Para resolver esta cuestión no se cuenta con datos suficientes.

Si el número inicial de manzanas era x, el primer comprador adquirió

o

El hortelano tenía 127 manzanas.

En la aritmética de Magnitski encontramos un divertido problema que damos a conocer sin sujetarnos al lenguaje del original:  Cierta persona vendió su caballo por 156 rublos. Mas el comprador se arrepintió de haberlo adquirido y devolvió el caballo diciendo:

- No me interesa comprar el caballo por ese precio, pues no lo merece. El vendedor le propuso nuevas condiciones:

¼ + ½ + 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁴ kopeks

De otro antiguo manual ruso de matemáticas, que lleva el ampuloso título de Curso completo de matemáticas puras elaborado por Efim Voitiajovski, cadete de artillería y profesor particular, para uso y provecho de la juventud y cuantos se ejercitan en matemáticas (1795), copio el siguiente problema.

65.535 = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2^{x – 1}

65535 = 2^x  y  x = 16